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DÉCOMPOSITION GRAPHIQUE D'UH SYSTÈME SE FOBCES SUIVANT TROIS LI6NES QUELCONQUES SITUÉES DANS LEUR PLAN. — Lé problème qui fait l’objet du paragraphe précédent consiste à décomposer la résultante d'un système de forces données par leurs lignes d'action et leur polygone des forces suivant trois lignes arbitrairement données dans le plan, ou, ce qui revient au même, à déterminer les grandeurs de trois Jorces dont les lignes d'action sont données, de manière qu elles fassent équilibre à un système de forces données.

Ce problème se présentant souvent dans les applications, nous allons le traiter directement, au lieu de le ramener à celui qui fait l’objet du § 55.

Soient {Jig. 29, PI. FIU)

les lignes d’action des forces données, les grandeurs de ces forces étant représentées par les côtés

du polygone des forces (Jig. 29).

Soient XX', YY', ZZ' les lignes suivant lesquelles doivent être dirigées les forces qu’il s’agit de déterminer de façon à tenir en équilibre le système proposé.

Supposons le problème résolu, et soient 5, 6, y les grandeurs des forces cherchées sur le polygone des forces. Appelons 5, 6, 7 leurs lignes d’action données XX', YY', ZZ'.

Partant d’un point 7 de la ligne ZZ', construisons le polygone

ÏG ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES PLANS NON LIBRES, ETC. funiculaire relatif à un pôle quelconque O. Soit 7 1 234567 ce polygone, qui est fermé ainsi que le polygone des forces, puisque le système est par hypothèse en équilibre.

Sur le polygone des forces on connait le contour formé par les lignes i, a, 3, 4. ainsi que la position des lignes indéllnies 5 et y, dont la première passe par l’extrémité l> du polygone des forces données et est parallèle à a ou XX', et dont la seconde passe par l’origine a du même polygone et est parallèle à 7 ou ZZ'. Ce qu'il faut déterminer, c’est la position du côté 6 ou xy qui est parallèle à 6. Celte ligne déterminera les grandeurs 5, 6, y des trois forces inconnues.

Du polygone funiculaire on connait la portion 71 23 ta dont les côtés sont parallèles aux rayons y i, t a, a 3, 3 4, 4 5 •

Prolongeons sur le polygone des forces les lignes S et y jusqu'à leur rencontre en u et joignons Ou.

Sur le polygone funiculaire prolongeons deux des lignes données, par exemple celles XX' et YY' jusqu’à leur rencontre en m ; par ce point menons nui parallèle à ZZ', et prolongeons 67 jusqu’à sa rencontre avec nui en n ; enfin joignons 5n.

Les six lignes qui joignent les quatre points

du polygone funiculaire sont réciproques des six lignes qui joignent les quatre points

du polygone des forces; car, par construction, les cinq lignes 5m, mn, m6, 5G, 6/f sont respectivement parallèles à celles

xu, yu, xy , Ox, O y,

et l’on voit qu’aux deux triangles que forment les premières correspondent, dans les secondes, des lignes concourantes. Donc, en vertu du leuune établi au § 18, les lignes 5/2 et Ou sont parallèles.

De là la construction suivante :

Donnez aux ligues d’action des forces données les numéros consécutifs

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ÉQUILIBRE DK SYSTÈMK PLANS NON UBRK, ETC. 77

et aux côtés qui les représentent sur le polygone des forces les numéros correspondants

Donnez les trois numéros suivants :

aux lignes d'action des trois forces inconnues.

Partant d'un point quelconque 7 de la dernière de ces lignes, construisez le polygone funiculaire relatif à un pôle quelconque O des forces données. Soit 71 2345 ce polygone. Prolongez les lignes données 5 et 6 jusqu’à leur rencontre en m, et menez mn parallèle à 7.

D’un autre côté, par l’origine du polygone des forces menez une parallèle à 7, par son extrémité une parallèle à 5, et conduisez le rayon issu du pôle et aboutissant au point d'intersection u de ces deux lignes.

