LC8 PRINCIPES DE LA GÉOMÉTRIE

Après les principes de l'analyse, Fétude des bases de la géométrie n'a pas moins attiré l'attention : tout n'est pas si clair que le croibiit beaucoup de personnes dans les commencements de la géométrie, et d'Alembert a pu écrire jadis que la définition et les propriétés de la ligne droite sont l'écueil et le scandale de la géométrie. Nous sommes aujourd'hui bien convaincus qu'il y a dans toute science un point au delà duquel on ne peut remonter : il faut poser certaines données, certains concepts, et formuler au sujet de ces concepts des axiomes ou postulats qui reviennent, au fond, à les définir. On posera, par exemple, au début de la géométrie élémentaire, les concepts de point, de ligne droite, et on formulera cet axiome que deux points détermi-

nent toujours une droite. C'est pour le géomètre un difficile problème que d'établir la géométrie sur un système complet et non contradictoire d'axiomes indépendants ; dans ces derniers temps, des travaux remarquables, tels que ceux de M. Veronese et surtout de M. Hilbert, ont été publiés dans cette voie. Suivant qu'on adopte tel ou tel système d'axiomes, on aura telle ou telle géométrie. On peut maintenant se demander quelle est l'origine de ces postulats. Pour Kant, la source de nos connaissances géométriques est dans l'intuition, et les axiomes, plus ou moins explicitement formulé^ au début de la géométrie ont un caractère de nécessité absolue ; l'espace est pour Kant une forme a priori de notre sensibilité. Les géomètres ne souscrivent pas en général à cette opinion, depuis qu'on a montré que diverses géométries, exemptes de toute contradiction logique, peuvent être obtenues en partant de divers systèmes de postulats, mais certains philosophes continuent à y voir une confirmation de la doctrine kantienne, selon laquelle, entre toutes les formes logiquement possibles d'espace, une seule nous est donnée et imposée, comme forme d'intuition, par notre nature d'êtres sensibles, et non par notre raison. L'observation et l'expérience jouent un rôle indispensable dans la forme de nos connaissances géométriques; mais, tout en admettant ce point indiscutable pour la plupart, les avis sont encore très partagés. Quelques physiciens voient uniquement dans les axiomes des inductions basées sur les observations et les mesures faites sur les corps :

c'est rempirisme géométrique D'autres atlribuent un rôle plus ou moins grand à Tesprit travaillant sur les données de Texpérience. Pour certains, même, comme M. Poincaré, le' concept de grovpe, sur lequel nous reviendrons dans un moment, et dont il a été déjà question au chapitre précédent, préexiste dans notre esprit et s'impose comme forme de notre entendement; en outre, plusieurs interprétations de l'expérience sont possibles, et parmi celles-ci l'esprit a choisi la plus commode et la plus simple. Je me suis expliqué dans l'introduction sur la signification de ces mois en même temps que sur ce qu'est pour nous le réel. Les biologistes, dominés par la thèse évolutionniste, ne manquent pas de demander aux mathématiciens ce que c'est que l'esprit humain et sa logique ; pour eux, la commodité et la simplicité résultent de l'hérédité et de l'habitude, et la logique n'est que le résumé de l'expérience ancestrale. Dans un article sur la logique et l'expérience, M. Le Dantec plaisante, avec esprit, ceux qui parlent d'un monde non euclidien et il ajoute : «< Si les choses étaient autrement, nous aussi nous serions autrement, mais nous ne pourrions exister qu'adéquats aux choses ». Sans discuter sur le* sens du mol adé(juaf, je dirai simplement qu'on peut regarder la géométrie comme une théorie relative aux faits géométriques^ en entendant le mot théorie comme nous le ferons plus loin en mécanique et en physique. D'une manière plus précise, il parait impossible de séparer l'acquisition des notions géométriques des notions physiques les plus simples, la

géométrie dans des temps très anciens ayant fait partie de la physique. Sans changer Tensemble de ces notions, on ne peut, semble-t-il, remplacer le groupe euclidien par un autre. On retombe ainsi, sous un autre point de vue, sur les idées de Gauss, qui considérait comme un fait expérimental que la courbure de notre espace est nulle, et regardait le système euclidien comme plus vrai que les autres systèmes géométriques.

