LIVRE IL DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES

diviser le quart d'ellipse BD en deux également au point L pour mener à ce point la tangente L0<^ et sur rextrëmitë L la perpendiculaire LA qui , étant prolongée jusqu'en F , partagera comme à l'ordinaire la demivoûte en deux parties à-peu-près égales (i). Alors la ligne FA pourra être regardée comme le plan incliné sur lequel agit le voussoir FGDL, et la ligne OL comme la direction de la puissance qui serait en équilibre avec l'action du même voussoir. On sera peut-être surpris que cette direction ne soit pas perpendiculaire sur le milieu du joint FL, comme dans les problèmes précédents ; mais comme il fallait nécessairement qu'elle répondît au point L pour avoir les lignes LK, LV, KA, nous avons été obligés d'en user ainsi afin d'agir avec plus de précision , et nous y aurons égard dans l'application. Ainsi , supposant les autres lignes tirées comme ci-devant, nous nommerons LK, a; KA, é; LA, c; "RY.d; BS,/; MP,g^; ZB,^; et le voussoir C G ou CE, n».

Cela pesé, je considère que les triangles LKA et LMN, étant semblables, donnent AK=ft : LK = a :: LM=^-h d: MN=j (^ + d) ; par conséquent NP sera g — j {jr + d \ et comme les triangles LKA et NOP sont encore semblables, on aura aussi LA =:c : AK = ô :; NP = ^— y(j + é/):PO=^-£— ^(7 + rf), qui donne

l'expression du bras de levier PO. Présentement, pour avoir l'expression de la puissance O , je considère que la pesanteur absolue du vous* so\v LGD est à son effort sur le joint FL, comme LK = a est à LA

= c, et qu'ainsi il faudra multiplier — par le bras de levier PO, ce qui donne n» ( -^ — d — yj pour l'expression de la poussée de la voûte

par rapport au point d'appui P. D un autre côté ^ pour avoir celle de la résistance du piédroit PB, jointe au voussoir FB, je multiplie le rectangle PB =fy par PT = 7 y, et la superficie du voussoir FB = /** par le bras de levier PS =^ (car je suppose que la ligne de direction tirée

■ ■ Il 1, ■ ■ I. . ■ I ■ ■ I I ^

(i) On voit que Bélidor suppose que la disjonction des voûtes surbaissées se fait dans un point situé .à égale distance du sommet et des naissances. Cette supposition est tottt aussi arbitraire et tout aussi fausse pour ces voûtes que pour celles en plein cintre. (Voyez ci-dessus la npte de la page m), (iV)

i38 LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

du centre de gravité Q tombe «^peu^^prës au point S , ce voussoir étant beaucoup plus incline que dans la voûte en plein cintre) : ajoutant ces deux produits ensemble pour la comparer avec la pouaeee de la voûte ,

il vient cette équation '>'' ( "f" — ^) = t/T + ^'i' r i laquelle étant réduite , divisée par /et multipliée par a , il vient ^ T-^ — dj^=zy^ — i^j : changeant le second membre en un carré parfait et dégageant

hnconnue, on aura ^ = ^ H- 1/ -y VaT Jl' ^ •

donne ce que Ton cherche.

APPLICATION

Pour rapporter le problème précédent à la pratique ^ il faut commencer par tracer une grande ellipse, comme on Fa enseigné dans l'article FiG. 8. 36 ^ en sorte que les deux demi-axés soient dans la raison des lignes HB et HD ; par. exemple , si la largeur de la voûte dans œuvre était de ^4 pieds, et que la hauteur DH fût les deux tiers de cette même largeur, BH serait de la pieds , et DH de 8. Or, divisant un quart de cette ellipse en deux également,, on abaissera du point de division une perpendiculaire comme LV, dont il sera aisé de connaître la valeur par le moyen de l'échelle, aussi bien que de la ligne VH ou LK. Ayant donc fait moi-même ce que je viens de dire, j'ai trouvé que LV ou KH était de 6 pieds 3 pouces, et que LK ou VH était de 7 pieds 6 pouces; et comme il fallait aussi connaître KA, j'ai dit, selon l'article 29 : comme le carré de DH est au carré de HB, de même la. ligne K H est à la ligne KA, que j'ai trouvée de i4 pieds 9 lignes.

La voûte étant supposée de 3 pieds d'épaisseur , pour avoir la superficie des voussoirs FD ou FB, j'ai cherché celle de la grande et de la petite ellipse , et ayant retranché l'une de l'autre j'^ai pris la huitième partie de la différence, ce qui m'a donné 27 pieds. Ainsi, supposant la hauteur du piédroit de i5 pieds, on aura la valeur de toutes les lettres qui se trouvent dans l'équation précédente , puisque L K = ^ sera de 7 pieds 6 pouces, KA = è de i4 pieds 9 lignes, B V =: rf de 4 pieds 6 pouces , Z P =/* de 1 5 pieds , M P = ^ de 2 1 pieds 3 pouces ,