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pratique, il y a dans les méthodes d’approximations une partie extrêmement importante des Mathéma.tiques, et c’est ainsi que les parties les plus élevées de l’Arithmétique théorique se trouvent en relation avec les sciences appliquées. Quant aux séries, les démonstrations mêmes d’existence des intégrales en fournissent tout d’abord; ainsi, on peut obtenir des développements convergents tant que les intégrales et les coefficients différentiels restent continus. Quand quelque circonstance permet de prévoir qu'il en est toujours ainsi, les développements obtenus sont toujours convergents. Dans le problème des n corps, on obtient de cette manière des développements valables tant qu’il n'y a pas de chocs. Si les corps, au lieu de s’attirer, se repoussaient, celle circonstance ne serait pas à craindre, ce qui rendrait la Mécanique céleste bien facile; malheureu- - sement, comme le disait un jour Fresnel à Laplace, « la nature ne se soucie pas des difficultés analytiques » et les corps célestes s’attirent au lieu de se repousser. On serait même tenté parfois d'aller plus

loin que le grand physicien, et de dire que la nature :

a semé les difficultés sur les chemins des analystes. : Aïnsi, pour prendre un autre exemple, on peut géné-

ralement décider, étant donné un système d’équations différentielles du premier ordre, si la solution générale est stable ou non autour d’un point, et trouver des développements en séries valables pour les solutions stables; il faut seulement que certaines

inégalités soient vérifiées. Mais applique-t-on ces résultats aux équations de la Dynamique pour discuter la stabilité; on se trouve justement dans le cas particulier défavorable. En général, même ici, il n’est pas possible de se prononcer sur la stabilité; dans le cas d’une fonction des forces ayant un maximum, c'est seulement un raisonnement classique mais indirect qui établit la stabilité, laquelle ‘ne peut se déduire d’aucun développement valable pour toute valeur du temps.

Ne regrettons pas ces difficultés ; elles seront la source de progrès futurs. Telles aussi les difficultés que nous offrent encore, malgré tant de travaux, les équations de la Mécanique céleste; les astronomes ont à peu près tiré d'elles, depuis Newton, au moyen de séries pratiquement convergentes et d’approximations heureusement conduites, tout ce qui est nécessaire pour la prévision des mouvements des- corps célestes. Les analystes demanderaient davantage, mais ils n’ont plus guère d’espérances d'arriver à l’intégration au moyen de fonctions simples ou de développements toujours convergents. Ce que d’admirables recherches récentes leur ont le mieux appris, c’est l'immense difficulté du probième. Ce n’est peut-être pas tant pour les besoins de la pratique, que pour ne pas s’avouer vaincue, que l'Analyse ne se résigneraït jamais à abandonner, sans une victoire définitive, un sujet où elle a rencontré tant de triomphes éclatants ; et aussi, quel

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plus beau champ pourraient trouver, pour essayer leurs forces, les théories naissantes ou rajeunies de la doctrine moderne des fonctions que ce problème classique de la Mécanique céleste.

C’est une joie pour l’analyste de rencontrer dans les applications des équations qu’il peut intégrer

‘avec des fonctions connues, avec des transcendantes

déjà classées. De telles rencontres sont malheureusement rares; le problème du pendule, les cas

classiques du mouvement d’un corps solide autour

d’un point fixe sont des exemples simples où les

fonctions elliptiques ont permis d'effectuer l'inté- - gration. Il serait aussi extrêmement intéressant de

rencontrer une question de Mécanique qui puisse être l’origine d’une découverte importante touchant la théorie des fonctions, comme la découverte d’une transcendante nouvelle jouissant de quelque propriété remarquable ; je serais embarrassé d’en

‘indiquer un exemple, à moins de faire remonter au

pendule le début de la théorie des fonctions elliptiques. La pénétration entre la théorie et les applications est ici beaucoup moindre que tout à l'heure dans les questions de Physique mathématique. Aussi s'explique-t-on que, depuis une quarantaine d’années, les travaux sur les équations différentielles ordinaires, se rattachant aux fonctions analytiques, aient en grande partie ‘un caractère théorique tout abstrait. La théorie pure a pris ici notablement l'avance ; nous avons eu l’occasion de dire qu’il

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était bon qu'il en füt ainsi, mais il y a évidemment là une question de mesure, et l’on peut souhaiter de voir d'anciens problèmes profiter des progrès accomplis depuis vingt ans dans la théorie pure. On pourrait au surplus donner facilement des exemples, et je rappellerai seulement que des travaux récents font correspondre les harmoniques successives d’une membrane vibrante aux points singuliers d'une € certaine fonction. 3 | Il arrive aussi que la théorie soit un élément de classification, en conduisant à chercher les condi- tions pour que la solution rentre dans un type déter- miné, comme, par exemple, que l'intégrale soit uniforme. Il y a eu et il y aura encore bien des découvertes intéressantes dans cette voie; c’est ainsi que la mathématicienne la plus éminente du siècle dernier, M"° de Kowalesky a découvert un cas d’intégrabilité du mouvement d’un corps solide pesant, suspendu par un point fixe, au moyen des fonctions >PFCanes