IG

Prenons comme nouvel exemple le cas déjà étudié au § S, d’une force R appliquée en un point A où aboutissent des tiges élastiques *m nombre quelconque, scellées dans un mur vertical aux points « 0 ,

Les points fixes a 0 , a,, a,,... étant donnés, les longueurs de deux des tiges aboutissant au point A déterminent la position de ce point, et, par suite, les longueurs de toutes les autres tiges; donc, entre les longueurs de ces tiges supposées au nombre de p. il existe p — t. relations; par suite, en vertu du théorème IV 7 , ces tiges 11e peuvent, en général, être constituées en solide d’égale résistance que si p— a.

Ainsi : Si Von a une, charge à faire porter par une potence ou console formée de p tiges scellées dans un mur, on obtient, en général, le meilleur emploi de la matière, en formant la console arec deux tiges seulement, c’est-à-dire que le système le plus simple possible est aussi, en général, le plus économique, le meilleur au point de vue du bon emploi de la matière.

Si pourtant, pour les convenances de la construction, on voulait constituer une console contenant plus de deux lignes, et qui fût néanmoins susceptible de former un système d’égale résistance, rien ne serait plus simple.

Soit (fig- H 6, PL XXII') une console formée de lignes aboutissant en un point A et scellées dans le mur ZZ' en des points a,,

DANS LES SYSTÈMES DE BARRES. 271

n,, a,,..., qui sont laissés à la disposition du constructeur.

On prendra deux points a,, a, d'une façon arbitraire. Si les barres A a, et An, formaient à elles seules la console et qu'on les disposât en solide d'égale résistance, comme, d’après la position de la force R qui les sollicite, la première se raccourcit et la seconde s’allonge, elles deviendraient, après la déformation élastique,

h, et b, étant leurs longueurs primitives.

Connaissant les longueurs b\ et A 1 ,, on en déduit la position A' que prendrait le point A après le déplacement élastique.

■ Cola posé, si l’on veut déterminer un troisième point de scellement «,, parla condition que la nouvelle barre An, n’cmpèclie pas l’égale résistance, il suffira :

t° Si le point n, est tellement placé que A'n, An,, de le choisir de façon que

A 'a, — An/i -

An,

2 0 Si ce point est tellement placé que A'n, <C An,, de le choisir de façon que

A'n, An,(i — t“J.

Le rapport des distances du point cherché n, aux deux points connus A et A' doit ainsi être égal à une quantité donnée. Sa détermination est donc des plus faciles; il existera, en général, sur la ligne ZZ' deux points satisfaisant à la condition ( a ) et deux points satisfaisant à la condition (b). On pourra donc construire une console à trois, quatre, cinq ou six barres satisfaisant aux conditions d’égale résistance.

De toute la théorie et des exemples qui précèdent il résulte que les systèmes ne contenant pas de lignes surabondantes sont, en général, les seuls qui puissent être constitués en solides d’égale résistance. Ou eu déduit cette conséquence nouvelle et importante, que

SUR LA RECHERCHE DES TENSIONS

les meilleures constructions sont, en général, les plus simples, celles qui renferment le moins de pièces possible. Cependant le théorème V ellcscxcinples des § 15 et 16 indiquent que, dans certains cas déterminés par la théorie, des systèmes à k lignes surabondantes peuvent aussi devenir d'égale résistance, et alors ils le peuvent d’une k‘“ pl ' infinité de manières, c’est-à-dire qu’on peut alors, sans cesser d'avoir l’égale résistance de toutes les barres, disposer, dans de certaines limites, des sections de k d’entre elles. On comprend que cette faculté puisse être précieuse pour le constructeur; et comme, en définitive, dans l'établissement des grandes charpentes, les longueurs de toutes les barres ne sont jamais commandées d'avance, qu’une fois arrêtée la forme générale de la figure géométrique que l’on veut adopter pour une charpente, les longueurs de ses divers côtés sont, en grande partie, arbitraires, ou comprend qu'on puisse très-souvent disposer de ces longueurs, de façon à satisfaire aux k conditions (i3) nécessaires pour qu’en adoptant une figure à k ligues surabondantes elle se trouve précisément dans le cas de pouvoir être d’une infinité de manières érigée en système d’égale résistance.