De l’extrémité 5 du polygone funiculaire menez une parallèle à ce rayon : cette parallèle coupera mn en un point n. Joignez n 7, que vous prolongerez jusqu'à sa rencontre avec Y Y ' en 6, et joignez 65; puis, sur le polygone des forces menez 0.r parallèle à 56 et 0 y parallèle à 67 ; joignez xjr. Les trois forces cherchées auront pour grandeurs et pour sens bx , xy elya.

Remarque. — Si les trois lignes données XX', YY', ZZ' concourent au même point m, la ligne ZZ' coïncide avec mn, le point 7 avec n. Le problème est alors généralement impossible; car la ligne 5n coïncidant dans ce cas avec 57 qui ferme le polygone funiculaire ne sera pas, en général, parallèle à On. Si elle l’est, les deux points 7 et n, qui déterminent 6 7, coïncidant, cette ligne est indéterminée. Ainsi, dans ce cas, le problème est ou impossible ou indéterminé. C’est ce qu’il était aisé de prévoir; car, si la résultante des forces données ne passe pas par le point de concours des trois lignes XX', YY', ZZ', on ne saurait l’équilibrer par trois forces dirigées suivant ces lignes, et, si elle y passe, on le peut d’une infinité de manières.

§ 37 bis.

Les fg. 34 et 34 (PL IX) résolvent le môme problème dans le cas où les forces données 1 , 2, 3, 4 sont parallèles entre elles, en sorte que leur polygone des forces, dont l’origine est a et l'extrémité b. se réduit à une ligne droite. Les lignes données sont XX', YY', ZZ' ou 3, 6, 7. La solution est la même qu’au paragraphe précédent, et les notations aussi, en sorte qu’on s’expliquera la figure en reprenant l’énoncé de la règle établie au paragraphe précédent. La solution de ce cas particulier sera utilisée plus loin à l’occasion de la théorie des charpentes.

Remarque. — Parfois on a à décomposer une force donnée unique F suivant trois lignes données (Jig . 33, PL IX).

Ou prolongera pour cela cette force jusqu’à sa rencontre avec l’une des lignes données ZZ' en I; on prolongera les deux lignes XX', YY' jusqu’à leur rencontre en m. On décomposera F en deux forces dirigées, l’une suivant ZZ', l’autre suivant Im. On décomposera ensuite celte dernière en deux, suivant XX' et YY', et l’on aura les trois composantes cherchées.

Cela revient, si f (fig. 33) est la ligne représentative de la grandeur de la force F, à mener par l’une des extrémités de y’ la ligne 3 parallèle à la ligne donnée 3, et par l’autre de ses extrémités x parallèle à Im, et par les extrémités de x, i et a parallèles aux lignes données I et 2.

CORFS REPOSANT PAR QUATRE POINTS SUR DES LIGNES DONNÉES OU AYANT DEUX POINTS FIXES. — SUE L’INDÉTERMINATION DES RÉACTIONS DES APPUIS.

— Considérons maintenant un corps ayant (fi g- 38, PL IX) deux points fixes O et O*. Il est bien clair que, quelle que soit la résultante des forces agissant sur lui, non-seulement il pourra se maintenir en équilibre, mais il pourra s’y maintenir d’une infinité de manières; car, si R est cette résultante, nous pouvons prendre au hasard un point I sur sa ligne d’action, et décomposer R suivant les deux lignes 10 et 10'. Ces deux forces seront l’une et l’autre détruites par la fixité des points et fourniront les pressions exercées

par R sur ces points; mais, comme I est arbitraire, on voit que ces pressions sont ici indéterminées.

On arriverait exactement au même résultat si l’on assujettissait le corps à reposer par quatre points A, B, C, D sur quatre lignes {fis- 39, PL IX).

