LE DÉVELOPPEMENT DES MATHÉMATIQUES PURES

Il ne serait pas possible d'entrer dans quelques détails sur les progrès des mathématiques pures sans faire intervenir des symboles ou des signes' d'opérations qui ne seraient pas ici à leur place. Tâchons seulement d'indiquer les voies dans lesquelles se poursuivent avec le plus de succès les recherches d'analyse et de géométrie.

Nous avons déjà dit un mot de l'importance qu'ont prise, à cause de leur simplicité même, les fonctions analytiques. Depuis Lagrange, et surtout après les travaux de Cauchy, de Weierstrass et de Riemann,

la théorie des fonctions analytiques est devenue une branche maîtresse de Tanalyse mathématique. Elle doit son brillant essor à la découverte de quelques propositions générales parmi lesquelles se trouvent au premier rang les théorèmes de Cauchy, sur l'intégration le long d'un contour. Depuis vingt ans, une partie importante de Teffort mathématique a été consacrée soit aux fonctions analytiques en général, soit à certaines fonctions spéciales. Ne pouvant entrer ici dans le détail de ces recherches abstraites, qu'il me suffise de citer les noms de MM. Poincaré, Mitlag-Leffler, Picard, Appell, Goursat, Painlevé, Hadamard et Borel entre bien d'autres. Les singularités des fonctions analytiques et leurs diverses représentations par des séries, des intégrales définies, des fractions continues ont été étudiées d'une manière approfondie. Parmi les .travaux les plus récents relatifs aux développements en série, mentionnons les développements dus à M. Mittag- Lefller, les études de M. Hadamard sur les séries de Taylor. Les séries divergentes avaient été quelquefois employées par lés géomètres du dix-huitième siècle et du commencement du dix-neuvième siècle, leur pénétration les avait fait le plus souvent échapper aux dangers des raisonnements fondés sur de telles considérations, mais sous l'influence de Cauchy, de Gaiiss et aussi d'Abel qui, dans une de ses lettres, traite d'invention du diable les séries divergentes, celles-ci avaient été proscrites de l'analyse mathématique. Dans ces derniers temps, M. Borel les a réhabilitées en introduisant la notion de série

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divergente sommablc et Tulilisant pour lYtude des propriétés des fonctions. Parmi les fonctions particulières, après le merveilleux développement de la théorie des fonctions algébriques d*une variable et des transcendantes qui s'y rattachent, après les brillants travaux de M. Poincaré sur les fonctions fuchsiennes, les fondions algébriques de deux variables devaient solliciter l'effort des chercheurs. Les études de M. Picard sur ces questions concernent le point de vue transcendant, elles se rapportent aux intégrales de différentielles totales et aux intégrales doubles que l'on peut attacher à une surface algébrique. Les travaux de M. Noether, de MM.Castelnuovo, Enriques et Humbertse rapportent surtout au point de vue géométrique et algébrique. Le champ si vaste des fonctions analytiques de plusieurs variables est maintenant attaqué de différents côtés, et les résultats déjà obtenus promettent pour un avenir prochain une ample moisson de découvertes. Si le concept de fonction analytique comprend aujourd'hui dans son domaine les fonctions les plus importantes de l'analyse, on ne doit pas cependant négliger d'approfondir l'idée de fonction dans toute sa généralité. J'en ai déjà montré plus haut le grand intérêt philosophique. Depuis les travaux déjà anciens de Riemann, de Weierstrass et de Hankel, ces études ont été poursuivies avec succès par MM. Darboux et Jordan, par M. Dini, M. Volterra et quelques autres géomètres, parmi lesquels on doit citer M. Baire et M. Lebesgue. A cet ordre d'idées se rattachent les travaux extrêmement nombreux sur les séries de

Fourier qui jouent un si grand rôle en mathématiques pures et dans presque toutes les questions de-physique mathématique. On rencontre sans doute dans beaucoup de ces recherches des fonctions bien bizarres, et quelques-uns demanderont à quoi pourront servir des fonctions aussi singulières. Il est facile de répondre que les fondions n'ont pas besoin de servir à quelque chose, et que Tétude de l'idée de fonction mérite d'être faite pour elle-même. Mais de plus, avec la complexité croissante des phénomènes naturels dont nous devons aborder l'étude, les images que nous pourrons nous en faire ne nous conduiront-elles pas à employer, pour leurs représentations, d'autres fonctions que leé fonctions analytiques? Il serait téméraire de formuler une réponse négative. D'autres considérations montrent encore la nécessité de ne pas se borner systématiquement aux fonctions analytiques, comme nous le dirons dans un moment.

