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il fut posé avec éolien à propos du tracé des tangentes. En réalité, l'origine de la notion de dérivée est dans le sentiment confus de la mobilité des choses et de la rapidité plus ou moins grande avec laquelle les phénomènes s’accomplissent; c’est ce qu'expriment bien les dénominations de fluentes et de fluxions, dont se servait Newton, et qu’on croirait empruntées à l'antique Héraclite.

Les points de vue auxquels se placèrent les fondateurs de la science du mouvement, Galilée, Huyghens . et Newton, eurent une influence énorme sur l’orienta- tion de l'Analyse mathématique. Ce fut chez Galilée une intuition géniale de discerner que, dans les phé- nomènes naturels, les circonstances déterminantes du mouvement produisent des accélérations; elle devait conduire à poser le principe que la rapidité, avec laquelle change l'état dynamique d’un système, dépend d’une manière déterminée de son état statique seul. D’une manière plus générale, il fut postulé que les changements infiniment petits, de quelque nature qu'ils soient, qui surviennent dans un système de corps, dépendent uniquement de l’état actuel de celui-ci. Dans quelle mesure les exceptions sont-elles apparentes ou réelles? c’est une question qui ne fut soulevée que plus tard et sur laquelle nous reviendrons quand nous parlerons de l’explication mécanique des phénomènes natu- rels. Des principes énoncés se dégage un point ; capital pour l’analyste : les phénomènes sont régis

par des équations différentielles, c’est-à-dire par des relations entre les fonclions inconnues et leurs dérivées. On peut les former, quand l'observation et l’expérience ont fait connaître pour chaque catégorie de phénomènes certaines lois physiques. L’intégration de ces équations pour certaines données correspondant à un moment déterminé, permet de suivre les phénomènes quand le temps varie, et par suite de prévenir l’avenir, souvent sous forme numérique. On comprend les espérances illimitées que durent faire concevoir ces résultats. Comme le dit Bertrand dans la préface de son 7raité de calcul différentiel et intégral, « les premiers succès furent d’abord tels que lon -put supposer toutes les difficultés de la Science surmontées à l’avance, et croire que les géomètres, sans être distraits plus longtemps par l'élaboration des Mathématiques pures, pourraient tourner exclusivement leurs méditations vers l’étude des lois naturelles ». C'était admettre gratuitement que les problèmes d’Analyse, auxquels on était ramené, ne présenteraient pas de très graves difficultés. Mais, malgré les désillusions que devait apporter l’avenir, il restait ce point capital que les problèmes avaient pris une forme précise, et qu’une classification pouvait s'établir dans les difficultés à surmonter. Il y eut donc un progrès immense, un des plus grands qu’ait jamais fait l’esprit humain, et la voie où allaient s’engager la mécanique et la physique mathématique, était ouverte.

J'ai devancé quelque peu les temps, en présentant les choses sous une forme aussi analytique. La . Géométrie fut mêlée à tous ces progrès. Huyghens, par exemple, suivit loujours de préférence les anciens, et son Æorologium oscillatorium roule à la fois sur la Géométrie infinitésimale et sur la Mécanique; de même, dans le livre des Principes de Newton, les méthodes suivies sont synthétiques. C'est surtout avec Leibniz que la Science s’engage dans les voies qui devaient conduire à ce que nous appelons l'Analyse mathématique; c’est lui qui, pour la première fois, dans les dernières années du xvii° siècle, prononce le mot de fonction. Par son esprit systématique, par les nombreux problèmes qu'il traita ainsi que ses disciples, Jacques et Jean Bernoulli, il montra d'nne manière définitive la puissance des doctrines à l’édification desquelles avaient successivement contribué une longue suite de penseurs depuis les temps lointains d'Eudoxe et d’Archimède.

