CHAPITRE V

ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES PLANS NON LIBRES. RECHERCHE GRAPHIQUE DES RÉACTIONS DES APPUIS.

ÉQUILIBRE D'UN SYSTÈME ASSUJETTI A TOURNER AUTOUR D’UN POINT THE. — PRESSION SUR LE POINT THE. — Un point fixe est un point tel qu’une force quelconque passant par ce point ne saurait le mettre en mouvement. Ce n'est pas que la fixité constitue par elle-même une force : un pointfixesurlequclon n'exercerait aucun effort serait exactement dans le même état que s’il était libre; mais, dès qu’on vient à y ap-

ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES PLANS NON LIBRES, ETC. pliquer une force F ou des forces ayant F pour résultante, la fixité du point fait naître une force F' exactement égale et contraire à F, en sorte que le point est dans le même état que si, libre, il était soumis à ces deux forces égales et contraires.

On voit par là qu’on peut toujours traiter un point fixe comme s’il était libre, à la condition d' adjoindre aux forces, quelles qu elles soient, qui agissent sur lui une force fictive capable de les maintenir en équilibre.

La résultante F des forces agissant réellement sur un point fixe sc nomme la pression exercée sur ce point ; la force F' égale et contraire à F est la résistance ou la réaction du point. Si cette résistance est indéfinie, le point demeurera fixe quelle que soit la résultante F des forces qu’on y applique, c’est-à-dire quelle que soit la pression qu’on exerce sur lui. Si, au contraire, il n’a qu’une résistance limitée, il faut faire en sorte de ne pas faire na itre des pressions dépassant cette limite ; et, comme tous les points fixes de la nature sont dans ce cas, on voit qu’il importe toujours de connaître exactement les pressions qu’on exerce sur eux, afin de leur donner une résistance au moins égale à la plus grande des pressions qu’ils auront à supporter.

Maintenant, supposons un corps ou système invariable mobile autour d’un point fixe et soumis à des forces distribuées dans un plan contenant ce point. Pour que le corps soit en équilibre, il n’est plus nécessaire ici que les forces qui agissent sur lui satisfassent aux conditions d’équilibre du § 4-9 : il suffit évidemment que leur résultante passe par le point fixe. On vérifiera aisément si cette condition est remplie ; il suffira pour cela de tracer un polygone funiculaire relatif à un pôle quelconque, en faisant passer le premier côté de ce polygone par le point fixe : le dernier côté devra y passer aussi, puisque ce point appartient à la résultante. Ainsi :

Pour qu’un système invariable, mobile autour d’un point fixe et soumis à des forces distribuées d’une manière quelconque dans un plan, soit en équilibre, il faut et il suffit qu'un polygone funiculaire quelconque passant par ce point soit fermé.

Si cette condition est remplie, la pression sur le point fixe est égale à la résultante des forces données, résultante que le polygone des forces fournit immédiatement.

ÉQUILIBRE D'UN CORPS S'APPUYANT PAR UN POINT UNIQUE SUR UNE LIGNE INÉBRANLABLE. PRESSION SUR CETTE LIGNE. — Considérons maintenant (fig. ay, PL PII) un corps ou système invariable appuyé sur une ligne lixe xy par un point A. Si ce corps n’était soumis à aucune force il serait exactement dans le même état que si la ligne fixe n’existait pas; mais s’il est soumis à des forces dont la résultante F satisfasse aux trois conditions : i° de passer par le point A; 3° d’ètre normale en ce point à la ligne xy ; 3° d’ètre dirigée dans un sens tel, qu’elle tende à appuyer le corps sur cette ligne et non à l’en détacher, alors il est clair que la présence de la ligue inébranlable xy fera naître une force F' égale et contraire à F, et que le corps sera eu équilibre, tout comme si, libre, il était soumis aux deux forces F et F'.

