MATHÉMATIQUES. — ASTRONOMIE

Les notions de mathématiques pures, renfermées dans le traité de Vitruve, sont peu nombreuses et seulement rela-

tives à quelques-uns des problèmes importants dont se sont occupés les anciens. L’astronomie est au contraire beaucoup plus développée ; on peut ainsi avoir une idée assez nette des notions générales qu’avait répandues l’Ecole d’Alexandrie à la suite des travaux d’Aristarque deSarnos, d’Eratostbène d’Alexandrie, d’Hypparque, et voir combien on était loin déjà delà théorie des sphères concentriques d’Eudoxe, adoptée par Aristote. Vitruve admet complètement la rotondité de la terre ; celle-ci est fixée au centre du monde, le ciel tournant autour d’elle, avec les deux pôles dont l’un supérieur visible, l’autre inférieur invisible ; il donne également toutes les divisions du ciel introduites par les astronomes Alexandrins et en particulier par Hypparque.

Grandeur de la terre (Livre I, cliap. VI).

A l’accasion du tracé de la rose des vents, pour connaître l’orientation convenable à donner aux rues d’une ville, il donne la grandeur de la terre telle que l’avait trouvée Eratosthène de Cyrène (275 ans avant J. -G.).

Si l’on observe, dit Vitruve, qu’Eratosthène de Cyrène a déduit la circonférence de la terre, de l’inclinaison différente du ciel (c’est-à-dire de la ligne des pôles) grâce au cours du soleil, aux ombres des gnomons au moment de l’équinoxe et qu’il a trouvé par des calculs mathématiques et des méthodes géométriques 252.000 stades, qui font trois cent fois plus quinze fois cent mille pas (31.500.000 ...

Vitruve veut déduire de là que l’espace correspondant à chaque rhombe de vent est formé de 1/8 de circonférence, c’est-à-dire trois cent fois plus quatre vingt-dix fois trentesept mille et cfnq cents pas (3.937.500).

Ces nombres donnent à raison de 185m par stade olympique pour la circonférence de la terre le nombre 46.620 kilm., nombre peu différent du nombre presque exact 40.000 kilm. La plus grande difficulté de la mesure entre-

prise par Eratosthène a été évidemment de mesurer la distance de Syène à Alexandrie , supposés du reste sur le même méridien.

Le pas dont il s’agit était donc de 125 par stade, c’està-dire de lm,48; le pas romain est en effet évalué à lm,47.

Sur la perspective des décors de théâtre (Livre VII, Introduction).

Les Grecs et les Romains connaissaient les règles géométriques nécessaires pour tracer les perspectives dans les décors de théâtre.

Les points de fuite sont parfaitement désignés dans les passages suivants que donne Vitruve au sujet des auteurs grecs qui ont écrit sur les méthodes à employer pour confectionner les décors :

Agatharchus d’Athènes, à l’époque où Eschyle composaitses tragédies, le premier sut monter une scène et laissa un ouvrage sur ce sujet. A son exemple , Démocrite et Anaxagore écrivirent sur le même objet ; ils firent voir comment ayant choisi un point dans un certain endroit, on peut tracer des lignes conformément aux lois naturelles de la vision et à l’extension des rayons de telle sorte, que sans qu’on puisse s’en rendre compte , des images représentées sur les décors des théâtres donnent l’aspect d’édifices, et que les choses représentées sur des surfaces planes et verticales paraissent les unes reculer et les autres avancer.

Vitruve semble partager l’opinion de la plupart des anciens qui admettaient que les rayons produisant la vision partaient des yeux pour se rendre sur les objets. Au point de la perspective cela semble vrai en apparence, puisque l’on obtient la projection conique des objets, en prenant comme centre de projection le centre optique de l’œil.

Sur la duplication du carré et le carré de l'hypothènuse. (Livre IX, Introduction).