Le xvu* siècle montra l’extrême fécondité des nouvelles méthodes. Ce fut un temps curieux que celui de ces duels mathématiques, où les géomètres se lançaient des défis, luttes qui n'étaient pas toujours sans aigreurs, quand Leibniziens et Newtoniens se rencontraient dans la lice. Au point de vue purement analytique, la classification et l’étude des fonctions simples sont particulièrement intéressantes ; l’idée de fonction, sur laquelle repose l'Analyse, se

développe ainsi peu à peu. Les Ouvrages célèbres d'Euler tiennent alors une place considérable. Toutefois, les nombreux problèmes qui se posent devant les mathématiciens ne leur laissent guère le temps de scruter les principes; les bases mêmes de la doctrine s’élucident lentement, et le mot attribué à d’Alembert « allez en avant, et la foi vous viendra » est bien caractéristique de cette époque. De tousles problèmes soulevés à la fin du xvu° siècle ou pendant la première moitié du xvin°, il me suffira de rappeler ces problèmes d’isopérimètres qui allaient donner naissance au calcul des variations, problème dont le type le plus simple est offert par la recherche de la ligne la plus courte entre deux points d’une surface.

. Arrêtons-nous davantage sur la pénétration plus intime encore entre l'Analyse et la Mécanique, lorsque, après la période d’induction du premier âge de la dynamique, on en arriva à la période déductive où l’on s’efforça de donner aux principes une forme définitive. Le dévéloppément mathématique et formel joua alors le rôle essentiel, et le langage analytique fut indispensable à la plus grande extension des principes. 11 y a des moments dans l’histoire des scientes, et peut-être des sociétés, où l'esprit est

soutenu et porté en avant par les mots et les symboles qu’il a créés, et où les généralisations se présentent avec le moindre effort. Tel fut particulièrement le rôle de l'Analyse dans le développement

formel de la CRT Qu’ on me permette ici une remarque, On répète souvent qu'il n’y a, dans une équation, que ce qu'on y a mis. Il est facile de répondre d’abord que la forme nouvelle, sous laquelle on retrouve les choses, constitue souvent à elle seule une importante découverte. Mais il y a quelquefois plus : l'analyse, par le simple jeu de ses symboles, peut suggérer des généralisations dépassant de beaucoup le cadre primitif. Il en fut ainsi avec le principe des vitesses virtuelles dont l'idée première vint des mécanismes les plus simples. La forme analytique, qui le traduisait, suggéra des extensions qui menèrent loin du point de départ. En un sens même, il n'est pas juste de dire que l’Analyse n’a rien créé, puisque ces conceptions plus générales sont son œuvre. Un autre exemple nous est encore fourni par le système des équations de -Eagrange ; ici, des transformations de calcul ont donné le type des équations différentielles auxquelles plusieurs tendent à ramener aujourd'hui la notion d'explication mécanique. Il y a, dans la Science, peu d'exemples comparables à celni-là, de l'impor- tance de la forme d’une relation analytique et de la puissance de généralisation dont elle peut être éapable. Dans chaque cas, d’ailleurs, les générali-

___ sations suggérées doivent être précisées par un appel

à l'observation et à l’expérience, et ensuite, c’est encore le calcul qui cherchera les conséquences lointaines à soumettre: aux mêmes contrôles.

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Sous l'impulsion des problèmes que posent la Géométrie, la Mécanique et la Physique, nous voyons se développer ou prendre naissance presque toutes les grandes divisions de l’Analyse. On avait d'abord rencontré des équations à une seule variable indépendante. Bientôt les équations aux dérivées partielles apparaissent avec le problème des cordes vibrantes, la Mécanique des fluides et la Géométrie infinitésimale des surfaces. C'était tout un monde analytique nouveau ; l’origine même des problèmes traités fut un secours qui permit de ne pas s’égarer dès les premiers pas et, entre les mains de Monge, la Géométrie rendit d’utiles services aux théories naissantes.

Mais, de toutes les applicalions de l'Analyse, aucune alors n’eut plus d’éclat que les problèmes de Mécanique céleste posés par la connaissance des lois de la gravitation et auxquels attachèrent leurs noms les plus grands géomètres. La théorie n’eut jamais de plus beau triomphe; peut-être même pourrait-on ajouter qu'il fut trop complet, car c’est à ce moment surtout quel'on conçut pour la Philosophie naturelle les espérances au moins prématurées dont je parlais plus haut.

Dans toute cette période, surtout dans la seconde moitié du xvm° siècle, ce qui nous frappe d’admiration et nous procure aussi quelque confusion, c’est l'extrême importance des applications réalisées,

alors que la théorie pure paraît encore si mal assurée.

