LIVRE II. DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES. ii

PROPOSITION PREMIÈRE

Problème.

Trouver V épaisseur qu'il faut donner aux piédroits des voûtes en plein cintre , pour être en éqwUbre par leur résistance auec la poussée qu'ils ont à soutenir,

II. Ayant mené par le point L, milieu de FC , la ligne MK parallèle yio. n. à ZA, prolongé PZ jusqu'en M, et abaisse la perpendiculaire LV sur AB, nous nommerons LK ou KA, a; LA, b; BV, c; ZP, d; ZB ou PS, j; ainsi ML ou MN sera j -f- c, et MP sera a+ d; par conséquent NP sera a + d — c — j; et si Ton suppose a + d — c =/, l'on aura/ — y pour la valeur de NP. La superficie de chaque voussoir CG et CE sera nommée n^. EnjBn, si du centre de gravité Q du voussoir CE Ton abaisse la perpendiculaire QR. sur la base PS, RS sera nommée g : par conséquent PR sera / — g.

Cela posé , la première chose qu'il faut chercher est l'expression du bras de levier PO. Pour cela, considérez que les triangles LK A et NOP sont semblables , puisqu'ils sont rectangles et isoscèles , et que par conséquent LA = è : LK=a ;; NP=/r : PO=^(/— jr). D'un

^utre côté , remarquez ^ue la pesanteur absolue du voussoir F D est à l'efTort que soutient le joint FC, ou à là puissance O, comme LK est

à LA, * ou bien a i b y. n^ i — : ainsi, multipliant — (qui est l'ex- ^^^^ ^

pression de la puissance 0)par son bras de levier PO, l'on aura^' — n"^ y pour le moment de la poussée de la voûte par rapport ^u point id'appui P. Et comme nous voulons mettre cette poussée en équilibre avec la résistance du piédroit joint ait voussoir £C, il faut multiplier la superficie du rectangle PB, qui est dy^ par le bras de levier PT ± 7 j, n)oitié de PS , pour avoir 7^ ; et à l'égard du voussoir EC, dont la ligne de direction QR, tirée du centre de gravité perpendiculaire sur PS , marque que PR =^ — g est le bras de levier qui répond à l'action de ce voussoir, il faut multiplier n* par/ — g pour avoir /i* (^-^^) , qui , étant ajouté avec | dy'^ , donnera. une expî*es$ion égale au moment

ii4 LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

de la puissance résistante. Par conséquent l'on a cette équation fn^ — n^y=id^dy' + n^y — ^^gi tl'où faisant passer du premier membre dans le second le terme où se trouvera l'inconnue, et du second dans le premier le terme où l'inconnue ne se trouve point, Ton aura, après

avoir multiplie par % et divisé par cf, ^ {/ -^ g) ^=^ J^ + ^ ^ i qui

est une équation dont il sera aisé de tirer la valeur de l'inconnue, en ajoutant à chaque membre le carré de la moitié du coefficient du second terme, afin de rendre le second membre un carré parfait; et alors il

viendra ^(/'^ g -^ "^ ) = r* + ^^ X + ^p-? <lont extrayant la racine carrée et dégageant l'inconnue, il vient y = — ^^±V/ j-^

APPLICATION

Quand on est une fois parvenu à trouver une expression qui donne la valeur de l'inconnue, il n'y a plus qu'à faire par les nombres ce que la dernière équation nous a indiqué. Cependant , comme les calculs , tout aisés qu'ils sont', pourraient embarrasser ceux qui n'en ont point l'habitude, je vaia^ comme dans le livre précédent, en détailler les opérations.

Nous supposerons que le rayon A B est de i a pieds; que le rayon AE est de i5 : par conséquent la voûte en aura 3 d'épaisseur : ainsi AL = è sera de i3 pieds 6 pouces, LK ou KA = a de 9 pieds 10 pouces , et BV = c sera de a pieds a pouces ; nous supposerons aussi que ZP = rf, ou la hauteur des piédroits , est de 1 5 pieds , et que RS ^==^g est d'un pied ; et selon toutes ces suppositions a + d — c :^/sera de aa pieds a pouces; de sorte que/-+-g^ sera de a3 pieds a pouces : or, comme il ne noos^reste plus à connaître que n^ , il n'y a qu'à cherdaer la superficie des deux cercles qui auraient pour rayons AC et AF, c'est-àndire la et i5 pieds, ôter. la plus petite de la plus grande , et prendre la huîttème partie de la différence quon trouvera de 3i pieds 9 pouces 8 ligoes , qui sera la valeur n^ ; c'est-à-dire de chaque v^ussoif CG ou Cë. Présentement que i on connaît la valeur de toutes