LIVRE II. DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES. i5i

tenir l'effort de la partie supérieure , comme dans la figure 6 , à laquelle nous nous attacherons uniquement , comme étant la plus conforme à Tusage.

Ayant divisé le quart de cercle BD en deux également au point C ^ on tirera le rayon AF : on divisera aussi la ligne FG en deux également au point L, par lequel on mènera MK parallèle au diamètre BI qui déterminera la hauteur de la culée ; on prolongera la ligne SB jusqu'au point Q de la circonférence, et on tirera le rayon AQ et les autres lignes LO, LV et OP, comme à l'ordinaire.

Pour réduire en équation la poussée de l'arche et la résistance des entées , nous nommerons LK ou K A, a / BV , c; MP , rf; SY , ^; PS, j; la superficie CFGD,n^ et la partie BQFC, h" : ainsi MN ou ML sera c + j; et NP sera d — c — y; et si l'on suppose d— c =^f^ N P seray — y.

On sait par l'art. i4 que, multipltani la superficie €FGD = /i> par i'hypothénusé NP z=z/^^y du triangle rectangle NOP, lorsqu'il s'agit d'une voûte ou d'une arche en plein cintre, le produit donne une ex-« pression égale à la puissance qui soutiendrait la poussée de la partie CFGD : ainsi cette «poussée sera n* {/ — j), qu'il faut mettre en équi* libre avec la résistance du piédroit PMQS, joint à la partie BQPS, c'est -4-dire avec dy et A* , multipliés par le bras de levier PT ^=^ytl PY = j + ^, dont les extrémités T et Y répondent aux lignes de direction tirées de leur centre de gravité , c'est-à-dire avec 7 dy^ et A* (/-h g)^ qui donnent cette équation/V^* — n'^y=L'j'dy^ -h l^y + gh^ ; d'où faisant passer dans le même membre les termes où se trouve l'inconnue, et dans l'autre ceux où l'inconnue ne se trouve point , on aura ^ âpres

avoir divise par d , "^ — ^7^ = | j>^ H- f — ^ — J j>^ , et si I on suppose

S ==J^> ^t qu'on mette /? à la place de sa valeur, en multipliant

toute l'équation par 2, on pourra du second membre faire un carré

parfait en ajoutant /?' de part et d'autre , afin d'avoir d ^ *^

p^ =^ -I- ^py Hr /?*, dont extrayant la racine et dégageant l'inconnue,

l'on aura enfin^cï=-— /? H- |j/ j ^(/»* -f- g:A*) ^/?* |, qui donne ce

que l'on cherche-

i5a LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

APPLICATION

Pour avoir la valeur de l'inconnue ^ nous supposerons le diamètre B de 7â pieds, l'épaisseur D G de 6, et la hauteur 6S de 12; ainsi la ligne AL sera de i5, et Ton trouvera que BV= c est de 8 pieds 5 pouces, et LV de 27 pieds 7 pouces. Par conséquent ]VIP= rf sera de 2g pieds 7 pouces , et comme nous avons supposé d — c =/", / sera donc de 3i pieds 2 pouces. On trouvera aussi que la partie CFGD = n^ est de 1 84 pieds carrés.

Comme nous avons aussi besoin de la figure BQFC, remarquez que la ligne BQ est moyenue proportionnelle entre les parties ËB et BH du diamètre £H : ainsi , multipliant leur valeur , c'est-à-dire 6 pieds , par 78, on trouvera, en extrayant la racine carrée du produit, 21 pieds

6 pouees 6 lignes pour la perpendiculaire BQ , par le moyen de laquelle on aura la superficie du triangle ABQ , qui est de 389 pieds 3 pouces. Or, cherchant aussi la valeur du secteur EAQ qui est de 477 pî^^^ 3 pouces, on en retranchera celle du triangle ABQ : la différence sera 88 pieds pour le segment EBQ, lequel étant aussi retranché de i84 pieds, valeur de EFCB, la différence sera 96 pieds pour la partie B Q F C , par conséquent la valeur de A». D'un autre côté , le centre de . gravité de cette partie étant au point X, on verra que la perpendiculaire X Y vient tomber environ à 2 pieds 9 pouces du pdint S. Enfin , comme

nous avons supposé — ^ — =^, on trouvera que p vaut à-peu-près

7 pieds I pouce. Ainsi , comme toutes les lettres du premier membre

de l équation j = — /? -4- V/ j j {/n^ -h gh^ ) +/^M viennent d'être

déterminées en nombre , si Ton fait les opérations qui s'y trouvent indiquées, on trouvera que/, ou si Ton veut l'épaisseur PS de la culée, doit être de 1 1 pieds, pour soutenir en équilibre la poussée de la partie de l'arche qui lui répond.

Remarque première.

l\2. On pourra se dispenser dans la pratique d'avoir égard à la partie BQF , qui rend ce problème assez composé , et n'avoir attention qu'au voussoir CFGD et à la culée M S : alors l'équation sera beaucoup plus simple, puisque dans l'état d'équilibre on z\xv2i fn' =^ \ dy^ + n*/,