Ou doit dès lors se demander si, au point de vue économique, il y a lieu de préférer de telles figures, quand elles sont possibles, à celles qui ne contiennent pas de lignes surabondantes. Nous allons voir que cette question se résout par la négative, etqu’ainsi l’on arrive à cette conclusion que jamais, même dans les cas exceptionnels spécifiés par le théorème V, il n'y a économie à adopter des constructions formées par des figures géométriques à lignes surabondantes.

Lf.mme. — Si une figure à k lignes surabondantes est tellement constituée qu’on puisse, d’une manière et par suite d’une infnité de manières, disposer des sections de ses barres de façon quelle forme système d'égale résistance relativement à des forces extérieures données, on peut toujours, en supprimant une partie de ses barres, former un système sans lignes surabondantes qui, soumis aux memes forces, subisse les mêmes déjormalions élastiques que le système primitif.

Soit une figure formée de in barres et contenant k lignes surabondantes. Nous admettons qu’il est possible d’une et, par suite,

DANS LES SYSTÈMES DE BARRES. i"t

d'une infinité de manières, de donner à ces barres des sections telles que les barres tendues supportent toutes même tension et les barres pressées toutes même pression par unité de surface et par unité du coefficient d’élasticité de la matière. Soit ot/ un système de sections calculées de façon qu’il en soit ainsi. Soient (F) et (4>) les ligures géométrie] ues que forment alors les axes des barres avant et après la déformation élastique.

lls’agit de montrer qu'on peut toujours supprimer A ou un nombre plus grand de barres, sans que la figure cesse de prendre, après la déformation, la forme (4*).

Soient t,- les tensions des barres de section ta, . Nous pouvons d’une infinité de manières faire varier ces sections o>, et les tensions correspondantes t ,■ sans que le système cesse d’être d’égale résistance et sans que la figure déformée cesse d'affecter la forme (4*) : il suffit pour cela (§8) que les variations soient telles qu elles ne modifient le signe d'aucune teusion ; comme on dispose de k sections sous la seule réserve de ne les faire varier que de manière à ne pas changer les signes des tensions, conservons leurs valeurs à k — i de ces sections et par suite aux tensions correspondantes, et ne faisons varier que la k'*"' section que nous appellerons o> ( -, la tension correspondante prendra des valeurs li fournies par la condition de la résistance égale ; et les m- — k autres tensions fournies par les ni — k équations de la Statique varieront en fonction de la seule quantité t t ou de celle en sorte que les tensions f, de toutes les barres sont déterminées pour chaque valeur attribuée à ’>> l . Faisons w ( — o, et soient t [ les valeurs correspondantes des tensions si toutes les tensions t\ ont mêmes signes que les tensions correspondantes il s’ensuit que, pour Uj — o, le système de barres continuera de prendre, après la déformation, la forme (4*); et comme l'une de ses barres a une section nulle, on peut dire que, dans ce cas, il existe un système d’égale résistance composé de m — • ■ barres seulement, et affectant, après la déformation, la même forme (4>) que le système donné.

Supposons maintenant qu'une ou plusieurs des tensions t[ n’aient pas les mêmes signes que les tensions correspondantes alors, en faisant décroître &>i progressivement, il arrivera nécessairement que pour une valeur <■>, = &>’*, comprise entre U* et zéro, l'une au moins des tensions s'annule, toutes les autres conservant leurs

SUR LA RECHERCHE DES TENSIONS

signes. Donc, pour celte valeur w, = o>' t1 le système affectera toujours, après la déformation, la forme (<!>); et comme, à cause de la résistance égale, la section de la barre dont la tension s’annule est elle-même nulle, on aura encore un système formé de m — i barres seulement et prenant, après la déformation, la forme (4>). Ainsi, étant donné un système d’égale résistance formé de m barres et contenant des lignes surabondantes, on peut toujours constituer un autre système d’égale résistance, formé de m — i barres seulement et affectant, après la déformation élastique, la même forme géométrique que le proposé.

Si ce nouveau système contient encore des lignes surabondantes, on pourra réduire encore d'au moins une unité le nombre de ses barres, sans modifier les déplacements élastiques de ses divers sommets, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu’on arrive à une figure ne contenant plus de lignes surabondantes.

