LIVRE II. DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES. ia

trouve que j, ou si Ton veut , l'épaisseur de ZB , est de 3 pieds 9 pouces 3 lignes; c'est-à-dire que si Ton donne trois pieds de talus aux piédroits, et 3 pieds 9 pouces 3 lignes d'épaisseur au sommet, ils seront en équilibre par leur résistance avec la poussée de la voûte.

Remarque première,

18. Pour juger combien il faudrait moins de maçonnerie pour les piédroits de la yoûte que nous venons de calculer, que pour ceux du premier problème , il n'y a qu'à comparer l'épaisseur du profil de l'un avec celle du profil de l'autre , puisqu'ils ont la même hauteur. Pour cela , j'ajoute les lignes ZB et PS ensemble , c'est-à-dire 3^ pieds 9 pouces ^ lignes , et 6 pieds 9 pouces 3 lignes , et je prends la moitié de la somme, qui est dç 5 pieds 3 pouces 3 lignes pour l'épaisseur réduite , laquelle étant comparée avec 6 pieds 6 pouces 7 lignes , épaisseur des piédroits du premier problème , la différence sera de i pied 3 pouces 4 lignes ; ce qui fait voir qu'en donnant au piédroit un talus tel que nous l'avons supposé , l'on emploiera environ un cinquième moins de maçonnerie , que si l'on avait fait ces piédroits à plomb des deux côtés.

Remarque seconde.

19. Quand on a trouvé, comme dans le premier problème, l'épaisseur qu'il faut donner aux piédroits d'une voûte pour être en équilibre avec la poussée, on peut, sans en augmenter la dépense, mettre la résistance des piédroits beaucoup au-dessus de la poussée, afin d*être sûr que , quelque chose qui arrive , les piédroits demeureront inébranlables. Pour cela , il ne faut que diminuer un peu l'épaisseur des piédroits au sommet ^ et augmenter celle de la base de la même quantité. Par exemple , si l'on a trouvé qu'il fallait "j pieds d'épaisseur aux piédroits ^ on en donnera 6 au sommet , et 8 à la base.

Les murs qui sont exposés à l'injure de l'air , et qui ont un talus , étant plus sujets à être dégradés que ceux qui n'en ont point, on ne manquera pas de dire que dans la pratique on fera peu d'attention à l'avantage que je prétends en tirer : on prendra là-dessus le parti qu'on jugera à propos : ce que Ton vient d'enseigner n'en sera pas moins vrai.

i:i6 LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

PROPOSITION TROISIÈME

Problème.

Trouver l'épaisseur quil faut donner aux piédroits des voûtes , lorsque ces piédroits sont accompagnés de contreforts.

Je suppose qu il est question de construire une voûte dont les piédroits doivent être soutenus par des contreforts , que Ton est convenu , de la longueur et de 1 épaisseur de ces contreforts , aussi bien que de la

distance des uns aux autres , et qu*il n'est plus question que de savoir l'épaisseur quil faudra donner aux piédroits, afin qu'étant aidés des Contreforts, le tout soit en équilibre avec la poussée.

Si Ton considère la Fig. 5 , on verra que le point d*appui qui soutient tous les efforts de la poussée de la voûte n'est plus comme ci-devant à l'endroit Y de la base des piédroits, mais bien à l'extrémité P de la queue des contreforts YPQC; ce qui montre que la perpendiculaire PO, abaissée sur la direction LO de la puissance, exprime le bras de levier qui répond à cette puissance. Cela posé , ayant tiré les autres lignes comme à l'ordinaire, nous nommerons KA ou MZ, a; ZC ou PY, b; BV, c; CY, rf; CB ou TS,/; ainsi ML ou MN sera h + c Fig. 4 + y; et MP ^a + d: par conséquent NP,a+rf — b — c — y^ ou ^^ bien/ — y^ en supposant a + d — 6 -^ c =f

Comme le triangle PON est semblable à LK A , il s'ensuit que , multipliant la superficie du voussoir LGD = n* par NP ==/ — j, on aura *Art. i5. ^a (y — j^ pQQp l'expression de la poussée de la voûte *. Présentement ^our avoir celle de la résistance des piédroits et xles contreforts , je considère que les contreforts , tels que ceux dont on se sert pour soutenir les voûtes, ont toujours leur sommet QC terminé en pente, pour faciliter l'écoulement des eaux de pluie : c'est pourquoi j'abaisse la perpendiculaire QH sur CY, et je divise CH en deux également au point I , afin d'avoir la ligne lY , que nous nommerons h , et qui , étant multipliée par PY = i, donnera bh pour la superficie de la coupe du contrefort PQCY, <jue nous supposerons réuni au point T, milieu de PY, comme si cette coupe était un rectangle (afin d'éviter les petits détails auxquels on serait assujéti , si l'on voulait examiner les choses dans toute