Toute l'histoire de la science montre les rapports qui unissent l'analyse pure et les phénomènes naturels; c'est ce qu'on a vu dans le chapitre précédent. Cette solidarité se traduit mathématiquement quand on a ramené l'étude d'un phénomène à des équations différenlielies; ainsi, pour Fourier, l'étude de la propagation de la chaleur se ramène à une équation aux dérivées partielles que l'on devra intégrer à l'aide de conditions aux limites propres à chaque cas. De même, tous les résultats de la théorie mathématique de l'élasticité se concentrent dans un système classique d'équations différentielles. Nous

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reviendrons sur cette réduction au point de vue de la mécanique et de la physique, quand nous parlerons de l'explication des phénomènes naturels. Nous avons montré dans le premier chapitre l'intérêt considérable s'attachant à l'élude des équations différentielles. Des méthodes variées ont élé proposées pour démontrer l'existence des intégrales remplissant des Xîondilions diverses; il ne faudrait pas croire d'ailleurs que de telles recherches soient simplement des raffinements de rigueur intéressant seulement les purs analystes; on ne saurait trop répéter que la vraie rigueur est féconde^ se distinguant par là d'une autre purement formelle et ennuyeuse, qui répand l'ombre sur les problèmes qu'elle louche. Il est d'une extrême importance, dans maintes applications, de savoir dans quel champ se trouveront certainement définies les intégrales déterminées par les conditions initiales : à cette question doivent répondre les recherches précédentes. C'est ici qu'il est parfois très important de ne pas se borner systématiquement aux fonctions analytiques; les hypothèses inutiles ainsi introduites ont conduit souvent à délimiter pour- les intégrales des champs d'existence beaucoup moins étendus que ceux qui peuvent être obtenus en se plaçant à un point de vue plus général.

Les problèmes posés par l'étude des équations différentielles sont en nombre immense. Depuis trente ans, des voies nouvelles ont élé ouvertes et dans des directions variées. Il faudra sans doute une longue suite d'efforts pour venir à bout des

questions posées, mais nous commençons à nous rendre compte de la nature des difficultés qu'il faudra vaincre. La plupart des géomètres qui se sont occupés de la théorie générale des fonctions analytiques ont apporté aussi leurs contributions à l'étude des équations difîérentielles ordinaires, commencée jadis à ce point de vue par Gauchy et continuée par Briot et Bouquet et par Fuchs. Les recherches les plus récentes qui doivent être mentionnées dans cet ordre sont celles de M. Painlevé et de ses élèves, que la considération de certaines, équations du second ordre a conduit à des transcendantes nouvelles irréductibles à des transcendantes déjà connues.

La physique mathématique indiquait, nous Tavons dit, des types de problèmes du plus haut intérêt; cette voie féconde est suivie par de nombreux chercheurs. C'est actuellement un des sujets qui doivent attirer le plus les mathématiciens. On y risque moins que dans d'autres domaines de s'égarer dans des impasses et dans des recherches stériles, les questions étant le plus souvent posées par la physique.. Ici encore on retrouve la distinction entre les fonctions analytiques et les fonctions non analytiques. Il est des phénomènes où on ne rencontrera certainement que des fonctions analytiques, car on a pu établir que les équations différentielles qui les régissent n'avaient que des intégrales analytiques. Pour d'autres, au contraire, il en est tout autrement; tels sont, par exemple, ceux où on rencontre des propagations d'ondes. 11 y a là, pour le mathé-

malicien, des problèmes de natures très différentes où des résultats extrêmement remarquables ont été récemment obtenus.

Je viens de dire quelle mine fructueuse ont été et seront pour Tanalystc la mécanique et la physique mathématique. On a pu voir dans le chapitre précédent qu'il ne faudrait pas cependant professer une opinion trop systématique sur cette marche parallèle de la théorie pure et des applications comme le faisait, avec Laplace, Fourier, Poisson, la brillante école française de physique mathématique du commencement du siècle dernier.