En effet, dire que le corps s’appuie sur les lignes A et B, cela équivaut (§ 5i) à dire qu’il tourne autour d’un point fixe O, intersection des normales AO et BO à ces lignes. De même, dire qu’il s’appuie sur les lignes C et D, cela équivaut à dire qu'il tourne autour du point O', intersection des normales CO' et DO" à ces lignes. Donc le problème est le même que si le corps avait deux points fixes O et O'.

En prenant un point I sur la résultante R des forces qui agissent sur lui et décomposant cette force en deux suivant IO et IO', puis décomposant celle suivant IOen deux autres suivant AO et BO, et celle suivant IO' en deux autres suivant O'C et O'D, on aura les pressions sur les quatre courbes; et, comme le point I est pris au hasard, ces pressions sont encore indéterminées.

Il est bon de remarquer que l’indétermination est ici moins grande que dans le cas où les points O et O* sont effectivement fixes ; car alors le point I peut occuper une position quelconque sur la ligne indéfinie suivant laquelle agit la force R, tandis qu’ici il ne peut occuper qu’une portion de cette ligne telle que la ligne IO tombe dans l’angle AOB, et celle IO'dans l’angle CO'D. Autrement les forces suivant OA, 0B,0'C, O'Dnc seraient plus des pressions, c’est-à-dire qu’elles ne tendraient plus à faire porter le corps sur scs appuis.

Mais l’indétermination n’en existe pas moins; elle serait plus grande encore si, au lieu de quatre lignes d’appui, on en supposait cinq, six, etc. Elle se présenterait même déjà dans le cas de trois appuis (traité au § 50) si les normales à ces appuis concouraient en un même point O; car la résultante des forces agissant sur le corps devrait concourir en ce même point, et l’on pourrait la décomposer d’une infinité de manières suivant les trois directions issues de O.

Comment expliquer ces indéterminations?

11 est évident que, quand un corps de la nature repose sur des lignes ou surfaces fixes, quel que soit le nombre d’appuis sur les-

ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES PLANS NON LIBRES, ETC. quels il porte, il est dans un état parfaitement déterminé. Pourquoi la Statique ne l'indique-t-cllc pas?

D’Alembcrtvoyaitlà un paradoxe quePoinsot a très-bien expliqué, qu’un peut expliquer aujourd'hui d’une façon plus complète encore.

Il est évident a priori que la répartition des pressions sur les appuis est déterminée en ce sens qu’elle doit toujours demeurer la même dans des circonstances identiques. Le problème à résoudre consiste à trouver cette répartition lorsque toutes les circonstances qui concourent à la définir sont connues; mais parmi ces circonstances il en est que la Statique est impuissante à mettre en oeuvre : ce sont celles relatives aux formes des corps et aux changements qui se produisent dans ces formes par suite de l’élasticité de la matière.

La Statique suppose les corps solides invariables. Ceux de la nature ne sont pas dans ce cas : ils sont légèrement déformables en vertu de leur élasticité. Cependant les conditions d’équilibre relatives aux systèmes invariables leur sont (§ 38) rigoureusement applicables, comme elles le sont à tout système matériel, quelle qu’en soit la constitution. A ce point de vue, on peut dire que les relations de la Statique sont universelles. Seulement, tandis que, pour les systèmes invariables, elles fournissent les conditions d'équilibre à la fois nécessaires et suffisantes, dans les autres systèmes on ne les rencontre plus que comme conditions nécessaires : et, ce qui les caractérise toujours, c’est qu’elles sont indépendantes de la forme des corps sur lesquels agissent les forces. 11 suffit, en eflèt, de connaître les grandeurs et les positions des lignes géométriques représentant un système de forces pour pouvoir eflèctuer sur ces forces toutes les opérations qui sont du ressort de la Statique; la forme des corps n’intervient pas.

Donc, parmi les relations existant entre les forces agissant sur un système quelconque, celles-là seulement pourront être fournies par la Statique, qui sont indépendantes de la forme des corps; et, pour qu’uu problème consistant à déterminer des forces inconnues puisse être résolu par la Statique seule, il faut que ces forces demeurent les mêmes, quelles que soient les modifications de: forme que le système peut subir en vertu de sa constitution ou de l’élasticité des corps qui le composent.