Ainsi : un corps qui s’appuie par un point A sur une ligne fixe peut être rendu libre, pourvu qu’aux forces qui agissent sur lui on adjoigne une force fictive de grandeur convenable, normale à la ligne au point A.

La force F est la pression que le corps exerce sur la ligne; la force F' la réaction de celle-ci sur le corps.

Il n’est pas nécessaire que la ligne xy présente une résistance indéfinie, il suffit qu’elle préseute une résistance égale ou supérieure à la pression F.

Au point de vue graphique, pour qu’un corps s’appuyant sur une ligne donnée xy en un point donné A soit en équilibre, il faut et il suffit : t° que la résultante des forces qui agissent sur lui soit parallèle à la normale à xy au point A, ce que l'on vérifie immédiatement sur le polygone des forces; 3° qu elle ait un sens tel, quelle tende à appuyer le corps sur la ligne fixe, ce que l’on vérifie de meme sur le polygone des forces ; 3° il faut ensuite que la résultante passe au point A, c'est-à-dire qu'un polygone funiculaire quelconque passant par ce point se ferme. (Cette dernière condition est la même que celle trouvée au paragraphe précédent.)

ÉQUILIBRE D'UN CORPS REPOSANT PAR DEUX DE SES POINTS SUR DES LIGNES PLANES FIXES. — PRESSIONS SUR CES LIGNES. — Suit un corps reposant par deux de ses points A et B sur deux lignes (ixes, on pourra (§53) le supposer libre, pourvu qu’aux forces qui agissent réellement sur lui on adjoigne deux forces lictives dirigées suivant les normales AN et BN' à ces lignes [Jig . 30, PI. PHI).

Donc, pour que le corps puisse être en équilibre, il faut et il suffit que la résultante R des forces qui agissent sur lui soit équilibrée parles forces dirigées suivant les normales AN et BN". Pour cela, il faut et il suffit que cette résultante passe par le point d’intersection O de ces normales. Tout se passe donc comme si le corps était assujetti à tourner autour du point O considéré comme Jixe, et le problème est le même que celui traité an § 52.

Les pressions sur les courbes sont les composantes de R sui- \ ant OA et OB, composantes que fournit immédiatement le polygone des forces.

Il y a toutefois à satisfaire à deux conditions de plus que si le point O était réellement fixe. Il faut que les composantes de R, suivant AN et BN', tendent à appuyer le corps sur lits courbes fixes et non à les en éloigner.

Remarque. — La condition principale pour qu’un corps reposant par deux de scs points sur des lignes fixes, consistant en ce que la résultante des forces appliquées au corps passe par le point d’intersection des normales aux lignes fixes, est remplie d’elleinêrnc :

i° Toutes les fois que les forces agissant sur le système sont symétriquement réparties par rapport à une ligne XX', et que les normales AN et BN' sont aussi symétriques par rapport à cette ligne;

a° Toutes les fois que les forces agissant sut le système sont des cliarges verticales et que les ligues normales AN et BN ' sont aussi verticales.

Ces deux cas sont ceux qui se présentent le plus habituellement dans les applications.

ÉQUILIBRE D’UTC CORPS AYANT UN POINT PUE ET S’APPUYANT PAR UN AUTRE POINT SUR UNE LIGNE FIXE. RÉACTION DES APPUIS. — Lorsqu’un corps a un point fixe C (Jig- 35, PL IX ), et qu’en outre il s'appuie par un autre point A sur une ligne fixe xy, il est généralement en équilibre, quelles que soient les forces qui agissent sur lui. Si en effet R est la résultante de ces forces, on pourra toujours décomposer R en deux autres forces : l’une dirigée suivant la normale NA à la ligne fixe en A, l’autre passant par le point C. L’équilibre aura lieu pourvu que la composante suivant NA appuie le corps sur la courbe. Cette composante donnera alors la pression sur la courbe, et celle suivant C donnera la pression sur le point fixe. Si le système des forces données se réduisait à un couple, on pourrait toujours décomposer chacune des deux forces de ce couple en deux autres, l’une suivant la normale IA à xy et l’autre passant en C; puis composer entre elles les deux forces suivant IA en une seule dirigée suivant cette ligne, et les deux forces concourant fin C en une seule issue de ce point.