Dans l’introduction du Livre IX, Vitruve voulant montrer la supériorité du mérite des écrivains et des hommes qui se sont occupés de travaux scientifiques sur celui des athlètes, parle de la duplication du carré, dont il attribue la découverte à Platon , et du carré de l’hypothènuse dans un cas particulier , qu’il admet avoir été énoncé par Pythagore. 11 ne semble pas qu’il ait eu connaissance des principes de géométrie d’Euclide (*200 ans avant J.-C.), quoique ce dernier fit partie de l’école d’Alexandrie et fût contemporain d’Eratosthène (275 ans avant J.-C.), cité plusieurs fois par Vitruve. Sans cela il n’aurait pas attribué autant d’importance à ces deux théorèmes, cas particuliers du théorème du carré de l’hypothènuse, démontré d’une manière générale par Euclide; et il ne paraît connaître ni la démonstration, ni le géomètre.

Des lacunes analogues se retrouvent dans d’autres points de l’ouvrage, à propos de Héron et de Ctésibius, tous deux également d’Alexandrie ; ce qui semblerait démontrer que les bibliothèques de Home, de constitution récente, étaient très incomplètes et manquaient souvent des livres les plus importants de la science grecque.

Si les écrivains, grâce à leurs connaissances, ont procuré tant d’avantages aux hommes dans la vie publique et privée, je pense que non seulement on doit leur décerner des palmes et des couronnes, mais aussi leur décerner des triomphes et les juger dignes de siéger parmi les Dieux. Je montrerai par quelques citations combien leurs découvertes ont été utiles aux hommes pour la conduite de la vie ; on reconnaîtra ainsi, qu’on doit accorder à de tels hommes de grands honneurs.

Parmi les principes si nombreux et si utiles donnés par Platon, je n’en citerai qu’un seul, avec la démonstration qu’il en donne.

Si une place ou un champ a la forme d’un carré, et qu’il faille le doubler,

comme on ne peut y arriver en ayant recours au calcul et à la multiplication, on le réalise par le tracé de lignes. En voici la démonstration:

Ce carré ayant dix pieds de long et de large, a une surface de cent pieds. S’il faut le doubler et faire un carré ayant une superficie de deux cents pieds, on devra chercher le côté de ce nouveau carré. Mais cela ne peut se trouver par des nombres; car si on prend quatorze, la surface sera de cent quatre-vingt-seize pieds ; si l’on prend quinze, la surface sera de deux cent vingt-cinq. Puisqu’on ne peut arriver par des nombres à la solution, on mène, dans le carré de dix pieds, la diagonale d’un angle à l’autre de manière à le diviser en deux triangles de même grandeur, chacun de cinquante pieds de surface, et avec la longueur de cette diagonale on décrit un nouveau carré ; les deux triangles formés par la diagonale dans le petit carré ayant chacun cinquante pieds, on en aura quatre de même grandeur dans le grand. La duplication obtenue ainsi par Platon, à l’aide de lignes, est expliquée par une figure à la fin de l’ouvrage.

Suit l’invention par Pythagore du carré de l’hypothénuse, dans le cas- où les côtés du triangle rectangle sont les nombres 3, 4, 5.

De même, Pythagore a fait voir que le tracé d’un angle droit peut se faire sans l’emploi d’instruments et que les équerres que les ouvriers à grand peine peuvent construire exactes, peuvent être corrigées par les méthodes et les mesures qui résultent de ses préceptes. A cet effet, on prend trois règles ayant respectivement, trois, quatre et cinq pieds ; si elles se touchent par les extrémités, elles formeront une équerre parfaite. Si l’on trace divers carrés ayant ces longueurs pour côtés, celui de trois pieds, aura neuf pieds carrés, celui de quatre, seize, et celui de cinq, vingt-cinq; la surface de ce dernier est donc égale à la somme des surfaces de deux autres. Quand Pythagore eût fait cette découverte, il ne douta pas qu’elle ne lui ait été inspirée par les Muses, et on dit qu’en action de grâce, il leur fit un sacrifice.

Vitruve explique ensuite combien cette relation est commode, par exemple, pour construire les escaliers en divisant la hauteur en trois parties, dont on prend quatre pour la projection horizontale et cinq pour le limon.