Ceci dit, nous allons rester maintenant sur le terrain mathématique, et sur celui de la logique au moins actuelle. J'ai fait tout à l'heure allusion à divers systèmes possibles de postulats. Si on ouvre un traité de géométrie élémentaire, on ne trouve formulé bien explicitement qu'un seul axiome : il porto le nom de postulatum d'Euclide. En réalité, un nombre considérable d'axiomes sont sous-entendus, et, en étudiant les plus récents travaux sur les principes de la géométrie, on est effrayé à la vue de la longue liste des postulats nécessaires à poser pour que la géométrie ait toute la rigueur logique qu'on lui attribue généralement. Les plus importants se rapportent aux concepts de droites, de plans, d'angles, de congruences; il en est un autre, d'une nature différente, qu'il pourrait paraître inutile de formuler, c'est l'axiome de continuité ou axiome d'Archimède. Au point de vue logique, ce serait nne erreur. Ainsi on a pu construire des géométries étranges dans lesquelles, en portant à partir d'un point d'une droite une succession de segments égaux, il n'est pas possible d'atteindre un point déterminé

dB la droite, quelque grand que soit le nombre de ces segments; or, Taxiome d'Archimède affirme précisément cette possibilité.

Tout le monde aujourd'hui a entendu parler de la géométrie euclidienne et des géométries non euclidiennes. Un postulatum^ célèbre dans la science, porte le nom d'Euclide. Le célèbre géomètre grec demande que l'on accorde que par un point on ne peut mener qu'une parallèle à une droite (l'énoncé d'Euclide avait une forme un peu différente, mais il revient entièrement au précédent). Il avait vainement essayé de rattacher logiqueinent cette affirmation aux données plus ou moins intuitives sur lesquelles il fondait la géométrie. Pendant longtemps, on chercha une démonstration du fameux postulatum. Ces démonstrations sont intéressantes à parcourir, on y retrouve tous les genres d'erreurs souvent rééditées dans le courant du siècle dernier, et que reverra sans doute de temps en temps le siècle présent; ce sont toujours des substitutions à l'hypothèse euclidienne d'une autre hypothèse que l'auteur juge plus évidente. Quoiqu'il se termine par des erreurs, il faut signaler cependant à part un travail d'un Jésuite italien, le père Saccheri, paru en 1733 sous le titre pittoresque « Euclides ab omni nœvo vindicalus ». Au lieu de substituer à l'hypothèse euclidienne quelque autre postulat paraissant plus plausible, le père Saccheri veut atteindre le but cherché en montrant qu'on rencontre des contradictions, si on n'admet pas le célèbre postulat. Considérons avec lui un quadrilatère plan A BC D^

dans lequel deux côtés opposi^s A D^ BC sont égaux et perpendiculaires à un troisième A B. Si on admet rhypothôse euclidienne, les angles Cet Z> sont droits ; si on ne l'admet pas, les angles sont encore égaux, et on peut supposer qu'ils sont droits, aigus ou obtus. Saccheri croit pouvoir montrer qu'on arrive à des contradictions, si on n'est pas dans le cas de Tangle droit; cette partie du mémoire est mauvaise, mais l'auteur fait auparavant quelques remarques fondamentales qui le placent, malgré lui, parmi les précurseurs des géométries non euclidiennes. Il montre que, suivant que l'on sera dans le cas de l'angle droit, de l'angle aigu ou de l'angle obtus, la somme des angles d'un triangle sera égale, inférieure ou snpérieure à deux droits, et il voit très bien que celle de ces circonstances se présentant pour un seul triangle se présentera pour tout autre triangle, proposition que Legendre devait retrouver plus tard pour le cas où la somme est égale ou inférieure à deux droits.

