OG X 01 = OA

ce qui permet de construire le centre des forces parallèles données.

Remarque. — La relation (3) montre que le point G, centre des forces parallèles données (i) et le pôle g de l’axe neutre ZZ', relativement à la conique centrale des forces fictives (a), sont deux points symétriques par rapport au centre de ccs forces Gclivcs ou, si l’on veut, que le point cherché G est l’ antipôle do l’axe neutre.

CAS DE TORCES EN NOMBRE ILLIMITÉ AGISSANT SUR DES POINTS SE SUC- CÉDANT D’UNE MANIÈRE CONTINUE DANS UN PLAN. — Supposons maintenant que les forces données P,-, au lieu d’être en nombre fini, soient

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réparties d'une manière continue sur les dillèrcnts points d'une portion de plan limitée par un contour quelconque MÿM’S'; alors les coefficients k, sont donnés pour tous les points intérieurs à ce contour. Rien n'empêche de supposer l’aire MS M'N' matérialisée et de lui attribuer en chacun de scs points A, une densité proportionnelle à la valeur qu’acquiert en ce point le coefficient À|. Cette valeur sera celle que prendra une certaine fonction donnée

des coordonnées des points du plan, pour les valeurs particulières X; ely, de ces coordonnées.

D’après cette considération, le point O sera le centre de gravité de l’aire MSM'N'; l’ellipse Ail sera son ellipse centrale, et l’on peut énoncer le théorème suivant :

Théouéme. — Si aux divers points d' une surface plane, matérielle, homogène ou non, on applii/ue des forces parallèles, proportionnelles à une densité arbitrairement attribuée à la surface en ce point et à la distance positive ou négative de ce point à une droite fixe, le centre de ces forces parallèles et ianlipéle de celte droite relativement à l'ellipse centrale de la surface donnée.

Remarque. — Si l’on veut appliquer ce théorème aux pressions que subit une aire plane plongée dans un liquide, il faut supposer à l’aire, en chaque point, une densité égale à celle du liquide •, si on veut l’appliquer à une section transversale faite dans une des pièces que l’on étudie en Résistance des matériaux, il faut supposer, à chaque point de la surface, une densité égale au coefficient d’élasticité de la pièce en ce point, en sorte que, si celle-ci est homogène, la densité sera constante en tous les points de la section, et ainsi de suite.

HOYAU CENTRAI D’UNI AIRE FLANE. — Lorsque l’axe neutre est situé en dehors de l’aire MIN M'A ', les distances u des divers points de l’aire à cet axe sont toutes de même signe ; et, comme la densité k est une quantité essentiellement positive, on voit que les forces

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parallèles égales à A u qui agissent sur les divers points de l'aire seront toutes de même signe, c’est-à-dire qu’elles seront toutes dirigées dans le même sens. Si, au contraire, l’axe neutre occupe une position telle qu’il coupe le contour MK M'K', alors les distances U, à l’axe neutre, des points situés de part et d’autre de cet axe sont de signes contraires, et les forces appliquées en ces points sont aus-i de signes contraires, c’est-à-dire qu'elles sont dirigées dans des sens opposés. Lorsqu’il s’agit de forces élastiques par exemple, si celles situées d’un côté de l’axe sont des tensions, celles situées du côté opposé sont des compressions, tandis que toutes sont de même nature (tensions ou compressions) si l'axe neutre est extérieur au contour de l’aire donnée. 11 y a donc un grand intérêt à distinguer les cas où l’axe neutre coupe ou non le contour MA' M'A'. La démarcation entre ces deux cas a lien pour les positions de l’axe neutre tangentes au contour. Ainsi supposons que, l’axe neutre étant en ZZ', leeentre des forces parallèles agissant sur l’aire donnée soit en G. Si Z Z' se déplace parallèlement à lui-même de façon à se rapprocher de la courbe MA'M'A', le point G parcourra le diamètre XX', et s’éloignera du point O, comme l’indique la formule (3). Quand ZZ sera arrivé à être tangent à MNM'X', le point G aura pris une certaine position G,; si ZZ' continue à se rapprocher jusqu'à se confondre avec OY, le point G s’éloignera indéfiniment. S’il dépasse OY' de façon à arriver en Z, Z',, le point G reviendra à une distance finie, mais il ne sera plus du côté OX' de l’axe XX'. Si l’axe neutre vient à se confondre avec la tangente Z ( Z', à la courbe, le point G occupera, par exemple, le point G,, puis, à mesure que l’axe s'éloignera, le point G se rapproi liera de O jusqu’à venir se confondre avec lui.

Ou voit par là que tant que, l’axe est en dehors de la courbe MX M' A ', le point G est compris entre les positions G, et G, qui sont les points symétriques des pôles des tangentes Z, Z', et Z» Z', à la courbe MA' M'A' relativement à l’ellipse centrale.

Ce que nous venons de dire pour la direction partieulièreZZ', on peut le répéter pour toute autre direction ; on obtiendra ainsi une courbe telle que G*Giff(3, jouissant dé cette propriété que, tant que la résultante des forces parallèles agissant sur l’aire donnée tombe à l’intérieur de cette courbe, l’axe neutre est extérieur au périmètre de l’aire donnée et, par suite, toutes les forces agissant sur cette aire

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sont nécessairement de même signe ; si au contraire la résultante de ces forces tombe en dehors de la courbe G,G»a|3 l’axe neutre coupe le contour de l’aire donnée, et les forces situées de part et d’autre de cet axe sont de sens contraires.

L aire comprise dans le périmètre G,G t a(3 est ce qu'on nomme le noyau central de l’aire donnée. Tout point du périmètre G,G*aj3 étant l'antipôlc d'une tangente au périmètre donné, on voit que le premier de ces périmètres est une courbe symétrique par rapport au point O, de la polaire réciproque du second relativement à l'ellipse centrale de l’aire donnée.

MÉTHODE GÉNÉRALE FOUR LA RECHERCHE GRAPHIQUE DU NOTAU CENTRAL D'UNE AIRE QUELCONQUE. — D’après ce qui précède, rien li’cst plus facile que de construire le noyau central d’une aire: donnée. On peut en construire graphiquement l'ellipse centrale O ( fi g. 112, PI. AA//) . Menons le rayon OM jusqu’à sa rencontra ctiM avec le périmètre de- l’aire donnée; soit le point où cette ligne coupe l’ellipse centrale; si l’on construit la longueur

on aura un point G du périmètre du noyau central. On peut l’obtenir encore en construisant la corde tt! qui sous-lend les tangentes à l’ellip se centrale issues de M, et prenant le point G symétrique par rapport à O dé celui où cette corde coupe le diamètre MO.