Cela posé, soit T la somme des travaux de toutes les forces extérieures appliquées aux différents sommets de la figure, dus aux déplacements élastiques de ces sommets. Comme ces déplacements sont compatibles avec les liaisons du système, il n’entrera dans l'expression de T aucune force de liaison. Si maintenant on remplace le système à barres surabondantes que forme la ligure (F) par le système sans barres surabondantes que nous appellerons (F,) cl qui donne lieu aux mêmes déplacements élastiques des sommets, le travail T des forces extérieures dû à la déformation élastique sera le même, que ces forces soient appliquées à la ligure (F) ou à la figure (F, ).

Soient maintenant, dans un système quelconque, £, la tension positive d'une barre et a t son déplacement élastique; le travail des forces extérieures développé dans cette barre par suite des déplacements élastiques qui produisent l’allongement «,• est, d’après un théorème connu et facile à démontrer,

d ailleurs, si le système est d'égale résistance,

tj —

DANS LES SYSTÈMES DE BARRES

d’où

par suite, la somme des travaux des forces élastiques de toutes les barres qui s’allongent est

— X t; a . — — irt.-r.w;.

La tension d’une barre a,- qui se raccourcit est tj r= — ajv/t",

son allongement

d’où, pour le travail de la compression,

et, pour la somme des travaux de toutes les compressions,

— 2 . «i Cj <*j.

La somme des travaux de toutes les forces élastiques du système, pressions et tensions, est donc

Cette somme étant nécessairement égale au travail des forces extérieures,

— — £ il. r. m; — T.

2 3 iii

Si l’on admet, comme on le fait d’habitude, que la matière résiste également à l’extension et à la compression, c’est-à-dire si l’on suppose e' = s ", cette équation devient, en appelant 2 une somme s’étendant à toutes les barres, aussi bien à celles tendues qu’à celles pressées,

( 3o) — ÎLcljCiVl — T.

SUR U RECHERCHE DES TENSIONS

Dans le cas particulier où toutes les barres sont composées de la même matière ou de matières ayant même coefficient d’élasticité e, cette équation devient

' ' ci *

Le produit a t «, est le volume de la barre de longueur fl,-; le premier membre représente donc le volume total de matière employée, et, comme le second membre est le même pour le système (F) que pour le système (F,), ou conclut :

Théorème V. — Lorsqu un système, contenant k lignes surabondantes et composé de barres formées toutes de la même matière, est tel qu’il puisse, d’une manière et, par suite, d'une infinité de manières, être édifié en système d'égale résistance relativement à des forces extérieures données, il existe toujours un système, sans lignes surabondantes, susceptible de résister aux mêmes forces avec la même dépense de matière.

Ainsi, comme nous l’avons annoncé, même dans le cas particulier où l’on peut, sans cesser d’avoir l’égale résistance, employer des ligures à lignes surabondantes, il n’y a pas, au poiut de vue économique, intérêt à le faire.

Si les barres sont composées de matières dillêrentes, alors on voit par l’équation (3o) que le dernier théorème doit être remplacé par celui-ci :

Théorème VI. — Lorsqu'un système contenant k lignes surabondantes est tel qu'il puisse, d’une manière et, par suite, d'une infinité de manières, être édifié en système d’égale résistance, relativement à des forces données agissant sur lui, il existe toujours un système, sans lignes surabondantes , susceptible de résister aux mêmes forces et tel, que la somme des produits des volumes des barres par leurs coefficients d'élasticité respectifs est la même dans ce système et dans le système donné.

F.t comme la somme des produits dont il s’agit ici représente eu quelque sorte le poids éUistique des matières employées, on voit qu’ici, comme dans le cas précédent, il n’y a pas intérêt, même quand on le peut, à faire usage de figures à ligues surabondâmes.

DANS LES SYSTÈMES DE BARBES

( ’omparaison entre les principales poutres employées en Europe et aux États-Unis, au point de vue du volume de matière à dépenser pour résister à des charges uniformes ou roulantes.

Do toulc la lliéorie qui précède, il résulte que les systèmes de charpentes les meilleurs, les plus économiques, sont ceux dont les ligures géométriques ne contiennent pas de lignes surabondantes ; par exemple, la poutre simplement Iriangulée {fi g- 120, PL XXI F) est plus avantageuse que celle à croix de Saint-André ( ftg . 121); celle-ci plus avantageuse que la poutre à treillis, si usitée chez nous et à peu près disparue aux États-Unis, où elle avait pourtant pris naissance; et ainsi de suite.