Dans cet historique des géométries non eucli-, diennes, si rapide qu'il soit, on doit citer encore Lambert, dont les résultats les plus remarquables sont relatifs à Taire d'un triangle, quand on abandonne l'axiome d'EucIide, aire dans l'expression de laquelle figure l'excès positif ou négatif de la somme des angles du triangle sur deux angles droits ; la géométrie spliérique occupa beaucoup Lambert et il eut l'intuition très nette que le cas on la somme des angles d'un triangle est moindre que deux droits correspond à la géométrie sur une sphère de rayon

imaginaire. Enfin Legendre s'occupa longuement du postulatum d'Euclide ; en particulier, il montra très simplement que dans un triangle, la somme des angles d'un triangle ne peut surpasser deux droits, mais sa démonstration, il ne faut pas Toublier, suppose que la droite est infinie, hypothèse qui n'est pas vérifiée dans la géométrie sphérique où le rôle de la droite est tenu par les actes de grand cercle. Il résulte aussi clairement des recherches de Legendre que le postulat d'Euclide revient à dire que la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits. On peut, d'ailleurs, donner bien d'autres formes au postulatum d'Euclide, en posant qu'il existe des droites équidistantes, ou encore qu'il existe des figures semblables. L'illustre Gauss, qui, dès les dernières années du xvïu* siècle, avait approfondi toutes ces questions, sans en rien dire que dans quelques lettres particulières publiées il y a seulement peu d'années,- regardait l'axiome d'Euclide comme équivalent à l'assertion que l'aire d'un triangle peut grandir indéfiniment.

Comme je viens de le dire, Gauss, craignant sans doute « les clameurs des béotiens », dant il parle dans une de ses lettres, ne publia rien des recherches où il établissait que la négation du postulatum d'Euclide n'entraîne aucune contradiction. A la géométrie non euclidienne, où la droite a une longueur infinie, se rattachent les noms de Lobatschewski et de Bolyai qui, indépendamment l'un de l'autre, édifièrent une géométrie où la somme des angles d'un triangle est inférieure à deux angles droits. Le point de départ

de Lobatschewski et de Bolyai est le suivant : étant donnés dans le plan une droite et un point, les droites menées par le point se partagent en deux classes, suivant qu'elles rencontrent ou non la droite donnée. Ces deux, «catégories de droite sont séparées par les deux parallèles (coïncidentes dans le cas euclidien) que Ton peut mener du point à la droite. L'hypothèse des deux parallèles menées par un point à une droite, caractérise le système de géométrie qu'on appelle souvent géométrie hyperbolique, et qui correspond au cas de l'angle aigu dans le quadrilatère de Saccheri, dont je parlais plus haut. Le cas où les deux parallèles coïncident correspond à la géométrie euclidienne ou parabolique; c'est le cas de l'angle droit de Saccheri. Un chapitre fondamental de la géométrie hyperbolique concerne la trigonométrie non euclidienne, c'est-à-dire les relations entre les angles et les côtés d'un triangle. Comme l'avait prévu Lambert, la géométrie hyperbolique trouve une interprétation dans la géométrie analytique sur une sphère de rayon imaginaire. A un tout autre point de vue, Beltrami donna plus tard de la géométrie de Lobatschewski une représentation remarquable en montrant que la géométrie plane du géomètre russe est identique à la géométrie sur les surfaces à courbure constante négative, du moins quand on se borne à une portion limitée du plan et de la surface correspondante.

Dans la géométrie hyperbolique, on peut mener par un point deux parallèles à une droite. On peut admettre, au contraire, avec Riemann, que par un

scifiNCËâ Mathématiques et astronomie 83

point on ne puisse pas mener de droite ne rencontrant pas une droite ; on aura alors une seconde géométrie non euclidienne dite elliptique^ dans laquelle la somme des angles d'un triangle dépasse deux droits. Ici le plan n'est plus infini, c'est-à-dire que les distances sur une géodésique restent finies. La géométrie elliptique peut être interprétée par la considération des sphères de l'espace euclidien; toutefois, cette interprétation n'est valable que pour une portion limitée du plan non euclidien et non pour le plan tout entier. Une autre interprétation dans l'espace ordinaire de la géométrie plane elliptique, valable pour le plan entier, a été donnée par M. Klein; considérons dans l'espace ordinaire l'ensemble des droites et des plans passant par un point, puis les angles dièdres formés par deux tels plans, toute relation entre ces éléments sera la traduction d'une relation dans le plan non euclidien, en substituant aux mots droite, plan, angle dièdre^ les mots pomt, droite et angle.

