TRACÉ GRAPHIQUE DE LA DIRECTION DES AXES PRINCIPAUX RELATIFS A
UN POINT OUELCONOUE DU PLAN. — Connaissant la conique centrale d’un système de forces, il peut être utile de savoir trouver graphiquement la direction des axes principaux relatifs à un point quelconque C du plan. Ce problème se résout très-simplement.
Soient, en effet (Jîg- 99, Pt . XXII), ad — ia et bb' — ib les axes de la conique centrale tracée en pointillé sur la figure. On aura
2P, ’ lP,r?
ZP,
DES FORCES PARALLÈLES. 195
Nous supposons, pour fixer "les idées, <i<^ b. Faisons tourner cette conique d'un angle droit autour de son centre; nous aurons ainsi la conique AA'BB'. Soient F et F' ses foyers, de sorte que
OF = v 'î>— «ï— x.
Désignons par x et y- les coordonnées d’un point quelconque C du plan, rapporté aux axes centraux Ox et O )', et soient Cx' et Cy' deux axes parallèles à Ox et O )', passant au point C. Le rayon de gyration relatif à l’axe Cx' est (§ 1 4-2 )
Le rayon de gyration relatif à l’axe Cy' est a s] u 1 -h x 1 .
Soient x, et y, les coordonnées du point d’application d’une quelconque des forces données P,-, relativement aux axes Cx' et Cy'. Posons
On a
c , ; ^ ip.
X, — Xi — X,
x! — ri — y.
d’où
AA — x iYi — yx, — xji -+• xy,
— x 1 - xy.
np i J
Et comme Cx et Cy sont les axes centraux, les trois premiers termes sont nuis ; donc
tX'—xy.
L’équation de la courbe d’inertie relative au point C, rapportée aux axes Cx' etC y', est (§ 143)
b x #î -t- a 7 y' 1 — ac'V y' — d 7 ,
(b 7 4- y’) t"- -t- (o ! -i- x’) y' 7 — îxyx" y' = d 7 .
196 DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES MOMENTS D'ORDRE SUPÉRIEUR Soient CX et CY ses axes principaux; si a est l’angle que l’un de ces axes fait avec Cx' ou avec Or, on a, d’après la théorie des courbes du second degré,
ou bien
— 2 xr — 2 xy
tang 2 a b’-ty‘ — (a’ -+• x’) k 1 ■+■ y' — x ! ’
ou, comme
tang 3« =
= tang CF x.
— = tang CF' x,
d’où
tang 2 a = tang(CF'x -+■ CFx),
a = ^ (CF'x -+- CFx ), et
a= — i (CF'x H- CFx).
Cela signifie que, si l’on joint le point C aux deux foyers F et F' de laconique AA' BB' et qu’on mène les bissectrices des deux angles supplémentaires formés par ces rayons vecteurs, ces bissectrices sont précisément les axes principaux cherchés.
On sait que, par tout point C d’un plan, on peut faire passer une ellipse et une hyperbole admettant les foyers F et F' et se coupant à angle droit; les lignes CX et CY sont précisément les tangentes, ou, si l’on veut, les normales à ces lignes.
Ainsi, lorsque des forces parallèles quelconques agissent sur un nombre fini ou non de points pris dans un plan, leurs axes prin-
DES FORCES PARALLÈLES
cipaux d'inertie aux divers points du plan sont les normales aux deux familles de coniques homofocalcs à la conique centrale, que ion aurait fait tourner d’un angle droit autour de son centre.
DÉTERMINATION GRAPHIQUE SE LA GRANDEUR DES AIES PRINCIPAUX RELA- TIFS A UN POINT aUELCONQUE ET SU MOMENT D'INERTIE RELATIF A UNE DROITE QUELCONQUE DU PLAN. — Une fois connue la direction des axes principaux relatifs à un point quelconque du plan, rien n’est plus facile que de déterminer la grandeur de ces axes ; car on peut facilement trouver le rayon de gyration relatif à une droite quelconque XX' du plan [Jig. 99). Pour cela, du centre O des forces parallèles, on mènera une droite ££' parallèle à la droite donnée. La perpendiculaire abaissée sur ££', de l’extrémitédu diamètre de l’ellipse centrale conjugué à £ représente (§ 143) le rayon de gyration relatif à cette ligne. Connaissant le rayon de gyration relatif à ££', celui relatif à XX , se déduit du théorème I établi au paragraphe 142. Soit b' ce rayon.
On trouvera de même le rayon de gyration a', relatif à l’axe CY'.
La conique d’inertie relative au point C a pour demi-axes, suivant XX', la longueur a' et, suivant CY', la longueur A'; cette conique est d’ailleurs inutile à tracer, puisque, à l’aide de la conique centrale, on peut trouver graphiquement le moment d’inertie relatif à une droite quelconque, ainsi que la direction des axes principaux relatifs à un point quelconque.
On voit par là combien il importe de savoir tracer la conique centrale d’un système de forces données. On le peut évidemment, si l’on connait les rayons de gyration relativement à trois axes de directions quelconques passant par le centre des forces parallèles, ou relativement à deux axes seulement, pourvu que l’on sache d’avance que ces axes sont dirigés suivant deux diamètres conjugués de la conique à tracer. Dans le premier cas, on connait le centre de la conique et trois de ses points ; dans le second, on connait, en grandeur et en position, un système de diamètres conjugués.
