LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. , 17 Remarque quatrième

5. Si l'on avait donc une puissance représentée par un nombre de pieds quarrés provenant d'un profil de terre qu'on voulût mettre en équilibre avec un poids provenant d*un profil de maçonnerie , il faudrait prendre les deux tiers de la puissance , afin de la rendre homogèbe à la maçonnerie ; car , comme la terre pèse moins d'un tiers que la maçonnerie , on ne pourra jamais faire avec ces deux matières diflerentes des rapports de poids à poids , qu'on ne fasse une réduction dans le volume de la plus légère.

PROPOSITION SECONDE

Théorème.

6. Si l'on a un triangle ABC quelconque^ et que Von divise la base AC en deux également au point Djje dis que le centre de graçité de ce triangle sera dans le tiers de la Ugne BD, menée de V angle B au milieu de la base AC qui lui est opposée.

Démonstration.

Pour le prouver, je divise le côté BC en deux également au point E , et de l'angle A qui lui est opposé je tire la ligne AE , ensuite je prolonge le côté BA indéfiniment, et des points D et C je mène à la ligne AE les parallèles DG et CH. Cette préparation étant faite, considérez que, si l'on suppose le triangle ABC composé d'une infinité d'éléments parallèles à la base AC, la ligne BD les divisera tous en deux égalemeilt, et qu'ainsi le centre commun de pesanteur de la somme de tous ces éléments sera dans l'un des points de la ligne BD ; de même , supposant encore le triangle ABC composé d'une infinité d'éléments parallèles au côté BC, la ligne AE les partageant en deux également^ le centre de pesanteur de toute leur somme sera encore dans l'un des points de la ligne AE : or, puisque le Centre de gravité de tous les éléments du triangle , de quelque sens qu'on puisse les prendre , est d'une part dans la ligne BD , et de l'autre dans la ligne AE , le centre de gravité du triangle sera donc au point F, où ces deux lignes se coupent. Ainsi il faut faire voir présentement que le point F est éloigné de D du tiers de la ligne BD.

Pour cela remarquez en premier lieu que, dans le triangle BHC, le côte BC est divise en deux également au point E , et que la ligne AË étant parallèle à HÇ, le côté BH sera aussi divisé également au point A; en second lieu^ que dans le triangle AHC le côté AG est divisé en deux également au point D ^ que DG étant parallèle à GH , le côté AH sera encore divisé en deux également au point G : or, la ligne AG étant moitié de AH , elle sera aussi moitié de AB , puisque nous avons prouvé que AB était égal à AH ; ainsi AG sera le tiers de BG ; mais , comme dans le triangle BGD , AF est parallèle à GD , il s^ensuit donc que la ligne AG étant le tiers de BG , la ligne FD sera le tiers de BD.

Remarque première,

FiG 3 /• ^^^^ appliquer ceci au triangle rectangle , qui est celui dont nous nous servirons le plus ordinairement dans Ja suite, remarquez selon le théorème précédent qu'ayant divisé la base BG en deux également au point D (car nous prenons ici un des petits côtés pour la base) , et tiré la ligne AD, le point £ qui est au tiers de cette ligne sera le centre de gravité du triangle rectangle ABC. Or, si de ce point Ton abaisse la perpendiculaire £F sur la base BG , elle sera la ligne de direction qui passe par le centre de gravité; mais ED étant le tiers de AD, DF sera le tiers de BD , à cause des parallèles EF et AB ; ainsi' Ift) sera la sixième partie f ' r> de la base BG, et la ligne BF étant double de FD, elle sera par conséquent les deux sixièmes , ou , ce qui est la même chose , le tiers de la baae BG. On peut donc dire que, dans un triangle rectangle, la ligne de direction £G , qui passe par le centre de gravité , passe aussi par le tiers de la base BG.

Remarque seconde.

8. Si Ton avait un triangle rectangle, et qu'on voulût réunir toute sa pesanteur , c'est-à-dire sa superficie , dans un des points de la ligne de direction , il n'y aurait qu'à diviser la base BC en trois parties égales , et de l'extrémité F du tiers qui répond à l'angle droit , abaisser une perpendiculaire FG ; elle sera la ligne de direction que Ton demande. Ainsi nommant a la hauteur AB du triangle , et è la base BC , Ton aura ^ ah pour la valeur du poids H , dans lequel on suppose que Ton a réuni la pesanteur, ou, ce qui est la même chose, la superficie du triangle.