On s'est naturellement demandé comment on pouvait être assuré que, dans des déductions des géométries non euclidiennes, on ne rencontrerait jamais de contradictions. Les interprétations, auxquelles il a été fait plus haut allusion, sauf celles de M. Klein pour la géométrie elliptique, ne donnent pas une réponse satisfaisante, mais celle-ci peut être fournie par la considération des formules auxquelles on arrive en géométrie hyperbolique et qui ne sont autres, comme je le disais tout à l'heure, que celles de la trigonométrie sphérique ordinaire, en sup-

posant le rayon de la sphère purement imaginaire. Toutefois, si T.on est ainsi assuré que le postulatum d'Euclide ne peut être démontré en restant dans le plan, il reste un doute sur Timpossibilité de la démonstration en employant des constructions hors du plan. L'étude des géométries ne doit donc pas se borner au plan ; ce fut là Tœuvre de Riemann, d'Helmholtz et, il y a vingt ans, de Sophus Lie. Tous trois se placent à un point de vue analytique et considèrent Tespace comme une multiplicité, c'est-à-dire qu'un point est défmi par un système de trois nombres qu'on appelle les coordonnées du point ; on ne pose plus alors ici la notion de plan et de droite, on part du point comme élément. Riemann a été dans cette voie, alors toute nouvelle, un initiateur. Considérant même des espaces à un nombre quelconque de dianensions, il introduit l'importante notion de courbure d'un espace, généralisant les notions classiques dues à Gauss sur la courbure des surfaces. Particulièrement importants sont les espaces à courbure constante. Un caractère fondamental des espaces à courbure constante est qu'on peut dans ces espaces déplacer une figure sans altérer ses longueurs et procéder dans les démonstrations par supposition des figures. Pour le cas de deux dimensions, suivant que la courbure constante est négative ou positive, on a la géométrie hyperbolique ou elliptique dont nous parlions plus haut. Dans un espace à trois dimensions à courbure constante, on a des déplacements possibles qui dépendent de six paramètres, et, en

étudiant ces déplacements, on peut envisager à un nouveau point de vue les hypothèses fondamentales de la géométrie. C'est Helmholtz qui posa le premier la question sur ce terrain. La théorie des groupes n'était pas encore créée à Tépoque où le célèbre physicien écrivait son mémoire; il était presque inévitable qu'il commît quelques erreurs. Cette étude fut complètement reprise par Sophus Lie.

J'ai déjà parlé plusieurs fois de groupes ; c'est une notion qui joue un rôle fondamental dans la science de notre époque, sur laquelle il convient de dire quelques mots. Imaginons, avec Sophus Lie, que n relations permettent de transformer n variables en n autres variables, ces relations dépendant d'un certain nombre de paramètres arbitraires. Faisons de plus l'hypothèse que deux transformations de cette forme effectuées successivement donnent une transformation rentrant dans le même type, les valeurs des paramètres étant seulement changées. S'il en est ainsi, on a un groupe de transformations. Lie a fait la découverte capitale que la recherche de tous ces groupes, pour un nombres donné de variables et de paramètres, se ramène à l'intégration d'équations différentielles ordinaires. Je ne citerai qu'un résultat, le plus simple de tous ceux qu'a obtenus Sophus Lie; quand il n'y a qu'une seule variable, le groupe peut, par un choix convenable de cette variable, être ramené au groupe linéaire et contient au plus trois paramètres.

