L'ANALYSE ET LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE

Sans nous astreindre à l’ordre historique, reprenons le développement de la Physique mathématique au siècle dernier, en tant qu’il intéresse l'Analyse. Les problèmes d'équilibre calorifique, cas particulier du problème de Fourier, conduisent à Péquation déjà rencontrée par Laplace dans l’étude de l'attraction. Il y a peu d'équations ayant fait l’objet d'autant de travaux que cette équation célèbre. Les conditions aux limites peuvent être de formes diverses. Le cas le plus simple est celui de l'équilibre calorifique d’un corps dont on maintient les éléments de la surface à des températures données ; au point de vue physique, il peut être regardé comme évident que la température, continue à l'intérieur puisqu'il n’y a pas de source de chaleur, se trouve déterminée quand elle est donnée à Ja surface. Un cas plus général est celui où, l’état restant permanent, il y aurait rayonnement vers le dehors avec un pouvoir émissif variant sur la surface avec une loi donnée ; en particulier, la température peut être donnée sur une portion, tandis qu’il y a

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As ve LA SCIENCE MODERNE ET SON ÉTAT ACTUEL

rayonnement sur l’autre portion. Ces questions, qui ne sont pas encore résolues dans leur plus grande généralité, ont grandement contribué à l'orientation de la théorie des équations aux dérivées partielles. Elles ont appelé l'attention sur des types de déterminations des intégrales qui ne se seraient pas présentés en restant à un point de vue purement abstrait.

L’équation de Laplace se rencontre encore en Hydrodynamique et dans l’étude de l'attraction en raison inverse du carré de la distance. Cette dernière théorie a conduit à mettre en évidence les éléments les plus essentiels comme les potentiels de simples couches et de doubles couches, si importants en électricité. Les problèmes fondamentaux de l'élec- tricité statique rentrent nécessairement dans le même ordre d’idées et c’est certes un beau triomphe pour la théorie que la découverte faite par Georges Green du célèbre théorème sur les phénomènes électriques à l’intérieur d’un conducteur renfermant une cavité, d’après lequel aucun phénomène électrique extérieur ne se fait sentir dans cette cavité; Faraday retrouva plus tard expérimentalement ce résultat, sans avoir connaissance du Mémoire de Green.

Tout ce magnifique ensemble est resté le type de ces théories déjà anciennes de Physique mathématique, qui nous semblent presque avoir atteint la perfection et qui ont exercé et exercent encore une si heureuse influence sur les progrès de l'Analyse

pure, en lui suggérant les plus beaux problèmes. La théorie des fonctions nous offrira encore un rapprochement intéressant. Les transformations analytiques mises en jeu n’y sont pas distinctes de celles que nous avons rencontrées dans le mouvement permanent de la chaleur. Certains problèmes fondamentaux de la théorie des fonctions d’une variable complexe ont pu perdre alors leur énoncé abstrait pour prendre une forme physique, comme celui de la distribution de la température sur une surface fermée de connexion quelconque et ne rayonnant pas, en équilibre calorifique avec deux sources de chaleur qui correspondent nécessairement à des flux égaux et de signes contraires. Ces rapprochements entre des questions d'origines si diverses donnent au mathématicien l’assurance qu’il ne s’égare pas au milieu de ses symboles. Rien ne peut mieux montrer que ceux-ci ne sont pas de simples jeux de l'esprit.

Les exemples qui précèdent, où nous n'avons guère envisagé que les équations de la chaleur et de l'attraction, montrent que l'influence des théories physiques ne s’est pas exercée seulement sur la nature générale des problèmes à résoudre, mais même dans le détail des transformations analytiques. La théorie de l'électricité dynamique et celle du magnétisme, avec Ampère et Gauss, ont été aussi l'origine d'importants progrès; l'étude des intégrales curvilignes et celles des intégrales de surfaces ont pris là tous leurs développements. Les équations

de la propagation de l'électricité, auxquelles se rattachent les noms de Ohm et de Kirchhoff, tout en présentant une grande analogie avec celles de Ja chaleur, offrent souvent des conditions aux limites un peu différentes, On sait tout ce que la télégraphie par càbles doit à la discussion approfondie des intégrales d’une équation de Fourier transportée en électricité; c’est de là que lord Kelvin a tiré les règles essentielles relatives à la télégraphie transatlantique.

Les équations de la théorie de l’élasticité, celles de Maxwell en électromagnétisme sont venues offrir des problèmes analogues à ceux rappelés plus haut, mais dans des conditions plus variées encore. Il s’y rencontre bien des difficultés insurmontées, mais que de beaux résultats on doit à l'étude de cas parti-

.culiers. Les premières ont conduit à la théorie élas-

tique, les secondes à la théorie électromagnétique de la lumière. |

Notons encore, comme nié as à la fois l’Analyse et la Physique, les différences profondes que peut présenter la propagation suivant les phénomènes étudiés. Avec des équations comme celles du son, on a une propagation par ondes; avec l’équation de la chaleur, toute variation se fait sentir instantanément à toute distance, mais très peu à très grande distance, et l’on ne peut parler alors de vitesse de propagation. Dans d’autres cas, dont équation de Kirchhoff relative à la propagation de l'électricité avec induction et capacité offre le type

le plus simple, il y a un front d'onde avec une vitesse déterminée mais avec un résidu à l'arrière qui ne s'éteint pas, et cette remarque est capitale pour la discussion des expériences relatives à la propagation de l’électricité. Ces circonstances diverses, si intéressantes pour le physicien, ont été en réalité mises en évidence par l’étude analytique des intégrales; celle-ci soulève des questions où interviennent les notions les plus profondes de l'Analyse moderne, qui se trouvent ainsi, encore une fois, liées aux

problèmes les plus importants que posent les théo- +: 4

ries électriques...