II résulte de là que si l’on veut chercher, parmi toutes les grandes poutres posées sur deux appuis, celle qui, pour résister à des charges données, exigera le moindre volume de matière, il suffira de faire celte recherche parmi les poutres ne contenant pas de lignes surabondantes. JNous pouvons, par exemple, écarter a priori la poutre à croix de Saint-André et celle à treillis; nous sommes bien certain d'avance, et sans faire aucun calcul , que la poutre triangulée l’emportera sur elles dans le parallèle que nous nous proposons de faire.

Il importe pourtant de bien nous expliquer à ce sujet : il ne faudrait pas croire qu’étant donnés au hasard deux systèmes de barres, l’un contenant, l’autre ne contenant pas de lignes surabondantes, on puisse affirmer qu’à résistance égale le premier exigera nécessairement, et par cela seul qu’il contient des lignes surabondantes, plus de matière que le second; le contraire peut se produire si les ligures géométriques formées par les deux systèmes sont dillércmment constituées, et le dernier peut alors se trouver établi de façon si défectueuse que, tout en ne contenant pas de lignes surabondantes, il absorbe plus de matière que le premier. Mais ce qui

SCR LA RECHERCHE DES TENSIONS

ressort de l'ensemble de la théorie qui précède, et notamment du théorème V, c’est qu’étant donné un système de barres à lignes surabondantes on peut toujours, en lui enlevant un nombre suffisant de barres, former un système, sans lignes surabondantes, plus économique ou au moins aussi économique que lui; et cela suffit pour que, dans la recherche des systèmes les plus économiques, il nous soit permis d’écarter les systèmes à lignes surabondantes. Ainsi, quand nous écartons la poutre à croix de Saint-André, nous n’entendons pas pour cela dire qu’elle soit plus dispendieuse que l’un quelconque des systèmes sans lignes surabondantes que nous étudierons, mais seulement que l’un d’entre eux, à savoir celui que l'on obtient en débarrassant les croix de Saint- André de leurs lignes surabondantes, et, comme le système ainsi obtenu ne peut être que la poutre trianguléc, il suffit que nous comprenions cette dernière dans le parallèle que nous allons faire.

De même, si l’on désignait quelque autre système que ce fût à lignes surabondantes, on pourrait indiquer un système sans lignes surabondantes susceptible de le remplacer avec économie, ou tout au moins sans augmentation dans la dépense de matière, pouvant, dès lors, le remplacer dans la comparaison que nous voulons faire.

Cette conséquence entièrement rigoureuse de la théorie est, du reste, parfaitement d’accord avec le sentiment de la pratique. En Amérique, les ingénieurs, au moins les plus estimés, n'emploient, depuis quelques années, que des poutres calculables par les seules règles de la Statique-, il se trouve ainsi qu’en cherchant la simplicité dans le calcul et dans l’exécution ils ont obtenu des systèmes d'égale résistance; mais, comme ils paraissent avoir été guidés moins par des raisons scientifiques que par le sentiment et le désir de faire des calculs sûrs et simples, ils sont bien loin d'avoir trouvé les meilleurs systèmes d'égale résistance; plusieurs d’entre eux ont même conservé , dans leurs innovations , des systèmes à lignes surabondantes, c’est-à-dire, d'après ce qui précède, non susceptibles d’èlrc rendus d'égale résistance et non susceptibles d’ètre calculés par la Statique, et ils les calculent par des méthodes semi-empiriques souvent défectueuses : tels sont les systèmes Jones, Murphy- Whipple, Linville et Post. Nous les écartons, par les raisons indiquées plus haut, comme étant à lignes surabondantes, comme pouvant, par conséquent, être remplacés par des

- ni^iln.-ic hy é^npolf

DANS LES SYSTÈMES DE BARRES, systèmes à triangles que nous savons d'avance être plus économiques ou au moins aussi économiques. Il est remarquable, du reste, et ceci est encore une concordance entre la théorie et le sentiment de la pratique, que tes systèmes sont beaucoup moins employés que le système Finit qui est sans lignes sural>ondantcs. Ainsi M. Malézieux rapporte qu'il donne la description du système Murphy- Whipple d'après un Traité de construction des ponts de M. Merrill ; mais que, dans son voyage d’exploration, il n'a trouvé aucun ouvrage construit dans ce système.