Sur la duplication du cube (Livre IX, Introduction).

Yitruve, au sujet de ce problème dont se sont tant occupés les géomètres dans l’antiquité, parle seulement des solutions données par Archytas et Eratosthène, mais sans aucun développement.

Portons notre attention sur les travaux d’Archytas de Tarente et d’Eratosthène de Cyrène. Ils ont fait, dans les mathématiques de nombreuses et utiles découvertes ; quoiqu'elles soient toutes intéressantes, il en est une surtout qui mérite toute notre admiration. Chacun avait expliqué d’une façon différente la réponse d’Apollon à Délos, de doubler le volume de son autel ; l’exécution de cet ordre divin devait délivrer l’île des maux qui l’acablaient. Archytas, par la description des demi cylindres, Eratosthène, à l’aide des rapports des diverses parties du mésolabe, purent résoudre ce problème.

Du mouvement des corps célestes (Livre IX, cbap. I à VI).

Yitruve rapporte assez superficiellement, et comme le ferait quelqu’un qui n’est pas lui-mème observateur, les notions admises à la suile des travaux des astronomes de l’Ecole d’Alexandrie, mais sans leur donner la précision qui résulte des observations d’astronomes tels qu’Aristarque de Samos (281 à 264), d’Eratosthène (275 à 195) et d’Hipparque (160 à 125) ; on comprend néanmoins que ce sont les travaux de ces savants qui formaient alors la base de l’enseignement de la cosmographie.

Le Livre IX est tout entier consacré à la gnomonique et à la description des clepsydres; mais les cinq premiers chapitres renferment un cours complet de cosmographie, quoique pour la gnomonique, le cours annuel du soleil soit seul utile à connaître. Vitruve indique d’abord comment l’ombre d’un gnomon au moment de l’équinoxe est différente en divers lieux, tels qu’Athènes, Alexandrie,

Rome, Plaisance. Il montre Futilité de l’observation de cette ombre pour déterminer la position de l’axe du monde et former l’analemme, dont on se sert ensuite suivant la position de chaque lieu pour tracer les heures sur les gnomons.

Voici la définition que Vitruve donne de l’analemme :

L’analemme est la règle déduite du cours du soleil, trouvée par le décroissement de l’ombre depuis le solstice d’hiver (Bruma) ; ensuite à l’aide des règles de l’architecture et l’emploi du compas, on détermine l’effet du soleil dans le monde. Le monde est la réunion de toutes les choses de la nature, ainsi que le ciel constitué par les astres.

Vient ensuite la définition des pôles servant à la rotation du ciel autour de la terre et de la mer. Vitruve adopte la théorie géocentrique d’Aristote et de l’Ecole d’Alexandrie, plutôt que la théorie semihéliocentrique de Philolaüs (de l’Ecole Pythagorienne) et la théorie franchement héliocentrique d’Aristarque de Samos qui devait rester oubliée ou dédaignée jusqu’à ce que Copernic vint la reproduire et la faire enfin triompher.

Le ciel tourne continuellement, dit Vitruve, autour de la mer et de la terre, grâce aux pivots qui terminent son axe. Car, en ces lieux, la puissance de la nature y a placé ces pivots comme des centres, l’un allant de la terre et de la mer à l’extrémité du monde au-delà des étoiles même du septentrion, 1 autre au-dessous delà terre, dans les régions du midi ; autour de ces pivots, nommés en grec 7:0X01, le ciel décrit, des cercles comme autour de l’axe d un tour, dans son mouvement de rotation perpétuel ; au contraire, la terre et la mer sont placées naturellement au centre.

En outre des deux pôles, dont l’un le septentrional est visible, et l’autre le méridional est caché par la terre. \itruve insiste particulièrement sur le zodiaque.

