LIVRE III. DE LA. MÉCANIQUE DES VOUTES. i

L'ellipse ëtaqt tracée , il fout faire une échelle , et avoir égard à la fig. 6.

quantité de pieds qu'on Teut donner de largeur à la voûte : si c'est par

exemple a4 pieds, je divise la li^e AB en quatre parties égales, et

une de ces parties étant divisée en pieds ^pouces et lignes ^ on connaîtra

d*autre objet que de décrire une ellipse , ne conserve pas le même avantage quand on veut tracer en grand les épures servant à lexéculion des yoûtes. M. de Prony a donné dans le dixième cahier du Journal de FËcole Polytechnique, iSro^ un procédé nouveau pour la description des courbes du second degré, qui est parfaitemeat adapté à cette circonstance, et que, vu sa grande utilité , je vais rapporter ici.

Étant donné le demi-grand axe C A et le demi-petit axe CB de T^Ilipse, on décrira du point C comme centre, et avec CA pour rayon, un cercle : puis on fera nouvoir ' '^'

une équerre de manière qu'un <de~ses côtés nF passant toujours par le foyer F, le sommet n de Tangle droit parcourre ce cercle : l'autre côté de 1 equerre nt sera toujours tangent à réilipse. Traçant ainsi une suite de tangentes suffisamment rapprochées les unes des aulres , on aura avec la plus grande netteté le cours de la courbe. La ménie méthode s'applique mot à mot à Thyperbole , et pour la parabole le cercle décrit du centre devient une ligne droite tangente au sommet de la couvbe.

Ce mode de description a le grand avantage de ne pas exiger une aire plus grande que le rectangle circonscrit à l'ellipse , et de donner immédiatement les tangentes et les normales , nécessaires pour le traeé des joints des voussoirs. M. de Prony l'a déduit de la considération des solutions particulières des équations différentielles , et c'est sans doute la manière la plus directe .d'y parvenir. Mais je vais en donner une démonstration synthétique, à la portée du plus grand nombre de lecteurs. Supposé .que la ligne mn soit effectivement tangente à Tellipse, et soit m le point de tangence ; joignant ce point avec l'autre foyer y, la ligne rnf jprdiongée viendra rencontrer en o la ligne Fn, aussi tprolongée , fo sera ^ale au ^nd axe, ^ no^nF (c^a ^résulte iiowédiatement de la méthode connue des anciens pour mener la. tangente à l'ellipse); or, en menant G//, •il est évident que les triangles foF et C/iF seront semblables, les côtés CF et F« du premier étant les moitiés dçs côtés Ff ex Fo du second : ^onc, Ca est au^^i la moitié deyb , et par conséquent égale au demi-grand axe, et le point n se trouve sur le cercle .décrit du point G comme centre^ avec le demi-grand axe pour rayon. La même démonstration s'applique aux autres courbes du second degré.

Gette construction peiut être remplacée par un procédé ,de calcul de la plus grande •simplicité^ et que je vais donner çn coutinuant d'employer des oonsidératipns élémentaires à la {jlace de celles dont M. de Prony s'est servi. On sait que, nommant x l'abscisse kp du point de contact , oomptée à partir du spmmet , et A , B , les djsmi-axes , -on a la soutangente

i36 LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

la valeur des lignes qu'on sera obligé de tracer daus Tellipse. Par exemple , si on avait quelque raison pour abaisser du point H ^ pris sur la courbe, la perpendiculaire HI à Taxe AB, on pourra avec réchelle trouver la valeur de l'abscisse DI et de l'ordonnée IH en pieds , pouces et lignes , aussi exactement qu'on peut le désirer dans la pratique. Nous allons faire usage de tout ceci.

PROPOSITION PREMIÈRE

Problème.

' Trousser V épaisseur quil faut donner aux piédtvits d'une Voûte

elliptique.

FiG. 8. 3i. Comme la poussée d'une voûte se fait toujours selon les directions des tangentes menées à la courbe qu'elle forme , il faut commencer par

Nommant les distances A ^ et AT, a et d , il sera très»{acil& d'après cela de trouver pour leur expression , en se rappelant que y^ = Ya(^Ajp — ar*),

B* Aj: ^ Ax

A* i/aAar— or» ' A — xt

éliminant a: entre ces équations, on trouvera

Observons maintenant que les triangles semblables AtT et D ^ r donnent, en nom-

ak

niant k la distance D/' , i = -^ . mettant cette valeur de b dans la formule ci-

dessus, on en déduira

Au moyen de cette formule , on déterminera le point f où la tangente coupe la parallèle au grand axe BD, quand on se sera donné le point t ou eUe coupe la parallèle au petit axe A D. Et si on veut fixer la position du point de contact , on le fera au moyen de la dislance mt que je nomme /, et dont Vexpression est

= A^^Zjt£, ouZ=AV^(B--a)'+F