Nous mettrons en parallèle les systèmes Finit, Bollmau et les diverses variétésdes systèmes à triangles, c’est-à-dire, parmi les systèmes usités en Europe et aux Etats-Unis, tous ceux qui ne contiennent pas de lignes surabondantes; nous chercherons, pour chacun d’eux, le volume de matière nécessaire pour résister à une charge permanente et à une charge roulante. Nous chercherons ensuite quel est celui qui, dans les divers cas que présente la pratique, donne lieu A la plus grande économie de matière, et nous serons certain ainsi, sans avoir besoin de nous occuper des systèmes à lignes surabondantes, d’avoir trouvé, parmi tous les systèmes usités, qu'ils soient ou non à lignes surabondantes, quel est celui qui, dans chaque cas, est le plus avantageux à employer.

Autrefois on remplaçait, dans les épreuves des ponts, les charges roulantes par des poids morts supposés, comme la charge permanente, uniformément répartis sur la longueur du tablier; mais, à la suite d’un accident survenu dans ces dernières années, une circulaire de M. le Ministre des Travaux publics, en date du i5 juin 1869, a prescrit, pour tous les ponts établis sur des routes nationales ou départementales, de faire les épreuves non-seulement au moyen de poids morts, mais aussi avec des charges roulantes, en y faisant circuler au pas et stationner, pendant une demi -heure, sur le nombre de files que comporte la largeur de la voie charretière, soit des chariots à deux roues attelés de cinq chevaux et pesant 1 1 tonnes, équipages compris, soit des voitures à quatre roues attelées de huit chevaux et d'un poids total de 16 tonnes, suivant que

SUR LA RECHERCHE DES TENSIONS

l’un ou l'autre de ces genres de véhicules produit les ciTets les plus défavorables au point de vue de la résistance. Ces chiffres de 1 1 et 16 tonnes sont d’ailleurs justiliés, parce que ce sont les limites des chargements autorisés par le règlement du 10 août i 85 a sur la police du roulage.

Il ne suffit pas, d’après cela, de disposer les diverses barres d’une poutre de façon qu’elles puissent résister à une charge déterminée; il faut concevoir un véhicule dans les diverses positions qu’il occupe lors du parcours d’un pont, lui adjoindre la charge permanente et faire les calculs de façon que, quelle que soit la position du -véhicule, aucune barre ne subisse des tensions ou des pressions plus fortes que celles que comporte la matière employée. Il faut donc, pour chaque position du véhicule, chercher quelles sont les barres qui sont le plus fatiguées, et leur donner les sections nécessaires pour résister à cette fatigue. C’est ainsi que nous procéderons dans ce qui va suivre.

SYSTÈME rare. — Description. — Une semelle unique AA'; en son milieu A 0 , un montant vertical on poinçon A 0 B 0 dont on relie l’extrémité B, aux deux extrémités de la poutre par deux tirants.

Fig. A.

jr- ^ v z' v ^ ;

On opère sur chaque moitié de la semelle comme sur la semelle entière, c’est-à-dire qu’au milieu A, de chaque moitié on place un montant A, B, dont l’extrémité inférieure B! est reliée aux deux extrémités de cette moitié de semelle. On opère de même sur chacun des quatre quarts de la semelle, et ainsi de suite.

Supposons généralement qu’on divise ainsi la semelle en 2" par lies égales ; nous appellerons :

A o lo milieu de la semelle;

A, les 2 1 ou 2 points milieux de chaque j- semelle;

DANS LES SYSTEMES DE BARRES

Aj les a’ ou 4 points milieux de chaque A de semelle;

A s les a’ ou 8 points milieux de chaque \ de semelle, et généralement :

A, les a' points milieux de chaque ' fraction de la semelle,

de telle sorte que, si la semelle est divisée en a" parties égales, les points de division ayant l’indice le plus élevé auront l’indice n — i , et seront au nombre de a" -1 . En effet, si l’on divise la poutre en a" parties, le nombre des points de division est a" — i. On vérifie bien qu’il en est ainsi, car on a

a* “ i point de division A,, a’ .. a points de division A,, a’- 4 points de division A,.

a' -1 points de division A„,,

a* -1 points de division A. ,,

Total i 4- a 4- a’ 4- . . . a" -1 — a" — i points de division.

Nous appellerons B, les extrémités inférieures des montants issus des points A ( .