Au milieu est une zône circulaire assez large, transversale et inclinée par rapport au méridien, formée de douze signes ; le nom de chacune de ces douze parties égales, d’après la disposition des étoiles, exprime la figure que leur a donnée la nature Six de ces signes se déplacent avec le ciel

au-dessus de la terre ; les autres , circulant au-dessous de la terre, sont cachés par son ombre.

Comme il décrit plus loin les étoiles fixes visibles, il semble attribuer une importance capitale aux constellations zodiacales, à cause du Soleil, de la Lune, et des Planètes qui restent dans leur voisinage. 11 dit, en effet :

Ces signes étant au nombre de douze et correspondant chacun è la douzième partie du monde, marchent continuellement de l’orient en occident; au milieu de ces signes, d’un mouvement contraire, la lune, les étoiles de Mercure, de Vénus, le soleil lui-même, ainsi que les étoiles de Mars, Jupiter et Saturne se déplacent dans le monde en parcourant chacun un cercle de grandeur différente d’occident en orient, comme si elles exécutaient une ascension dans les degrés.

Yitruve donne pour la révolution sidérale de la Lune 28 jours etenviron une heure en plus ; pour celle du Soleil, l’année, ne distinguant pas du reste l’année sidérale et l’année tropique, et constituant l’année de treize mois lunaires.

Pour Vénus et Mercure, il semble admettre qu’ils tournent autour du soleil; car il dit :

Les étoiles de Mercure et de Vénus, autour des rayons du soleil, entourant celui-ci même de leurs orbites, comme s’il en était le centre, font des stations et des rétrogradations; aussi aux stations, en raison de leur mouvement, elles se retardent dans les signes.

Il montre que cela est manifeste surtout pour Vénus, qui est tantôt l’étoile Vesperugo, brillant le soir après le coucher du soleil, ou Lucifer se montrant le matin avant son lever. De même pour Mercure.

Il semble bien résulter de là que Vitruve admettait la rotation de Mercure et de Vénus autour dn soleil, qui les entraînait avec lui conformément au système établi postérieurement par Ptolémée, en donnant au rayon des déférents de Mercure et de Vénus, le rayon même de l’orbite solaire, et prenant comme des épicycles les cercles mêmes

décrits par ces planètes autour du soleil. C’était en partie le système proposé par Ticho Brahé pour toutes les planètes.

Vitruve donne les nombres suivants pour les durées des révolutions de Mercure et de Vénus.

Mercure 360 j ours .

Vénus 485 jours.

Pour les planètes supérieures, Mars, Jupiter, Saturne, il parle également de leurs stations et rétrogradations, ainsi que de la durée de plus en plus grande de leur révolution correspondant à leur éloignement de plus en plus grand de la terre. Les temps des révolutions sidérales, donnés plus exactement que pour les planètes inférieures , puisqu’ils sont moins variables , sont :

pour Mars environ . . 683 jours.

Jupiter — 11 ans et 363 jours.

Saturne — 29 ans et environ 160 jours.

Vitruve, nous l’avons vu, explique les stations et rétrogradations des planètes inférieures, en admettant qu’elles circulent autour du soleil. Pour les planètes supérieures, la question était plus difficile à résoudre et l’on sait qu’Hipparque, qui était arrivé à coordonner les mouvements du soleil et de la lune, en leur faisant parcourir des orbites excentriques autour de la terre, n’avait rien trouvé pour expliquer le mouvement des planètes ; c’est pour expliquer leurs mouvements que Ptolémée, 300 ans après Hipparque, proposa la théorie des épicycles et des déférents. Vitruve en cherche la cause, soit dans l’action des rayons solaires, soit dans celle de la chaleur qui en émane; voici ce qu’il dit à ce sujet :

Les astres^qui décrivent leurs obites au-delà du soleil, principalement quand ils ont formé le triangle (la terre, le soleil, la planète), n’avancent plus, mais rétrogradent, et s’arrêtent jusqu’à ce que le soleil, sortant de ce triangle , ait passé dans un autre signe. Quelques personnes pensent que cela se produit parce que le soleil, disent-elles, étant plus éloigné, retarde le mouvement des astres, qui circulent dans des chemins non

éclairés à cause de cette distance. Il ne nous parait pas qu’il puisse en être ainsi. La splendeur du soleil, en effet, est visible et perceptible sans aucune espèce d’obscurité dans le monde entier, puisqu’il nous apparaît, quand ces astres font leurs stations et rétrogradations. Donc si, à de si grandes distances, l’espèce humaine peut l’apercevoir, comment peut-on admettre que des êtres divins et lumineux, comme le sont les astres, puissent se trouver dans l’obscurité ?