Revenons aux principes de la géométrie et aux

résultats obtenus par Lie. On a dans l'espace, dont on considère une portion limitée, un groupe de mouvements à six paramètres sur lequel on fait diverses hypothèses. D*abord ces mouvements laissent invariable une certaine fonction des coordonnées de deux points quelconques. L'origine de cette hypothèse s'aperçoit d'elle-même : en langage ordinaire et sans signe algébrique, on peut dire grossièrement que, en la faisant, on veut qu'il y ait relativement à deux points de l'espace quelque chose qui reste invariable, après le mouvement; on pourra appeler ce quelque chose la distance de deux points. En second lieu, on veut, comme le disait Helmholtz, que le mouvement libre soit possible dans une certaine région de l'espace. Voici ce qu'on doit entendre par cette hypothèse complexe. Tout d'abord, quand un point de la région est fixé, tout autre point de cette région, sans aucune exception ^ décrit u*ne surface (multiplicité à deux dimensions). Ensuite, quand deux points sont fixés, un point arbitraire (des exceptions étant possibles) décrit une courbe (multiplicité à une dimension); enfin, si trois points arbitraires sont fixés dans la région, tous les points de celle-ci restent en repos (des exceptions étant possibles). Telles sont les conditions que nous imposons à l'espace. Il y a seulement deux types d'espace satisfaisant à ces conditions. C'est tout d'abord l'espace ordinaire, ou euclidien auquel nous sommes habitués; puis deux espaces, qu'on peut appeler non euclidiens et qui sont dans le cas de trois dimensions les analogues des plans hyperbolique ou elliptique de tout à

rheure. C'est là une proposition bien remarquable et qui montre que les espaces euclidien et non euclidien sont les seuls où on puisse faire logiquement les hypothèses qui, dégagées, bien entendu, de leur forme scientiQque, sont regardées, par quiconque n'a pas réfléchi à ces questions, comme ayant un caractère nécessaire.

La démonstration du résultat précédent est très délicate. Ainsi les mots « sans aucune exception » que nous avons soulignés plus haut sont d'une extrême importance. Si l'on cherche le groupe des mouvements à six paramètres satisfaisant à la seconde condition, on ne trouve que les groupes euclidiens et non euclidiens, mais si on supprime les mots soulignés, on reconnaît qu'il existe d'autres groupes que les précédents.

Ajoutons encore que les problèmes analogues dans le plan admetlent des solutions entièrement différentes : les espaces à deux dimensions euclidiens et non euclidiens ne sont pas caractérisés par les propriétés qui leur appartiennent uniquement dans le cas de trois dimensions. Cette circonstance n'avait pas autrefois échappé à Helmhoitz. Si nous revenons à la question posée tout à l'heure relativement à l'impossibilité de toute contradiction, il est clair que du point de vue analytique où se place Sophus Lie, il n'y a aucune difficulté.

Au j)oint de vue du géomètre norvégien, l'étude des principes delà géométrie peut donc être regardée comme épuisée, mais on ne doit pas oublier qu'il se borne à considérer une petite portion de Tespace

et suppose d'ailleurs que les fonctions servant à caractériser les groupes de mouvement satisfont aux conditions ordinaires de l'analyse infinitésimale. Clifford autrefois et Klein plus récemment ont appelé Tattention sur la question de la connexité de l'espace qui est extrêmement intéressante. 11 est facile de se rendre compte de ce qu'on entend par là, eii se bornant au cas d'une miilliplicilé à deux dimensions; la surface d'une sphère est diiîérenle de la surface d'un tore, au point de vue des courbes fermées tracées sur la surface. Sur la première, toute ligne fermée partage la surface sphérique en deux régions, tandis qu'il en est autrement sur la surface du tore, où on peut tracer deux courbes, soit un parallèle et un méridien qiii ne limitent aucune portion de la surface; l'ordre de connexité des deux surfaces n'est pas le même. Peu importe quelle est la connexité de l'espace, quand on se borne à envisa^ ger une partie assez petite, mais il n'en va plus de même, quand on considère l'espace dans son ensemble. Nous ne savons évidemment rien de la connexité de l'espace où nous vivons; nous ne pouvons que faire la supposition qu'il est simplement connexe.