" Ainsi, dans tous les cas, on arrive à substituer aux forces données deux forces, l'une normale à xy en A, l’autre passant au point C. Cette dernière est détruite par la fixité du point; la première est détruite par la résistance de la ligne xy , si elle tend à presser le corps sur cette ligne.

Maintenant, comment déterminer graphiquement les pressions sur les appuis, lorsque les forces agissant sur le corps sont données par leurs lignes d'action et leur polygone des forces?

On rendra le système libre en adjoignant aux forces données : t°une force fictive normale à xy en A; a° une force fictive passant en C.

La ligne d’action de la première de ces forces est connue, et de la seconde on connaît un point.

Soient {Jig- 32, PL VIII) 1, 2, 3, 4 les lignes d’action des forces appliquées au système, ces forces étant représentées par les côtés i, a, 3, 4 du polygone des forces ( fig . 3a). Soit AN la normale à xy. Ce sera la ligne d’action de la réaction de cette ligne : nous l’appellerons 5, et par l’extrémité b du polygone des forces

ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES PLANS NON LIBRES, ETC. nous mènerons bn parallèle à AN et nous appellerons cette ligne 5.

Maintenant construisons le polygone funiculaire relatif à un pèle quelconque O en partant du point fixe C. Le corps étant libre, pour qu’il soit en équilibre, il faut et il suffit que le polygone funiculaire dont il s’agit se ferme, ainsi que le polygone des forces. On peut tracer les cotés

Cl, 12, 23, 3 4 et A 5

du polygone funiculaire respectivement parallèles aux rayons :

Ou, Ota, Oa3, 034, 045,

Le dernier côté du polygone funiculaire sera CS, que nous appellerons 0. Ce sera la ligne d’action de la réaction exercée par le point fixe C; et si, de l’origine a du polygone des forces, nous menons une parallèle à cette ligne jusqu’à sa rencontre en z avec bn, la grandeur de la réaction de xy sera bz; la grandeur de la réaction du point fixe sera az.

Ainsi la règle à suivre est celle-ci :

Soient AN la normale à la ligne fixe au point de contact et C le point fixe du corps. Tracez un polygone funiculaire quelconque des forces données, en partant de C ; prolongez le dernier côté de ce polygone jusqu à sa rencontre avec AN en 5; joignez le point île rencontre 5 au point C; par l’origine du polygone des forces menez une parallèle à la ligne ainsi obtenue C S, et par l'extrémité de ce même polygone menez une parallèle à la normale AN. V oies aurez ainsi complété le polygone des forces et obtenu les pressions cherchées sur le point Jixe et sur la courbe fixe.

ÉQUILIBRE D'UN CORPS REPOSANT PAR TROIS POINTS SUR DES LI&HES FIXES. — Considérons maintenant un corps reposant par trois de ses points sur des lignes fixes. Soient AN, BN', CN " les normales à ces lignes ( fig . 30, PI. FIII).

Nous pouvons supprimer la ligne C, à la condition d'appliquer au corps, outre les forces qui agissent réellement sur lui, une force fictive convenable dirigée suivant CN".

ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES PLANS NON LIBRES, ETC. 75 Le système ne sera plus assujetti alors qu’à s’appuyer sur les deux lignes A et B; mais cela revient à dire (§ Si) qu’il est assujetti à tourner autour du point d’intersection O des normales à ces lignes, comme si ce point était fixe. Donc, en rétablissant la surface C, on voit que les conditions données sont les mêmes que si le corps était assujetti à tourner autour du point fixe O et à s’appuyer sur une ligne fixe. Ce problème a été résolu au paragraphe précédent.