LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE

PROPOSITION CINQUIÈME

Problème.

a8. Ayant comme dans 4e problème précédent un profil rectangulaire AC en équilibre par son poids as^ec une puissance P, on demande un autre profil GHIK, qui ait la même hauteur que le précédent; mais dont la superficie nen soit que les trois quarts , ai^ec cette condition que le mur GHIK soit encore en équilibre par sa résistance à l'ejfortde la puissance P quon suppose agir toujours a^ec la memefi^rce.

Nommant les lignes BA ou HG, c ; AD, a; HI ou GL, ^; LK , j^; Ton aura ac pour le rectangle BD, ca?pour le rectangle HL, ou si Ton veut pour le poids Q , et f 9^ pour le triangle IL^ qui est la même chose que le poids P : or comme le trapèze GHIK ne doit être que les trois quarts du rectangle BD , l'on aura donc 7- ac == co; -f- {- cy; et si Ton réunit le poids Q avec le poids P, après les avoir multiplies par leur bras de levier , Ton aura une quantité égale au produit de la puissance P , qui est toujours bf, par le bras de levier KR , ce qui donne cette seconde équation -^ cx^ + ^^ + f ^J*= ^^^^ ou en effaçant de tous les termes la lettre c , ^0^ -^r yx -4- -y y' = ^- Mais si dans la première équation -^ ac-=^vx -{- -^yc Ton dégage y , Ton aura y = -f ^ — ao;, et supposant \ a^^n pour plus de facilité, l'on aura j =71 — a ar. Si présentement l'on substitue la valeur de y dans Téquation -^x* -h yx + -fj" = bf, elle sera changée en celle-ci -p^ -^ nx — aor* -^-^{^rû^^ /inx+ 4^*) = bf, d'où faisant évanouir la fraction et réduisant , Ton a a/t* — 6 bf= 0?* H- nnx : or, si à cette équation l'on ajoute ai' de part et d'autre, on aura 3/i* — 6b/=zaf + 7,nx + n%'dont extrayant la racine carrée et dégageant l'inconnue, il vient enfin l/^(3/i' — 6bf) —n =ar qui donne la valeur de l'épaisseur HI.

Pour avoir l'autre inconnue j, nous supposerons 1/ (3 ai* — 6è/) — n=id, pour lors on aura arf = aa7, et mettant la valeur de a a; dans l'équation n — a a? =yi Ton aura n — arf=j.

APPLICATION

Comme nous avons supposé-f a = n^ et que a vaut la pieds de F1G.18 même que dans le problème précédent, n sera donc de 18, par cqnsé- ®^ ^^: quent 3 /** vaudront 97a pieds- Or, comme bf vaut encore 7a , si l'on

soustrait 6iy, c'est-à-dire sa valeur qui est 43ià, du nombre précédent, Ton aura 4o5 pour la différence ^ dont extrayant la racine carrée , on la trouvera de ^3 pieds 3 pouces, de laquelle ôtant la valeur de n, qui est i8, Ton verra que l'épaisseur HT doit être de 5 pieds 3 pouces , et que par conséquent la ligne de talus LK, c'est-à-dire j, vaut 7 pieds 6 pouces; à laquelle ajoutant GL, je veux dire 5. pieds 3 pouces, l'on aura la pieds 9 pouces pour toute la base GK : ce qui est bien évident, puisqu'un trapézoïde qui aurait 3o pieds de hauteur, et pour côtés parallèles une ligne de 5 pieds 3 pouces et une autre de 12 pieds 9 pouces, vaudra 270 pieds de superficie qui est justement Mes trois quarts. du rectangle BD qui en doit valoir 36o.

Remarque.

-^9. On pourrait, si l'on Voulait, diminuer encore la maçonnerie du problème précédent , en ne supposant la superficie du second profil que des deux tiers de celle du premier , et pour lors on trouvera que x , o\x si l'on veut le sommet du mur, ne doit avoir que 2 pieds d'épaisseur; mais, comme il y a des cas où cette épaisseur ne suffirait pas pour des murs qui ont à soutenir une certaine poussée , on sera le maître de ne diminuer le mur que d'un quart ou d'un cinquième , plus ou moins selon les occasions. Tout ce que l'on doit remarquer , c'est que si la diroinutioà qu'on voudrait faire était trop grande , on s'en apercevrait en donnant aux termes du premier membre de l'équation \/^ ( 3/i* — 6bf) — n=^Xy la valeur en nombre des lettres qui le composent : car si l'on trouve, par exemple , que Zn^ soient moindres que Qbf, c'est une marque que ce problème est impossible; que si l'on trouve 1/(3/^-- — &bf) = n , c'est un signe que x est égal à zéro , c'est-à-dire que le sommet du mur sera la pointe du triangle dont l'épaisseur sera zéro (i).

(3) Les résultats de ce chapitre et du précédent, fondés sur 1 application des premiers principes de la mécanique aux hypothèses qui ont été établies , ne peuvent donner lieu à aucune observation. On remarquera seulement que dans les dernières solutions /lu problème de la poussée des terres qui ont été publiées , on considère également le mur comme une seule pierre reposant sur une base incompressible ; mais on y suppose que lemur peut céder de deux manières différentes, c'est-à-dire en tournant autour de la ligne extérieure de sa base, ou en glissant horizontalement sur cette base, et on évalue sa résistance dans ces deux hypothèses (iV).