LIVRE II. DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES. i

PROPOSITION QUATRIÈME

Problème.

La pesanteur de la clef d'une voûte en plein cintre étant déterminée , on demande de combien il faut augmenter celle de chaque voussoir, pour quïls se soutiennent tous d'eux-mêmes en équilibre.

39. Nous avons fait voir dans Tarticle i^"" que tous les voussoirs qui Pl. VI. composent une voûte avaient plus ou moins de poussée, selon qu'ils F'^- 3 étaient plus près ou plus éloignés de la clef, et que cette poussée allant *" toujours en diminuant, à mesure que les plans sur lesquels ces voussoirs agissaient étaient moins inclinés à l'horizon , les voussoirs supérieurs ne manqueraient pas d'écarter ceux qui sont immédiatement audessous, s'ils n'étaient entretenus par du mortier. Cependant, comme ce serait un avantage pour la solidité des édifices que tous les voussoirs qui composent une voûte ne fissent pas plus d'effort les uns que les autres, jusqu'à pouvoir se soutenir d'eux-mêmes par leur poids sans le secours d'aucune matière étrangère , M, de la Hire a cherché de combien il fallait augmenter leur pesanteur au-dessus de celle de la clef, pour gagner par leur propre poids la force qu'ils avaient de moins par leur situation ; et comme ce problème est assez curieux , j'ai cru qu'on serait bien aise que je le rapportasse ici. p^^ ^

Ayant une voûte en plein cintre ABC composée de plusieurs voussoirs égaux , si par le sommet B de la clef on tire la ligne R O perpendiculaire au rayon GB, et qu'on prolonge jusqu'à la rencontre de BO tous les rayons qui répondent aux lits des voussoirs P, Q , R, S, etc. , je dis que tous ces voussoirs seront en équilibre, si leur pesanteur absolue est exprimée par les lignes HK , KL, LM, MN, etc.

Pour le prouver , remarquez que les trois puissances qui appartiennent au voussoir P sont exprimées par les côtés du triangle GHK; que celles qui appartiennent au voussoir Q , le sont par ceux du triangle G KL; et ainsi des autres voussoirs R et S, dont les puissances seront toujours représentées par les côtés des triangles ou ils sont renfermés , puisque les directions de ces puissances seront perpendiculaires aux;

i46 LA SCIENCE DES INÔÉNÏEUtS,

côtes des triangles. Or ^ si la pesanteur du voussoir P est exprimée par la ligne HK^ et celle du voussoir Q par la ligue KL, il est certain qu'ils seront en équilibre, puisque la ligne KG, qui est un côté commun aux triangles qui appartiennent aux voussoirs P et Q , exprime en même temps la force avec laquelle le voussoir P pousse le voussoir Q , et celle avec laquelle le premier est repoussé par le' second. De même, si la pesanteur du voussoir R est exprimée par liM , il sera aussi en équilibre avec le voussoir Q , le supérieur poussant Tinférieur avec la même force dont il est repoussé , puisque cette force est exprimée de part et d'autre par la ligne GL, qui est aussi un côté commun aux triangles qui appartiennent aux voussoirs Q et R. Enfin , si la pesanteur du voussoir S est exprimée par MN, on verra par un semblable raisonnement qu'il sera en équilibre avec le voussoir P, puisque ces deux voussoirs agiront Tun sur l'autre avec la même force G M. A Tégard du voussoir T qui répond au piédroit , sa pesanteur ne peut pas être déterminée; les ligues BO et GC étant parallèles ne se rencontreront jamais , ce q^i montre que ce voussoir doit être d'ude pesanteur infinie pour résister à l'efibrt de tous les autres dans le cas où il pourrait glisser sur un plan infiniment poli : mais comme dans la pratique il n'est pas question de ces sortes de plans , et qu'au contraire il se rencontre toujours beaucoup de frottement , il suffit de donner k ce voussoir le plus de pesanteur qu'il est possible.

On remarquera que les diftérentes pesanteurs des voussoirs peuvent être exprimées par la différence des tangentes des angles que font les joints en commençant au milieu de la clef, puisque les lignes KL, LM, ' Mî!r, qui expriment la pesanteur des voussoirs P, Q, R, S, marquent la différence des tangentes des angles BGK, BGL, BGM et BGN. Or, comme on a la valeur de tous ces angles par la division qu'on a faite du demi-cercle , il s'ensuit qu'ayant. leurs tangentes dans les tables des sinus , si l'on en prend les différences , on aura des nombres qui exprimeront les rapports de la pesanteur des voussoirs. Ainsi , connaissant la pesanteur de la clef, on pourra (par, la règle de proportion) connaître celle de chaque voussoir, afin de voir combien il faudra les faire plus longs les uns que les autres, c'est-à-dire combien il faudra leur donner plus de queue pour qu'ils fassent à-pea-prës le même effort : je dis à-peu-prts ; car, comme on emploie ordinairement du mortier pour