VI

CONDITION GRAPHIQUE POUR QU'UN SYSTÈME DE TORCES SITUÉES DANS UN FLAN ADMETTE UNE RÉSULTANTE. — Discutons maintenant la règle trouvéeau § pour la composition des forces situées dans un plan.

11 y a trois cas à considérer, suivaut que les côtés extrêmes du polygone funiculaire se coupent, sont coïncidants ou parallèles.

(*) Le mot différence est toujours employé dans le scus dcfiui au $ 8, Chapitre I.

COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUES DES FORCES. 65 Théorème. — Pour qu un système de forces distribuées d'une manière quelconque dans un plan admette une résultante, il faut et il suffit que le polygone de ces forces ne soit pas fermé.

En effet, pour que les forces données admettent une résultante, il faut et il suffit que le point d’intersection 6 {fi g . 24, PI. PII) des deux côtés extrêmes du polygone funiculaire soit un point déterminé et placé à distance finie, c’est-à-dire que ces deux côtés ne soient ni parallèles ni coïncidants. 11 faut et il suffit pour cela que les rayons extrêmes O a et O b issus du pôle O [fig. 24 ) ne coïncident pas, c’est-à-dire que le polygone des forces ne soit pas fermé.

CONDITIONS GRAPHIttUIS D'ÉQUILIBRE D’UN SYSTÈME DE FORCES SITUÉES DANS UN FLAN. — Supposons maintenant le polygone des forces fermé : c’est le cas où les points extrêmes a et A de ce polygone se rapprochent jusqu’à venir se confondre (fig. 24 ) ; alors la résultante sera nulle, puisqu’elle est égale en grandeur à la droite ab ; de plus, les deux rayons extrêmes On et O A du polygone des forces coïncidant, les côtés extrêmes d’un polygone funiculaire quelconque seront ou parallèles ou coïncidants.

S’ils sont parallèles, le point d’application de la résultante passe à l’infini. On arrive donc à cette solution illusoire : une résultante nulle ayant son point d’application à l’infini, ce qui indique une impossibilité. S’ils sont coïncidants, le point d’application est indéterminé.

Pour interpréter nettement ces résultats, laissons pour un instant de côté l’une quelconque des forces données. Le polygone des autres forces n’étant pas fermé, elles admettent '§ 47) uue résultante égale en grandeur et direction, opposée en sens à la droite qui ferme ce polygone, c’est-à-dire égale en grandeur et direction, opposée en sens à la force laissée de côté. Si les côtés extrêmes du polygone funiculaire coïncident, c’est-à-dire si ce polygone se ferme, cette dernière force et la résultante des autres coïncideront; le système proposé sera donc en équilibre, puisque l’une de ses forces sera égale et opposée à la résultante des autres ; et alors tous les polygones funiculaires se fermeront de même, carie système des forces proposées peut (§ 45)

COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUES DES FORCES

être remplacé par deux forces dirigées suivant les côtés extrêmes d’un quelconque de ses polygones funiculaires ; et ces deux forces ne pourront se faire équilibre que si elles sont égales et directement opposées.

Ainsi :

Théorème. — Pour quun système de forces soit en équilibre , il faut et il suffit que son polygone des forces, ainsi que l’un de ses polygones funiculaires, se ferme, et alors tous ses polygones funiculaires se fermeront .

Ce théorème est équivalent au théorème de Géométrie établi au §25.11 indique que trois conditions sont nécessaires pour l’équilibre d’un système de forces situées dans un plan; en effet, la nécessité que le polygone des forces dont les côtés sont donnés en grandeur et en direction sc ferme vaut deux conditions; la nécessité qu’un polygone funiculaire se ferme ne vaut qu’une condition, puisque les côtés d’un tel polygone ne sont donnés qu’en direction. On a donc en tout trois conditions à remplir pour l’équilibre.

CONDITIONS GRAPHIQUES POUR QU'UN SYSTÈME DE FORCES SITUÉES DANS UN PLAN SE RÉDUISE A UN COUPLE. — Si, le polygone des forces étant fermé, un seul polygone funiculaire ne se ferme pas, aucun ne se fermera, parce que, si un seul se fermait, tous, d'après le théorème ci-dessus, jouiraient de la même propriété; les côtés extrêmes de tous les polygones funiculaires sont alors parallèles : le système des forces données se réduira donc à deux forces dirigées suivant ces lignes parallèles; ces deux forces seront d’ailleurs égales et de sens opposés, puisque le polygone des forces est fermé.

Ainsi, dans le cas où la règle générale du § 41 fournit cette soluliou illusoire, une résultante nulle ayant son point d'application à l'infini, les forces proposées n'admettent pas de résultante unique et se réduisent à deux forces parallèles, égales et de sens contraires. Un système de deux pareilles forces se nomme un couple.

