LIVRE IL DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES. i

DE aussi prolongé, on verra, par une démonstration semblable à la précédente, que si la perpendiculaire élevée sur la tangente lO allait rencontrer le petit axe ED au point L, on aurait encore le carré de EF est au carré de AF, comme l'abscisse MF est à la ligne ML.

2,S. Il suit du premier principe que , connaissant les deuK diamètres AB et ED d'une ellipse , et la distance du centre F au point G où on aura mené une ordonnée GH, on connaîtra toujours la valeur de cette ordonnée en nombres, en disant : Si le carré du demi-diamètre A F donne tant pour le carré du diamètre FD, que donnera la différence Au cfi^rré de A F au carré de FG pour le carré de G H que l'on cherche ? lequel étant trouvé , on n'aura qu'à en extraire la racine xîarrée , qui sera la perpendiculaire G H.

Corollaire IL

229. Il suit aussi du troisièihe principe que , si on avait besoin de connaître la valeur de la partie ML comprise entre l'ordonnée H M et la perpendiculaire HL^ élevée à l'extrémité de la tangente IH, on n'aura qu'à dire : Si le carré EF dotme le carré FB, que donnera la ligne FM pour la valeur de la ligne ML ? ce qu'on trouvera en faisant la règle. ^

Remarque.

3o. Comme on ne parvient avec le secours de l'algèbre à la connais- p^^ q sance des grandeurs que l'on cherche , que par le moyen de celles que Ton connaît déjà , il faut nécessairement , pour déterminer l'épaisseur des piédroits qui soutiennent les voûtes elliptiques, connaître certaines lignes qu'on ne peut avoir que mécaniquement , c'est-à-dire en traçant une demi-ellipse semblable à celle dont on veut faire la voûte : et les ellipses en pareil cas ne sauraient être trop grandes, afin d'avoir ce que l'on demande avec plus de précision. Voici comme on s'y prendra.

Ayant tracé sur le parquet d'une chambre ou sur une grande tablé une ligne A B de 5 à 6 pieds de longueur pour servir de grand axe, on

i34 LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

la divisera en deox également au point D^ et à ce point on élèvera I» perpendiculaire DC, dont la longueur doit avoir le même rapport avec la ligne AB^ que la hauteur de la voûte dans œuvre qu'on se (Nropose de faire aura avec sa largeur. Ensuite il faut tirw les lignes €E et CF, ensorte qu elles soient chacune égales à la moitié du grand axe AB , afin d avoir les points E et F , qui seront les foyers de lellipse. Après cela , on aura de la ficelle bien fipe et bien unie*, ou un cordon de soie , et on prendra dans cette ficelle une longueurqui soit parfaitement égale à Taxe AB : on attachera les deux extrémités de cette longueur aux points E et F, et , pour tenir la ficelle tendue , on se servira d'un poinçon , avec lequel on tracera en même temps la courbe AGHB, en allant du point A au point C ^ et du point C au point B(car on entend bien que cette ficelle doit glisser autour du poinçon G , et qu'elle doit être toujours également tendue). Cette manière de tracer l'ellipse est la plus commode que je sache : j'ai jugé à propos de la rapporter ici , quoiqu'elle soit assez connue ; mais ce n'est point un mal de rendre les choses présentes quand on rencontre les occasions d^en faire usage (i).

(i) La description de lellipse indiquée par Bélidor est plus expéditive et commode qu'exacte, parce que les cordons que Ton peut employer sont toujours plus ou moins extensibles , et qu'il n est pas possible que la tension que la main leur donne reste constamment la même ; d où il résulte que la longueur du cordon varie continuellement, et que le poinçon décrit une courbe dont les différentes parties n'appartiennent pas à la même ellipscr

De toutes les descriptions connues , Toici celle qui paraît préférable : on marquera sur une ligne droite la distance ac égale au demi-grand axe, et la distance bc égale JiG. 0. au demi-petit axe. Puis , ayant mené les lignes AB, CD, à angles droits , on fera mouvoir, la ligne a^c de manière à ce que les points a et & se trouveut constamment sur deux côtés de cet angle : le point c décrira l'ellipse. Cette méthode se déduit &cilement d'un théorème plus général donné par Maclaurin«-

La démpnstratioil immédiate en est très-simple. Soit ahU une des positions de la ligne décrivante^ on a dans les triangles semblables a D^ et 3HI, D£ :bl :: a^ : &H, ovi ï^b -\- b\ : bl :: ab + bH : iH, ou , en nommant A et B le demi-grand axe et le demi-petit axe, oc et y les coordonnées du point H , ^ : &I :: A : B. Mais iI=|/B*— /*,

donc B^c = A I/B' — j"", ou B* x^ + k^ji^ = A* B*, ce qui est Téquation <}onnue de l'ellipse.

Cette méthode , très-commode pour être «employée «ur le papier., et quand on n'a