Nous nous sommes arrêté un peu longuement sur les ge^ométries dites non euclidiennes, qui ont le plus de rapports avec notre géométrie ordinaire. Cesgécrmétries d'espaces à courbure constante pourront très peu difîérer de celle-ci, si la courbure est très voisine de zéro. On n'a pas manqué de dire que la courbure de notre espace n'était peut-être pas nulle, mais seu-

lement presque nulle; c'était, semble-t-il, Topinion de Gauss, et il n'est pas douteux que la pensée de vivre dans un espace dont la courbure n'est pas nulle a donné une certaine popularité aux géométries non euclidiennes. Dans cet ordre d'idées, on peut aller plus loin, admettre, par exemple, que la courbure de l'espace varie avec les lieux et avec le temps. Pour quelques-uns, ce sont là de pures rêveries : ils pensent que quel que soit l'espace où nous yivions, nous aurions toujours fait une interprétation de nos sensations dans le langage euclidien qui est pour nous le plus commode. C'est un point auquel j'ai déjà fait allusion plus haut, et sur lequel on peut se donner le plaisir de disserter indéfiniment.

Nous sommes loin d'avoir épuisé l'ensemble des études se rapportant aux principes de la géométrie. Dans ces dernières années, la question de l'indépendance des postulats a surtout préoccupé les géomètres allemands, et c'est en construisant des géométries affranchies de tel axiome, que l'indépendance de ces axiomes a été établie par M. Hilbert. Ou remarquera aussi combien il est inexact de parler, comme on le fait quelquefois, des trois seules géométries possibles (hyperbolique, parabolique, elliptique).

Le nombre des géométries logiquement possibles est infini ; tout dépend des systèmes de postulats que l'on adopte. Déjà Riemann avait considéré, dans sa célèbre dissertation inaugurale, des géométries dans des espaces à courbure vaiiable d'un point à l'autre. La liste serait longue à dresser des géométries, analogues aux géométries non euclidiennes, qui portent

généralement un nom illustre précédé d'une négation. Une des plus curieuses est la géométrie nonarchimédienne, où Ton n'admet pas l'axiome d'Archimède, dont j'ai dit un mot tout à l'heure ; dans cette géométrie, les procédés par exhaustion ne peuvent être employés dans les démonstrations. Ceci est particulièrement intéressant pour la mesure des aires, et on peut faire à ce sujet quelques remarques concernant notre géométrie usuelle. En géométrie plane, deux polygones équivalents sont égaux par addition ou par soustraction, c'est-à-dire peuvent être décomposés en triangles égaux, ou bien peuvent être regardés comme des différences de polygones susceptibles d'être ainsi décomposés. Il n'en est pas de même dans la géométrie de Tespace^ Gauss avait déjà il y a longtemps appelé l'attention des mathématiciens sur ce point. On a récemment établi que deux tétraèdres qui ont même base et des hauteurs égales ne sont pas toujours égaux par addition ou soustraction, c'est-à-dire ne peuvent pas être décomposés en tétraèdres égaux ou être regardés comme des différences de polyèdres décomposables en tétraèdres égaux. La stéréométrie ne peut donc pas, comme la planimétrie, être faite sans recourir à des procédés d'exhauslion ou de limite.

Mais j'en ai dit assez sur les principes de la géométrie. Pour beaucoup de personnes, les recherches de ce genre paraîtront de bien élranges imaginations. Il n'est cependant pas sans intérêt de mettre à nu les très nombreux postulats indépendants qui sont à la base de notre géométrie, et qui n'ont pas les carac*

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tèresde nécessité logique que leur attribue l'intuition, celle-ci n'épuisant pas toutes les possibilités logiques. Tout esprit philosophique doit à ce titre s'y intéresser. Au point de vue mathématique, l'étude des principes de la géométrie a offert, comme nous l'avons dit, à Sophus Lie un beau champ d'applications pour la théorie des groupes de transformations qu'il venait de créer. De même, quarante ans auparavant, la théorie des formes quadratiques de différentielles s'était développée grâce aux recherches de Riemann sur les hypothèses qui sont à la base de la géométrie. C'est ainsi que des études, qui paraissaient avoir d'abord un caractère purement philosophique, ont contribué aux progrès des sciences mathématiques.