LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. gS

qu'il vient jj ± %ay + aa, qui renferme les carrés de j et de a, et le produit de y et de 2.a.

De même , si la seconde des deux grandeurs était multipliée ou divisée comme dans cet exemple, \y+^ci, y + •T'(^9y+ ir^> X ^ ^ 1^

au maximum de P . « = - t ; et la valeur de P est alors

P = A to/ig^. |t (r-ïcAto/i^. — y t — ay).

On peut mettre cette équation sous une forme plus simple, en observant que si h est la hauteur à laquelle les terres se soutiennent d'elles-mêmes par Feffet de leur cohésion , on doit avoir en même temps dans F équation précédente À = A, et P = o , ce qui donne Y = ^ir^A,et

/>=:|,r A<»(A — AJ.

Pour faire usage de cette valeur de P, il est nécessaire de savoir quelle est la hauteur de son point d'application. On trouve facilement qu elle est égale à

Ces valeurs sont très-générales, et embrassent toutes les circonstances de la question; Comme > dans les applications , les murs de revétemenl; doivent presque toujours soutenir des terres fraîchement remuées pour lesquelles la valeur de cohésion est presque nulle , il est convenable de supposer A == o , ce qui donne pour la poussée

P=|irA'f*,

pour la hauteur de^ son point d application ^ A^ et ^ est alors la tangente d'un angle, égal'à la moitié de celui du talus naturel des terres.

Lorsque les terres que soutient un mur éprouvent une surcharge, il est facile de la faire entrer dans le calcul. En nommant G le poids porté par une unité de surface , les valeurs précédentes deviennent

formules qui s appliquent à tous les angles de talus (^).

(*) Voyes poar les détails et le déreloppement de cette analyse les Recherches sur la poussée des terres ^ de M. de Pnmy , déjà citées, oa le Traité de la eonstructiov des ponts , de M. Gaulhey, tono. I. M. de Prony a poblié en outre en iSoa , sons le titie d^ Instruction-pratique sur une méthode pour déterminer les dimensions des murs de revêtement, one formule graphique par le moyen de laquelle on constniit avec la plos grande facilité les valears de^a données par seê formules. ^

carre donnera toujours j* + ^ay 4- 4<^% /* + ^^y + "f-^*i J^' + ^^y -4- -^ a% j* — ^±Ji^ ^ ^^ Q^ Y^^ trouve encore le carré de la première et de la seconde grandeur^ et le produit de la première par le

II ne sera pas inutile de comparer les résultats de cette analyse exacte avec ceux de la méthode empirique contenue dans le texte. Supposons ^= tang. aa^ 3o' = o. 4^4 » w= I , comme la fait Bélidor, et A = lo pieds. Où trouvera P = 20,7 pieds carrés, et en supposant cette force qui agit à la distance 7 A = 3,3 pieds , appliquée au sommet du mur, elle sera = 6,9 pieds carrés au lieu de 6,5 pieds carrés indiqués dans la table de Bélidor. Si A = 100 pieds, on trouvera P= 2070 pieds carrés, et pour cette même force appliquée au sommet du mur, 690 pieds carrés au lieu de 564 pieds que contient la table. Ainsi , cette table offre des résultats sensiblement exacts pour les terres dont le talus est de 45^ 9 lorsque la hauteur du revêtement ne passe pas 10 à i5 pieds ; mais audelà , les valeurs de la poussée qu'elle indique sont trop faibles.

La manière d'évaluer la résistance des revêtements et la poussée des terr^ étan t connue par ce qui précède , les dimensions des murs se déduisent Immédiatement de réquation d'équilibre qu on établit entre ces deux forces. En supposant que le mur forme un seul bloc , et négligeant les carrés de n et n' , on trouve pour l'épaisseur du mur.

qui se réduit, si le mur est à plomb des deux côtés, à

a=A>/iE,

Il ne reste plus maintenant qu'à faire entrer en considération les contreforts^ dont les murs sont souvent accompagnés.

Pl. II. ^^^^ ^ "^ ^^^ ^® revêtement dont l'épaisseur n'est pas assez grande pour qu'il FIG. 5. puisse résister à la poussée des terres , et auquel on a adossé d'espace en espace des contreforts C , C Ils présenteront des points d appui immobiles sur lesquels l'action des terres dans l'intervalle DD' se transmettra, le mur DD'E'E faisant la fonction d'une voûte en plate-bande dont les contreforts seraient les culées. Cela posé , soit le point F milieu de DD' , la poussée des terres dans l'intevalle DD' a pour expression w flfA'r", et cette force étant répartie sur la longueur de cet intervalle, peut être remplacée par une force moitié moindre , ou y « rfA* ^, qui serait appliquée en F. En décomposant cette dernière suivant les lignes FE% FE, puis remplaçant chacune de ces deux forces par leurs composantes suivant FD et HF, FD' et FH, on aura pour

