LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE

une ëqaation générale qui conviendra à tel profil de revêtement que Ton voudra^ puisqu'il ne faudra avoir égard qu'à la valeur des lettres.

Voulant appliquer cette équation à un revêtement de 20 pieds de hauteur^ on aura reoours à la table de M. de Vauban pour voir les mesures qui lui appartiennent , et Ton trouvera que <i=4)A = 5,A=±f6, n=:ii pieds 9 pouces 6 lignes. Comme l'épaisseur des contreforts est les deux tiers de celle de la racine , et que par conséquent ces contreforts ont des trapèzes pour bases , remarquez que , prenant le profil GC pour celui sur lequel nous opérons présentement, la ligne BG, selon Fart 10 , doit être divisée en trois^ parties égales, et celle du milieu HI coupée au point K, pour avoir le centre de gravité, de manière que Kl soit à KH dans la raison de l'épaisseur de la queue à celle de la raciÉe , j'entends comme a est à 3 : ainsi Kl sera les -r de HI ou IB ; mais epmme la ligne entière GB vaut 6 5 HI ou IB ne vaudra quen^ à quoi ajoutant les -f du même I B , l'on aura a pieds 9 pouces 6 lignes pour la valeur de KB , qui étant jointe à BË = a + £?, donnera 1 1 pieds

9 pouces 6 lignes pour la valeur de n. Pour savoir aussi ce que doit valoir ^ , considérez' que p doit marquer l'épaisseur de chaque contrefort, et q l'intervalle de leur milieu : ajoutant donc les dimensions de la ra.

cine avec celles de la queue , telles qu'on les trouve dans la table , je veux dire 4 pieds avec 2^ pieds 8 pouces, l'on aura 6 pieds 8 pouces, dont la moitié , qui est 3 pieds 4 pouces , sera l'épaisseur moyenne des contreforts, et par conséquent la valeur de p. Quant à celle de g , elle sera toujours 18, parce que c'est la distance du milieu d'un contrefort à l'autre. Ainsi -^ sera la même chose que -j^r ^ ou bien s -^f . Multipliant cette quantité par la valeur de nh^ Ton trouvera 12 pieds 5 pouces pour ^ —

L'on trouvera aussi que ad+ -^a' vaut 3!2 pieds 6 pouces , et -f ^' 7 5 pieds 4 pouces.

Joignant donc tous- ces nombres ensemble , il viendra 5o pieds 4pouc.

10 lign. pour la valeur de a;, c'est-à*dire pour la puissance avec laquelle le revêtement de 20 pieds du profil général peut être en équilibre. C'est en faisant les mêmes calculs avec toute la précision imaginable, que j'ai trouvé que le revêtement de 10 pieds de hauteur était en équilibre avec une puissance de a8 pieds 10 pouces^ celui de 20 avec 5o pieds 4 pouc.

lo lignes, celui de 3o avec 8i pieds i ponce ; celui de 4o avec ia3 pieds 10 pouces , celui de 5o avec 176 pieds 10 pouces, enfin celui de 60 avec 287 pieds 7 pouces.

Pour savoir présentement le rapport de la résistance de chacun de ces revêtements avec les puissances qui exprimeraient la poussée des terres qu ils ont à soutenir , il faut chercher la valeur de ces puissances pour 10, âo, 3o, 4<>i ^o et 60 pieds de hauteur dans la troisième ce* lont\e de la table que nous avons donnée, article 37, et Ton trouvera quelles sont équivalentes à i5 pieds 7 pouces, 4i pieds 5 pouces , 76 pieds 4 pouces ,117 pieds 8 pouc. , 170 pieds i pouce et a33 pieds, qui , étant comparés avec la résistance des revêtements, donneront -f» t!i ir, Tvf , T^i TTT 1 ou à-peu-près ^, ^, -^, if, ff , ^. Ce qui fait voir que le revêtement de 10 pieds, selon le profil général , est en état de soutenir une poussée double de celle qu'il soutient naturellement ; que celui de âo est au-dessus de l'équilibre d'un quart de la résistance qu'il lui faut ; que' celui de 3o n'est au-dessus de l'équilibre que d'un huitième j celui de 4o d'un dix-neuvième , celui de 5o d'un vingt-unième , et celui de 60 d'un cinquante- huitième.

Gomme les rapports précédents ont été trouvés par des règles incontestables , on ne peut douter que dans le profil général la résistance des revêtements ne diminue à proportion qu'ils ont plus d'élévation , puisque, tandis que celui de 10 pieds est au-dessus de l'équilibre de toute la pouss^ée qu'il devrait soutenir naturellement , celui de 60 n'a sa résistance que d'un cinquante-huitième au-dessus de l'équilibre, ce qui étant une différence fort petite , on peut regarder ce revêtement comme en équilibre avec la poussée des terres. Ainsi , dans ceux qui sont plus élevés, il est à présumer que suivant les proportions du profil général la poussée deviendra au-dessus de la résistance, au lieu qu'il faudrait que le revêtement fut toujours capable de résister avec une force plus grande que la poussée , afin de n'avoir rien à craindre des accidents qui peuvent arriver , soit de la part des grandes pluies , qui au bout d'un certain temps peuvent augmenter considérablement le poids des terres, soit par les ébranlements qui arrivent quelquefois par le bruit du tonnerre ou du canon qu'on tire sur les remparts , qui pourraient produire des secousses capables de causer le renversement de quelque face d'ouvrages. D'ailleurs, quand même tous ces mouvements ne surviendraient

LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. 87 point, ilya encore une raison pour mettre les revêtements beaucoui) au-dessus de la poussée : c'est qu'en temps de siège , quand un ouvra<^e est battu en brèche , la violence du canon ne peut manquer de causer un grand mouvement dans les parties de la maçonnerie et dans les terres , qui pourrait précipiter L'avancement de la brèche , si le revêtement se trouvant au-dessous de la poussée , comme je le suppose , il avait plus de. penchant à culbuter. On me dira peut-être que c'est vouloir examiner les choses trop physiquement ; mais dans un sujet comme celui-ci il faut avoir égard à tout

On fera encore attention que si , au lieu de donner 5 pieds d'épaisseur au sommet , on n'en donnait que 4 et demi dans les endroits où la maçonnerie serait fort bonne , comme il est dit dans le premier article de l'explication de M. Vauban, ce serait alors qu'on aurait tout à craindre du peu de résistance des- revêtements dé 4o , 5o , 60 et 70 pieds de hauteur, puisqu'elle* se trouverait au-dessous de la poussée des terres. Car, comme je l'ai dit , art. i3, la liaison doit être supposée ici la meilleure qu'il est possible, 'et on ne doit avoir égard qu*au poids et à la longueur du bras de levier qui répond à la base du mur, ce qui ferait croire que M. de Vauban n'a pas eu cette considération (i).

Malgré ce que jp viens, de dire, je ne regarde pas le profil général comme assez défectueux pour ne pouvoir pas s'en servir i l'expérience qui prouve le contraire , ne serait pas de mon côté. Je voudrais seulement qu'on ne donnât pas tant d'épaisseur au sommet des petits revêtements , et que pour plus de sûreté on en donnât davantage à celui des plus élevés , et je ne vois pas la nécessité de donner 5 pieds au sommet de celui qui n'en aurait que 10 en hauteur , comme s'ilen avait 80. Si l'on y fait attention, c'est justement de là que vient le défaut du profil général : car , comme il faut que les , proportions de toutes les parties de chaque revêtement augmentent ou diminuent dans la même raison , selon que Félévation est plus grande ou plus petite , afin que la

(i) La conclusion à laquelle Bélidor est conduit en comparant la résistance du profil de M. de Vauban à la force de la poussée des terres , telle qu'elle est indiquée dans sa table, est très-juste : elle Test d'autant plus, ainsi qu'on le verra dans la note à la fin du livre, que cette table indique des valeurs trop faibles pour cette force , et d'autant plus fiiibles que la hauteur du revêtement est plus grande (A^).

FiG. «3.

résistance soit toujours proportionnée à la poussée , il n*y a point de FiG. 12. d<^ute que, si une des dimensions du proEl demèiNre conistante <;omme est ici celle du sommet; la poussée des terres ne soit au*dessous de la résistance des petits revêtements^ et ne deyienne au-dessus de cdle des plus grands. Il faut donc que le bras de levier* LE augmente dans la raison de la hauteur AB, pour 2]uc la proportion ne soit point interrompue, au lieu quelle ne peut manquer de Tètre/tant que les lignes BD, AG, demeureront toujours de 5 pieds ^ et que les trois autres AB, BG, D E , augmenteront ou diminueront.

Or, pour savoir de combien il faudrait augmenter l'épaisseur du sommet des grands revêtements , et diminuer celle des petits , pour les bien proportionner h la poussée des terres et rendre régulier le profil général, nous prendrons pour exemple celui de la figure i3, et nous nommerohs GB, A ; KB, g-, BD, j: Ton aura KE=g -^ jr +d^ et

^ — sera la valeur des contreforts réunie autour du centre de gravité K, laquelle étant multipliée par le bras de levier KE donnera pc g + pc y + pc — p^^^ j^ produit. De même, si Ton multiplie le

poids Q =cjyparLE=-7y +^* etlepoidsR = -7crfparME = f ri, et qu'on ajoute ces trois produits ensemble , la somme sera égale au produit de la puissance A/ par son bras de levier; ce qui donne , en

effaçant e de part et d'autre ^ ^'^P f-^P ^ j.^» ^ dy + ^ d' =

bf. Or, si l'on suppose /i = ^ + // , l'on aura nyz=.^ + dy^ et mettant ny à la place de sa valeur dans Téquation précédente, l'on aura

^-^ — h-r^' + "f-^ + ^y'=^f^fy d'oîi faisant passer du premier

membre dans le second les termes oh y ne se trouve point, et multipliant le tout par a; il vient ^ -h ^ny=iiihf — ^d^—^L i^g — d)^

ou/*, + ^ny + rC^sz^bf^ n^ r d'^ — ""^ (g — d)^ en ajoutant/r'

de part et d'autre , qui donne/ = — tï + 1/ [a b/-h /i* — ^d"-^ ^^

g — d)]y qui est une équation qui conviendra, à tel revêtement que Ton voudra du profil général, puisqu'il n'y aura que la valeur des lettres qui en fera la différence.

L(v .J.P7 ^ pat^c Si\