Dès qu’un problème exige qu’on se préoccupe de ces modifications de forme, les conditions d’équilibre fournies par la Statique,

ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES PLANS NON LIBRES, ETC. 81 tout en demeurant applicables , laissent nécessairement subsister une indétermination que le problème peut ne pas comporter. La Statique fournit alors ce qu’elle peut fournir : les relations entre les forces, indépendantes de la forme des corps; les autres ne sont pas de son ressort et doivent être demandées à d’autres sciences, telles que la Théorie mathématique de l’élasticité ou toute autre branche de la Physique mathématique.

Appliquons ces remarques à la recherche des réactions des appuis sur un système élastique non libre en équilibre sous l'action de forces quelconques. Supposons, pour fixer les idées, qu’il s’agisse d'un corps reposant sur des appuis fixes en nombre quelconque.

S’il est d'abord placé sur ses appuis sans qu’aucune force agisse sur lui, pas même la pesanteur, il affectera une certaine forme qui est ce qu’on nomme son état naturel. Si l’on vient à faire agir les forces, il prendra une forme nouvelle qui dépendra non-seulement des forces agissant sur lui, mais aussi des dimensions du corps, de la nature de la matière dont il est composé et de la position des appuis.

D’après les explications qui précèdent, la Statique devra fournir les réactions des appuis toutes les fois que ces appuis seront tels qu’ils n’entraveront pas la libre déformation du corps; car c’est alors seulement que les réactions pourront être indépendantes de sa forme. Ceci revient à dire que les obstacles doivent être en tel nombre qu’ils ne fassent au plus que déterminer la position du corps dans l'espace ou dans le plan, mais qu’ils ne contribuent en l ien à la détermination de sa forme.

Toutes les fois que cette condition ne sera pas remplie, la Statique laissera le problème indéterminé, et la solution complète n’eu pourra être obtenue que si l’on tient compte des qualités élastiques de la matière.

Ceci explique nettement tous les cas d'indétermination précédemment trouvés, aussi bien que les cas où la Statique seule a permis de trouver les réactions des appuis.

i° On peut toujours supposer à un corps un point Gxe ou un point d’appui sur une courbe fixe, ou à la fois un point Gxe et un point d’appui sur une courbe , ou trois points d'appui sur des courbes fixes, sans gêner en rien sa libre déformation. Toutes ces sujétions n'ont trait qu'à la position du corps dans le plan; aussi,

dans tous ces cas, la Statique nous a-t-elle fourni les réactions des

appuis.

a° Mais on ne peut pas supposer à un corps deux points fixes sans faire obstacle à sa libre déformation, puisque deux points fixes obligent la ligne élastique qui les unit à demeurer invariable. De même on ne peut pas supposer plus de trois lignes d'appui, puisque trois lignes d'appui suffisent à déterminer la position du corps; et même si les normales aux trois lignes d’appui concourent en un point (qui peut être à l’infini, comme c’est le cas d’une pièce droite posée sur trois appuis en ligne droite), alors deux de ces appuis déterminent la position d'équilibre du corps, et le troisième devient superllu ; en sorte que dans tous ces cas la Statique doit demeurer impuissante. C’est en efl'et ce qui a lieu. Un voit donc, par les explications qui précèdent, qu’on peut toujours dire a priori si les problèmes de la recherche des forces inconnues sont ou non du ressort de la Statique, et cette remarque très-simple n’a pas, que nous sachions, été faite, ou du moins ne l'a pas été avec celle précision qui permet de s'en servir comme d’une propriété caractéristique de la Statique.

Le Mémoire que nous donnons à la suite de cet Ouvrage (Note II) n’est qu’une application de l’Analyse destinée à rendre ces considérations plus précises, afin d’en mieux permettre la mise en application.