Jjw . 11,1*1 • ^ . ^HÊf^ejfé'

LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. 97 double de la seconde : car multipliant aa, -f ^1 "^ ^' 7» P^^ ^^°* ^ ^* vient 4^> 3a, 5a, —, dont le produit par 1^ première grandeur y

donne 4«Ji 3^/, 5ay, —^-.

la valeur des composantes suivant FD et FD*, '^ — -j , et lefFet de cette dernière

force sera de faire ouvrir une lézarde dans la maçonnerie du mur, suivant la ligne DE, en agissant avec un bras de levier = a. Mais la cohésion des mortiers s'oppose à cet effet , et on a pour Téquation d équilibre

équation qui donnera la valeur de a quand d sera connu , et réciproquement. Elle donne

«=tv/t-. '=W

La première équation paraîtrait indiquer que a doit augmenter indéfiniment avec d: mais il faut observer que le moment de stabilité du mur étant équivalent à celui de la

poussée des terres quand a = A \/ 1—^ a ne doit jamais être au-dessus de cette der-

nière valeur. En la substituant dans celle àe d , on trouve

ce qui est une limite que la valeur de d ne doit point passer , et au*delà de laquelle les contreforts seraient inutiles. On peut remarquer que cette valeur est indépendante de la nature des terres.

Pour faire une application de ce résultat , supposons « = 1800 kil. , c = aooo kiL , d = 2,5 met. , A = 12 met. , ^ = o , 4^4 • OQ trouvera a = 1,7 met. D'où il suit qu'un mur de i2^mètres de hauteur, fortifié par des contreforts suffisamment épais , et distants les uns des autres de 5 mètres , serait en équilibre avec la poussée des terres , en lui donnant 1,7 rtètre d épaisseur. , - .

On peut observer que, pour que le mur s'ouvre aux points D , H et D' , il est nécessaire que les matériaux se compriment aux points E, F et E% et qu'on néglige dans le calcul la résistance qu'ils opposent , ce qui donne pour a une trop grande valeur. Cependant , en supposant effectivement que cette compression eût lieu , les centres de rotation se trouveraient transportés en de nouveaux points 6 , /* et ^ ' , de la position

gS LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

Puisque les coefficients sont doubles des racines du second carré , on peut conclure que toutes les fois que Ton aura le carre d'une inconnue , plus ou moins cette inconnue multipliée par un coefficient

desquels il résulterait une décomposition de forces plus désavantageufe à la résistance, p Yl ^ V^ j suivant les circonstances , pourrait compenser ce qui a été négligé dans le cal* FIG.8. c^' ci-dessus. Pour en juger, considérons un solide ABD, composé de fibres roides ,

encastré suivant la ligne AB, et soumis à l'action dune force P, parallèle au plan de •rupture : si G est le centre de rotation qui doit s établir , on aura , en appelant toujours

la largeur AB , a , et faisant AC = Xy

rx*--^c(a — 4î)' = o, d*où l'on tire

\/ cr — c

x-ma

\/ (• f* -I f* an x =, am , en faisant pour abréger m = . Supposons maintenant les

FIG. 8. nouveaux centres de rotation des leviers hypothétiques ef ^ éf^ tellement situés , que le rapport de la distance E^ = Ey*= E«* à la largeur du mur soit = m , les forces

7 it éP A* ^ deviendront ; r , et Téquation d équilibre sera

/ \a . 3 tsiP ht c [a — m) '\- rm z= — -,

d'où Ion déduit

.f-Kdrht^ r aN

Or, ooèsme /•est toujours plus grand que c, cette valeur de a est plus petite que l;i ppemiére, qui s'en déduirait en faisant m = o : ainsi cette première valeur e^t effecti" vement un peu trop considérable. Mais elle ne diffère de la véritable que d'une quan<* tité moindre que edle tjn'il faut hii ajouter |>our se mettre dans la pratique au-dessus de l'équilibre.

L'-espacentent des contreforts étant fixé d'avance, et 1 épaisseur du ninr dans leurs intervalles déterminée par ce qui précède , il ne restera plus qu'à régler la largeur et la queue des contreforts : elles seront données par la condition que le moment de stabilité *d'un contrctfbrt et de l'intervalle voisin soit au-dessus de celui de la poussée des terres qui «agissent derrière. On pourra considérer le mur conraie lié au contrefort , mais il faudra regarder comipe ne faisant point partie de la maçonnerie tout ce qui sera situé au-dessous d'un plan incliné de 45** • passant par Tarête extérieure de la base {N).