Il veut en trouver la raison dans la chaleur solaire qui agirait plus énergiquement quand les rayons vecteurs delà terre au soleil et à la planète forment un angle de 120°; mais comme on doit s’y attendre, l’explication n’est ni claire, ni convaincante :

La cause nous en semble être la chaleur ; de même qu’elle attire à elle toutes choses, que nous voyons les fruits, grâce à l’action de lu chaleur, élevés à une certaine hauteur au-dessus de la terre, les vapeurs attirées jusqu’aux nues par le moyen de l’arc-en-ciel; de même l’ardeur puissante du soleil, lorsque ses rayons s’étendent en formant un triangle de 120° (radis trigoni formé porreclis) attire à lui les astres qui le suivent, et empêche d’avancer ceux qui le précèdent, les force à rétrograder et à entrer dans un autre signe de trigone.

Les anciens attachaient considérablement d’importance aux signes du zodiaque dans lesquels se trouvaient simultanément les divers astres, d’où les noms d’aspect trigone ou trine , quand les rayons vecteurs allant au soleil et à l’astre faisant un angle de 120" ; ces derniers étaient alors séparés par quatre signes ; l’aspect quadrat avait lieu, quand les rayons vecteurs formaient un angle de 90° ou qu’ils étaient séparés par trois signes du zodiaque, et l’aspect sextil quand l’angle était de 60°, ou leur distance de deux signes du zodiaque. C’est, en effet, dans le voisinage de l'opposition , quand les angles des rayons vecteurs sont compris entre 90° et 120°, que se font les stations et rétrogradations.

Vitruve ajoute pour compléter sa théorie:

On demandera peut-être pourquoi le soleil exerce plutôt l’action coercitive de sa chaleur dans le cinquième signe à partir de celui où il est, que dans

le deuxième ou le troisième, qui sont plus rapprochés. Eu voici, il me semble, la raison : Les rayons du soleil se propagent en ligne droite dans le monde , comme formant les côtés égaux d’un trigone (triangle équilatéral), et par suite atteignent ni plus ni moins que le cinquième signe à partir de celui où il est. Donc, si les rayons répandus dans tout le monde, se propageaient par des cercles, et non en ligne droite s’étendant d après la figure du trigone, ils enflammeraient les objets les plus rapprochés. Cela même paraît avoir été remarqué par Euripide, le poète grec; il dit, en effet, que les choses les plus éloignées du soleil éprouvent une chaleur violente , que les plus rapprochées sont plus tempérées. C’est ce qu’il écrit dans la fable de Phaéton :

Katit, và 7z6pfto}; xavyûOev à’sûxpax’e^et.

Cette idée que les objets les plus rapprochés du soleil sont moins échauffés que les plus éloignés, ne peut venir que de l’observation du froid qui règne sur les montagnes, évidemment, en apparence plus rapprochées du soleil.

IL n’y a pas lieu de discuter la théorie proposée par Vitruve, qui est remplie de contradictions et de cercles vicieux; mais du moins elle fait voir quel était son désir d’expliquer tous les phénomènes par des causes naturelles. Il oublie, du reste, quelques lignes plus loin sa théorie de l’échaufFement plus grand des corps plus éloignés du soleil, quand il dit:

Jupiter décrit une orbite comprise entre celle de Mars et de Saturne. De même, les autres étoiles, à mesure qu’elles sont plus éloignées de l’extrémité du ciel, et décrivent une orbite plus rapprochée de la terre, semblent la parcourir plus rapidement, de telle sorte que chacune de celles qui parcourt une moindre orbite, doit plus souvent dépasser la supérieure en passant par dessous.