Pour eux, l'Analyse pure n'était que l'instrument, et Fourier, en annonçant à l'Académie des Sciences les travaux de Jacobi, disait que les questions de la Philosophie naturelle doivent être le principal objet des médiations des géomètres; « on doit désirer, ajoutait-il, que les personnes les plus propres à perfectionner la science du calcul dirigent leurs travaux vers ces hautes applications si nécessaires au progrès de Tintelligence humaine «. Ce désir très légitime ne doit pas être exclusif. Ce serait méconnaître d'abord la valeur philosophique et artistique des mathématiques. De plus, des spéculations théoriques sont restées pendant longtemps éloignées de toute application, quand un moment est venu où elles ont pu être utilisées. On n'en peut pas citer d'exemple plus mémorable que le concept des sections coniques élaboré par les géonièlres grecs, qui resta inutilisé pendant deux mille ans, jusqu'au jour où Kepler s'en servit dans l'étude de la planète

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Mars. Si, en plui<d*une occasion, les mathématiques appliquées ont donné Timpulsion en posant les problèmes, il y a en revanche des cas où le développement de la théorie pure a permis seul certaines applications que Ton n'avait pu jusque-là aborder. Il faut donc apporter dans les vues générales sur la marche de la science une grande largeur d'idées et ceci n'a rien de spécial aux sciences mathématiques; l'esprit souffle où il veut. Peu d'années après que Fourier écrivait les lignes que je viens de rappeler, apparaissait Évariste Galois qui aurait, s'il avait vécu davantage, rétabli l'équilibre en ramenant les recherches vers les régions les plus élevées de la théorie pure; ce fut un malheur irréparable pour la science française que la mort de Galois, dont le génie allait, vingt ans plus tard, exercer une action si profonde sur les parties les abstraites des mathématiques.

Parmi les applications de la théorie des équations différentielles, une des plus intéressantes et des plus importantes concerne la géométrie. En France, cette école d'analystes géomètres, pour qui les problèmes de géométrie infinitésimale sont l'occasion de belles recherches analytiques, a pour chef M. Darboux. Ses leçons sur la théorie des surfaces sont un livre classique, qui a rappelé l'attention sur des questions quelque temps négligées. Les recherches de géométrie infinitésimale ont pris un grand essor sous l'influence de ce bel ouvrage; les travaux de M. Darboux, ceux de MM. Weingarten, Bianchi, Goursat, Guichard^ Kœnigs, Raffy et bien d'autres ont donné une vie

nouvelle à celte partie si importante, depuis Gauss, des sciences mathématiques, et, entre autres, la question de la déformation des surfaces s'est enrichie de résultats remarquables. Je donnerai une idée de ce genre de recherches, en énonçant un théorème élégant sur les surfaces. On sait que l'inverse du produit des deux rayons de courbure principaux en un point d'une surface s'appelle la courbure de la surface en ce point. La sphère est une surface fermée, sans singularités, à courbure constante positive ; elle est la seule, comme l'a montré M. Liebmann.

Nous avons parlé tout à l'heure de l'œuvre de Sophus Lie sur la théorie des groupes de transformations, qui restera certainement un des plus beaux monuments de Tanal^se mathématique au xix* siècle. L'illustre géomètre en avait montré l'importance dans l'étude des équations différentielles, et ses élèves ont continué ce genre de recherches. A un tout autre point de vue, M. Picard, MM. Vessiot et Drach ont tiré parti ^de la théorie des groupes de transformations pour étendre à l'analyse les notions si fécondes introduites en algèbre par Galois, de telle sorte que de remarquables analogies entre la théorie des équations différentielles et la théorie des équations algébriques ont été mises en évidence.

Je ne puis terminer cette rapide revue touchant les sciences mathématiques sans dire un mot de leur partie là plus abstraite, celle où règne le nombre pur. Les célèbres recherches de Kummer, de M. Dedekind et de Kronecker sur les nombres algébriques

ont été l'origine de travaux extrêmement intéressants publiés surtout en Allemagne. Toute une arithmétique nouvelle a été fondée, où les lois de la divisibilité se présentent d'abord tout autres que dans Tarithmétique usuelle; on y voit des entiers décomposables de plusieurs manières en facteurs premiers, et ce n'est qu'en introduisant la notion des idéaux que M. Dedekind a pu retrouver les lois simples auxquelles nous sommes habitués. Citons encore le nom de M. Minkowski qui utilise en arithmétique les conceptions géométriques et vient de rassembler ses profondes recherches dans un livre sur la géométrie des nombres, et les noms de MM. Hilbert, Hurwitz et Frobenius auxquels la théorie des nombres et l'algèbre pure doivent d'importants progrès. Rappelons enfin que M. Lindemann, s'inspirant des profondes recherches d'Hermite sur la transcendance du nombre ^, a pu établir l'impossibilité de la quadrature du cercle, proposition dont, depuis plus de deux mille ans, on cherchait en vain une démonstration rigoureuse; la démonstration, considérablement simplifiée, peut figurer aujourd'hui dans renseignement élémentaire de nos Universités.

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