LIVRE IV. DES EDIFICES MILITAIRES

Construction de la Sinusoïde.

Il faut d abord diviser le quart de cercle CQ en un grand nombre de parties égales: par chaque point de division, comme L et O^ abaisser les perpendiculaires LM , OP, etc. sur le demi- diamètre CB; tirer les rayons BK,BN, etc. ^ aussi bien que les lignes KE, NE, etc. ; ensuite chercher aux lignes BC, BI, et au sinus LM ( que nous regarderons comme le plus petit de tous ) , une quatrième proportionnelle que l'on portera sur la verticale F H, en commençant du point Y, qui répond immédiatement au-dessous du poids G ; et supposant que Y R soit égale à la quatrième proportionnelle qu'on vient de trouver, ou élèvera au point R la perpendiculaire R S indéfinie; on cherchera de même aux lignes BC, 61 et au sinus OP ( que nous supposons suivre immédiatement le plus petit LM ) , une quatrième proportionnelle qu'on portera depuis Y^ jusqu'en T, et Ton élèvera encore la perpendiculaire TV.

Le triangle CBI étant rectangle et isoscèle, il sera bien aisé de trouver toutes les quatrièmes proportionnelles dont nous avons besoin : car si Ton prend chaque sinus comme LM ou OP pour le côté d'un quarré, la diagonale de ce quarré sera quatrième proportionnelle aux lignes BC, BI, et au sinus qu'on aura pris pour côté du quarré; ce qui est bien évident à cause des triangles semblables.

Éliminant z et ^' entre ces trois équations, qui renferment les conditions du problème, on trouvera

, „ ,, ixam" ^, . , n a b{m' + m" J

En observant que la constante b étant arbitraire , on peut la déterminer de manière à faire disparaître les trois derniers termes du second membre , et posant

l^—na' H ^ — j^ i =o,

cette équation se réduira à

2/z"-z-=^jr"

qui^ comme on Ta remarqué depuis long-temps, appartient à une épicycoloïde dont les cercles générateurs sont égaux. Voyez le Traité de la mécanique de l'abbé Marie, page 189 (N). ' ' -

Quand on aura toutes les perpendiculaires, comme RS, TV, etc., on tirera une ligne d e, égale à la longueur de la corde AEFG : on prendra dans cette ligne ( en commençant de Textremité rf) de la partie df égale à la distance du centre de la poulie F au poids G, c'est-à-dire, égale à cette partie de la corde qui est parallèle à la verticale FH , quand le levier AB est horizontal; on prendra la différence de la lighe KE qui repond au rayon de la première division, à la ligne A E, et on portera cette différence depuis/^jusqu en h ; alors on prendra la longueur d h avec un compas , pour décrire un arc qui aura pour centre celui de la poulie F, et cet arc venant couper la perpendiculaire RS, donnera le point S, qui est un de ceux de la courbe, par le moyen duquel on aura l'ordonnée S a et son abscisse Y a. De même, prenant la différence des lignes NE et A E pour la porter de yen/, si l'on ouvre le compas de l'intervalle dj\ et que du centre F de la poulie on décrive un arc qui vienne couper la perpendiculaire TV, on aura un autre point Vde la courbe qui donnera l'ordonnée V è et l'abscisse Y b. Enfin le point N étant parvenu en E, toute la ligne AE pourra être prise pour sa différence avec zéro, et la portant depuis F jusqu'en K, puis ouvrant le compas de l'intervalle rfK, on décrira du centre ordinaire un arc qui^ venant rencontrer ta dernière perpendiculaire'HX, donnera le point X, qui sera celui de la courbe où va s'arrêter le poids G quand le levier A B est vertical.

Je crois qu'il n'est pas besoin de dire que pour tracer la courbe avec beaucoup de justesse, il faut prendre les sinus bien près les uns des autres, afin d'avoir un grand nombre de points comme S, V, etc. Il est à propos de remarquer que la plus grande ordonnée ZX ou Y H de la courbe est égale à la perpendiculaire BI, c'est-à-dire au côté du quarré dont la diagonale serait de même longueur que le levier AB: car comme la ligne Y H sera la plus grande de toutes les quatrièmes proportionnelles qu'on aura été obligé de chercher pour tracer la courbe, on ne l'aura trouvée que lorsque le levier A B sera vertical, et comme alors il formera un angle droit avec l'horizon, le sinus de cet angle sera égal au rayon B Q ; par conséquent ou aura B G : B 1 : : B Q : Y H ; mais comme dans cette proportion les deux antécédents BC etBQ sont égaux, étant rayons d'un roêo^e cercle, les deux conséquents BI et YH le seront aussi.