De même, si sur la roue dont se servent les potiers, on a placé sept fourmies ; que l’on ait fait autant de canaux autour du centre augmentant du milieu à la circonférence, dans lesquelles elles soient obligées de tourner, et que l’on fasse tourner la roue en sens inverse ; il sera nécessaire que celles-ci parcourent leurs chemins, néanmoins malgré la rotation de la roue; celle qui sera le plus près du centre, parcourra plus rapidement son orbite ; celle qui est près de l’extrémité de la roue, quand même elle marcherait plus vite, à cause de la grandeur de son orbite, accomplira sa course plus lentement ; de même les astres luttant contre le mouvement

du monde, font leur circuit dans leurs orbites ; mais le mouvement diurne du ciel les reporte en arrière dans leur mouvement propre.

Il y a des étoiles tempérées, d’autres brûlantes, d’autres froides ; la cause parait en être, en ce que tout feu possède une flamme s’élevant vers le haut. Par suite, le soleil, enflammant par ses rayons, rend incandescent l’éther qui est au-dessus de lui dans les régions où l’astre de Mars décrit son orbite ; celle-ci est ainsi rendue brûlante par l’action du soleil.

Celle de Saturne qui est voisine de l’extrémité du monde, et touche les régions glacées du ciel, est excessivement froide ; celle de Jupiter, ayant son cours entre ceux des deux autres, paraît posséder un état tempéré, intermédiaire entre la chaleur et le froid de l’une et de l’autre.

Pour conclure, Vitruve ajoute :

J’ai exposé, comme je l’ai reçu de mes maîtres, ce qui est relatif à la zône des douze signes, au travail (opus) et au cours des sept astres, les relations et les nombres relatifs à leurs passages d’un signe à l’autre et à leurs orbites.

Phases de la lune (Livre IX, chap. II).

Pour les phases de la lune, Vitruve cite d’abord l’opinion de Bérose qui ayant quitté la ville ou la nation des Chaldéens, en répandit les théories dans toute l’Asie. D’après ce dernier, la lune serait un globe, dont une des moitiés serait incandescente, et l’autre serait bleue. Dans le cours de la lune, la face incandescente, grâce à l’action des rayons solaires, se tournerait vers le soleil, comme par suite d’une attraction de la lumière pour la lumière; l’autre partie, non incandescente, n’est pas visible, à cause de l’analogie de sa couleur avec celle de l’air. Les diverses phases dépendent de la portion de la surface incandescente que l’on aperçoit.

Vitruve cite ensuite l’opinion d’Aristarque de Samos, qui lui semble plus rationnelle, et conforme à la théorie admise encore aujourd’hui :

J’exposerai également , dit-il , comment Aristarque , mathématicien de

Samos , a , grâce à la variété de ses connaissances , donné une explication très satisfaisante du même fait. Il est évident , en effet , que la lune n a pas de lumière propre , mais qu’elle est comme un miroir, et doit son éclat à l’action du soleil.

Suit l’explication des phases comme on le fait aujourd’hui dans tous les cours de cosmographie.

Comment le soleil parcourant les signes augmente et diminue la grandeur des jours et des heures (Livre IX, chap. III).

Dans ce chapitre, Vitruve parle du passage du soleil à travers les divers signes du zodiaque et indique, sans démonstration , le changement de longueur des jours qui en est la conséquence; on peut faire, à ce sujet, quelques remarques, sur la manière de considérer à cette époque les mouvements célestes.

Yitruve désigne parfaitement les solstices et les points équinoxiaux, et signale la durée égale du jour de part et d’autre des solstices ; seulement ces quatre points capitaux au lieu d’ètre placés à l’entrée des signes correspondants, comme on le fait aujourd’hui, sont mis au 1/8 de leur étendue ; il dit, en effet :

Quand le soleil entre dans le signe du Bélier, et en a parcouru la huitième