On le voit, quand certaines questions sont soulevées, comme le degré d’arbitraire dans la solution trouvée pour le problème des cordes vibrantes, qui donne lieu entre les plus grands géomètres à une interminable et peu concluante discussion. Lagrange sentait ces insuffisances, quand il publiait sa théorie des fonctions analytiques, où il s’efforce de donner : une base précise à l'Analyse. On ne saurait trop admirer le merveilleux pressentiment qu’il eut du rôle que devaient jouer les fonctions que nous appelons, comme lui, analytiques, c’est-à-dire des fonctions représentées par une série de puissances, ou série de Taylor ; mais nous restons étonnés, on peut l'avouer, devant la démonstration singulière qu'il croit avoir donnée de la possibilité du développement d’une fonction en série de Taylor. Les exigences, dans les questions d'Analyse pure, étaient moindres à cette époque. Se fiant à l'intuition, on se contentait de certains vraisemblances et l’on s’entendait implicitement sur certaines hypothèses qu’il paraissait inutile de formuler explicitement; au fond, on avait confiance dans la solidité des idées qui s'étaient tant de fois montrées fécondes, ce qui est à peu près le mot de d’Alembert. Le besoin de rigueur en Mathématiques a eu ses approximations successives et, à cet égard, ces sciences n’ont pas le caractère absolu que tant de personnes leur attribuent. |

LE XIXS SIÈCLE

Nous voici arrivés aux premières années du xix° siècle. Comme nous l'avons expliqué, la grande majorité des recherches analytiques eut, au xvi siècle, pour occasion un problème de Géométrie et surtout de Mécanique et de Physique et nous n’avons guère trouvé les préoccupations logiques et esthétiques qui vont donner une physionomie si différente à tant de travaux mathématiques, surtout dans les deux derniers tiers du xix° siècle. N’anticipons pas cependant, et, après les exemples si nombreux de l'influence de la Mécanique et de la Physique sur le développement de l'Analyse, nous en rencontrons encore un nouveau, et des plus mémorables, dans la théorie de la chaleur de Fourier,

Le grand physicien commence par former les équations aux dérivées partielles régissant la téempérature, en partant de la loi de Newton relative au | refroidissement et de la notion de capacité calori- fique. C’est là l'équation générale du phénomène, mais il faut maintenant des conditions aux limites permettant de déterminer une solution. Pour Fourier, les conditions sont suggérées par lé problème physique, et les méthodes qu’il a suivies ont servi de modèles aux géomètres physiciens de la première

moitié du sièele dérnier. ILobtint ainsi, par exemple,

- les premiers types de développements plus généraux que les développements trigonométriques, comme dans le problème du refroidissement d’une sphère,

où il applique sa théorie au globe terrestre et recherche la loi qui régit les variations de température dans le sol, en s’efforçant d'aller jusqu'aux applications numériques. Devant ces beaux résultats, qui faisaient tenir en une seule formule tous les phénomènes de conductibilité calorifique, on comprend l'enthousiasme de Fourier qui éclate à chaque ligne de son discours préliminaire. Parlant de l’Analyse mathématique : « Zl ne peut y avoir, dit-il, de langage plus universel et plus simple, plus exempt d'erreurs et d'obscurités, c’est-à-dire plus digne d’exprimer les rapports invariables des êtres naturels. Considérée sous ce point de vue, elle est aussi étendue que la nature elle-même ; elle définit tous les rapports sensibles, mesure les temps, les espaces, les forces, les températures ; cette science difficile se forme avec lenteur, mais elle conserve tous les principes qu'elle a une fois acquis. Elle s'accroît et s’affermit sans cesse, au milieu de tant d'erreurs de l'esprit humain. » L'éloge ne laisse rien à désirer ; on y voit cependant percer la tendance qui fait uniquement de l’Analyse l’auxiliaire, si incomparable qu’il soit, des sciences de la pature, tendance conforme, comme nous l'avons vu, au développement de la science pendant les deux siècles précédents; mais nous arrivons