On peut démontrer directement qu'un couple ne peut pas sc réduire à une force unique. En effet, si une force R fait équilibre A

COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUES DES FORCES. 67 un couple formé des forces P et — P (*), on pourra, à cause de la symétrie existant entre les deux forces du couple, trouver une autre force — R égale, parallèle et de sens opposé à R, occupant, par rapport au couple, une situation symétrique de celle de R et susceptible de le tenir également en équilibre. Soit R' une force égale et directement opposée à — R, en sorte que R' soit de même sens que R. On peut, sans troubler l’équilibre des trois forces P, — P, R, leur adjoindre les forces égales et opposées — R et R', en sorte qu’il y a équilibre entre les cinq forces

P, — P, R, — R et R';

mais il y a aussi équilibre entre les trois forces P, — P et — R.

Donc les forces R et R' devraient se détruire, ce qui est impossible, puisqu'elles sont dirigées dans le même sens.

Ainsi, dans ce cas, les forces données n’admettent pas une résultante unique; mais il est aisé de voir qu’elles peuvent être réduites à un couple d’une infinité de manières. On peut se donner arbitrairement en grandeur, position et sens, l’une des forces du couple auquel on les réduit : il suffit pour cela de remplacer une des forces données par deux autres, dont l’une X soit donnée arbitrairement; puis laisser de côté cette force X et chercher la résultante des autres. Cette résultante sera égale et parallèle à X, de sens contraire, et formera avec elle un couple équivalent aux forces données.

Ainsi :

Théorème. — Pour qu'un système de forces se réduise à un couple, il faut et il suffit que, son polygone des forces étant fermé, un de ses polygones funiculaires ne se ferme pas ; alors aucun de ses polygones funiculaires ne se fermera, et le système des forces données n admettra pas de résultante, mais pourra d’une infinité de manières être réduit à un couple ■

Nous verrons plus loin ce que ces divers couples ont de commun; ici il nous importait seulement de montrer que le polygone des forces et le polygone funiculaire conduisent, aussi bien que les procédés de la Statique ordinaire, à la considération des couples.

(*', En appelant — P la seconde force du couple égale à P et de sens oppose.

COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUES DES FORCES

CAS PARTICULIER DES TORCES PARALLÈLES. — Tout cc qui a été dit sur

la composition et l’équilibre des forces distribuées d'une manière quelconque dans un plan s’applique sans restriction au cas particulier où ces forces sont parallèles.

Le polygone des forces se réduit alors à une simple ligne.

La fi g. 31 (PL V III) contient les lignes d’action de quatre forces parallèles 1, 2, 3, 4, dont i, a, 3, 4 ( fig ■ 3 1 ) sont les grandeurs portées bout à bout à partir du point a. La grandeur de leur résultante est al>, et pour avoir sa ligne d'action il suffit de construire un polygone funiculaire.

Le point 5 de rencontre des côtés extrêmes de ce polygone détermine la position de cette ligne.

Si l’on se donnait les cinq forces

avant pour grandeurs

on voit que le polygone des lignes serait fermé , c’est-à-dire que la résultante des cinq lignes données serait zéro; le polygone funiculaire serait également fermé, ce qui montre que les cinq forces données sont en équilibre, comme cela doit être, puisque la cinquième force a été prise égale et opposée à la résultante des quatre autres.

DÉCOMPOSITION GRAPHIQUE D'UNE FORCE EN DEUX AUTRES QUI LUI SONT PARALLÈLES. — De même qu’on peut décomposer, par la règle du triangle des forces, uite force donnée en deux autres qui concourent sur sa direction eu sc donnant l’une des composantes en grandeur et position, ou les deux en position, de même on peut décomposer une force en deux autres qui lui sont parallèles en sc donnant l’une d'elles en grandeur et position, ou les deux en position.

t° Soit (fi g. 23, PL f II) à décomposer la force donnée R ou I en deux autres, suivant les lignes Q et P ou 2 et 3.

ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES PLANS NON LIBRES, ETC. 09 Nous construisons AC égal et parallèle à la force donnée R ou 1 ; appelons 2 et 3 les grandeurs des forces inconnues dont les lignes d’action 2 et 3 sont connues; joignons les extrémités de AC à un point O ; puis, d’un point a pris sur P ou 3, nous menons a I ou 3 1 parallèle au rayon AO ou 3i jusqu’à sa rencontre en I avec la force donnée R ; puis I h ou 1 2 parallèle au rayon OC ou i a jusqu’à sa rencontre en b avec Q ; menons enGn OB ou a 3 parallèle à ab ou 23. Les deux forces cherchées sont AB = P = 3 et BC = Q = a. Elles sont de même sens.

Si la force R était placée en R' d’un même côté des lignes P et Q, en supposant AC' = 1' égal à la force donnée R', le triangle ab I serait remplacé par ab I', le point B serait au-dessous de C' et la force BC' ou a serait dirigée en sens contraire de la force donnée AC' = i' et de la composante AB = a.

a° Si l’une des forces, celle P par exemple, est donnée en grandeur, alors, sur la fig. a5 ou 26, on connaît les trois points A, B, C du polygone des forces et, par suite, les trois rayons OA, OB, OC. On pourra donc construire le triangle ba I et avoir un point b delà seconde composante Q. La grandeur de cette force est d’ailleurs fournie directement sur le polygone des forces comme dilférence ou somme des forces données.