précisément à une époque où apparaissent des tendances nouvelles. Poisson ayant, dans un rapport académique, rappelé le reproche fait par Fourier aux deux grands géomètres Abel et Jacobi de ne pas s'être occupés de préférence du mouvement de la chaleur, Jacobi écrit à Legendre : « Il est vrai que M. Fourier avait l’opinion que le but principal des mathématiques était lutilité publique et l’explication des phénomènes naturels; mais un philosophe comme lui aurait dû savoir que le but unique de la science, c’est l'honneur de l'esprit humain, et que, sous ce titre, une question de nombre vaut autant qu'une question du système du monde. » C'était sans doute aussi l'opinion de Gauss, le grand mathématicien et physicien de Gôttingen, qui appelait les mathématiques la reine des sciences et l’arilhmétique la reine des mathématiques. Il serait puéril d’opposer l’une à l’autre ces deux tendances ; l’harmonie des sciences mathématiques est dans leur synthèse.

Le moment devait arriver où l’on sentirait le besoin d'inspecter les bases de l'édifice et de faire l’inventaire des richesses accumulées, en apportant plus d'esprit critique. La pensée mathématique allait prendre plus de force en se repliant sur elle-même ; les problèmes s’épuisent pour un temps, et il n’est pas bon que tous les chercheurs restent dans la même voie. D'ailleurs, des difficultés et des para-

doxes restés inexpliqués rendaient nécessaires les

ii en TN à MER Fe F4 #4

progrès de la théorie pure. La voie où celle-ci devait se mouvoir élait tracée dans ses grandes lignes, et elle pouvait y marcher avec indépendance sans perdre nécessairement contact avec les problèmes que posaient la Géométrie, la Mécanique et la Physique. On allait attacher en même temps plus d'intérêt au côté philosophique et artistique des mathématiques, confiant dans une sorte d'harmonie préétablie entre nos satisfactions logiques et esthétiques et les nécessités des applications futures.

Sans insister, rappelons seulement quelques points dans l’histoire de la revision des principes dont Gauss, Cauchy et aussi Abel furent les ouvriers de la première heure. Des définitions précises sur les fonctions continues et leurs propriétés les plus immédiates, des règles simples sur la convergence des séries furent formulées et bientôt on établissait, sous des conditions très générales, la possibilité des développements trigonométriques, légitimant ainsi la hardiesse de Fourier. Certaines intuitions géométriques relatives aux aires, aux arcs firent place à des démonstrations rigoureuses. Les géomètres du dixhuitième siècle avaient nécessairement cherché à se rendre compte du degré de généralité de la solutior des équations différentielles ordinaires. L’assimilation avec des équations aux différences conduisait

facilement au résultat, mais il ne fallait pas serrer

de bien près la démonstration ainsi conduite.

Lagrange, dans ses Leçons sur le calcul des fonctions,

avait apporté plus de précision et, partant de la série de Taylor, il vit que l'équation d'ordre m laisse

indéterminées la fonction et ses m — 1 premières :

dérivées pour la valeur initiale de la variable; nous ne nous étonnons pas que Lagrange ne se soit pas posé la question de convergence. En vingt ou

trente ans, les exigences dans la rigueur des preuves:

s'étaient accrues. Les deux modes précédents de démonstrations sont, en fait, susceptibles de toute la précision nécessaire. Mais, pour le second, il fallait que la théorie se développât dans une voie nouvelle. Jusqu'ici les fonctions et les variables étaient restées réelles. La considération des variables com- . plexes, dites aussi quelquefois imaginaires, vint étendre le champ de l'Analyse. Les fonctions d’une variable complexe à dérivée unique sont nécessairement développables en série de Taylor; on retombe aiusi sur le mode de développement dont Lagrange avait compris l'intérêt, mais dont l'importance ne pouvait être mise pleinement en évidence si l’on se bornait aux variables réelles. Ces développements doivent aussi le plus grand rôle qu'ils n’ont cessé de jouer à la facilité avec laquelle on peut les manier et à leur commodité dans les calculs. Les théorèmes généraux de la théorie des fonctions analytiques ont permis de répondre avee précision à des questions restées jusque-là indécises, comme le degré de généralité des intégrales des équations différen- __ tielles à une ou plusieurs variables, questions de la

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DÉVELOPPEMENT DE L'ANALYSE MATHÉMATIQUE 31 = plus haute importance d’après ce que j'ai dit du rôle des équations différentielles dans les applications de l’Analyse.