Soient maintenant n' le nombre total des sommets, y compris les deux extrémités de la semelle, et m ' le nombre total des côtés de la figure ; on aura

et, en observant que de chaque point B, partent trois lignes et que la semelle comprend a“ parties pouvant sulnr des tensions distinctes,

m' — iri — 3,

relation qui indique (§ 3) que, quel que soit le nombre a" des divisions, les tensions des barres sont calculables par la Statique.

SCR LA RECHERCHE DES TENSIONS

Charge permanente. — Cherchons d’ahord cos tensions dans l’hypothèse où la poutre porte une charge uniformément répartie à raison de /> kilogrammes par mètre courant, de sorte que, si L est sa longueur et P la charge totale qu'elle porte, ou a

(«) P - pL.

Nous admettons que cette charge porte par fractions égales sur chacun des sommets A,-, en sorte que chaque sommet porte une charge

et les deux extrémités de la poutre portent chacune la moitié de celte quantité. Il en résulte que la réaction de chacun des appuis sera

La distance entre deux points consécutifs A,- est d'ailleurs

Cela posé, pour trouver les tensions des barres, nous observerons que de chaque point B,- ne partent que trois barres; donc, si l’on connaissait les tensions de l’une d’elles, par exemple celle du montant, par une simple décomposition de forces, on aurait celles des deux tirants.

On a donc de suite la tension de tous les montants A„, B„, issus des points A„, (sur la figure ci-dessus, A»); car de chacun de ces points ne part qu’une seule pièce qui est le montant vertical : donc ce montant supporte une compression égale à toute la charge </ exercée au point A„,, cl par suite les deux tirants partant des

DANS LES SYSTÈMES DE BARRES, points B„, supportent chacun une tension égale à

qT A 3 -t- ô*

Th ’

comme on le voit par le losange des forces.

Maintenant que l’on connail les tensions des tirants allant des points B„, aux points A„, (sur la figure de B, à A,), on voit qu’en chaque point A„, les tensions des deux tirants qui y aboutissent se recomposent entre elles pour donner une force verticale q, laquelle, ajoutée à la charge q agissant sur chaque sommet A„, , donnera i q pour la compression totale exercée sur chaque montant A„, B„,. Par suite les tirants issus de B„, supportent chacun une tension

yq^h 7 + a'd 1 ■3 h

Les tensions de ces tirants qui partent de B„, pour aboutir à A„, (sur la figure de B, à A,) se composent entre elles et donnent une résultante verticale a q\ les tirants issus de B„, et aboutissant à A„, (sur la figure de B, à A,) donnent eux-mêmes, comme nous venons de le voir, une résultante verticale q, soit en tout 3 q et en y ajoutant la charge q exercée en A„, on trouvera 4'/ pour la compression des montants issus de ces points.

En continuant ainsi, on trouvera facilement la loi des tensions. Nous la résumons dans le tableau suivant, où nous donnons aussi le volume de matière que doit contenir chaque barre pour que sa tension ou sa compression par unité de surface (nous supposons que la matière résiste également bien à l’extension cl à la compression) soit un nombre donné R.

28 i SUR LA RECHERCHE DES TENSIONS

DANS LES SYSTÈMES DE BARRES

ses

Si on fait la somme des volumes de la colonne (.5) on trouve : i" Pour le volume total y, des poinçons

q h P nh

2 ° Pour le volume total des tirants

qh 2*~ l qd* r , = »X)'"XjX ~AR [,

ou, comme la parenthèse est une progression géométrique dont la raison est a’ ou 4)

11 nous reste à trouver le volume de la semelle. Or on remarquera (juc les tensions des barres aboutissant à l’un quelconque des points A„, donnent une résultante verticale; donc elles ne produisent aucun changement dans la tension de la semelle ; cette tension est donc constante dans toute la longueur de la pièce, et elle est égale à la somme des composantes horizontales des tensions de tous les tirants issus de l’une de ses extrémités, de celle de A, par exemple. Oc ce point partent n tirants aboutissant à n points

Or, par la colonne (a) du tableau précédent, on voit que la tension de chaque tirant issu de B„,- est

îA ’

le cosinus de l’angle que ce tirant fait avec la semelle est

SOR LA RECHERCHE DES TENSIONS

Donc la composante horizontale de cette tension est

et la somme de ces composantes, c’est-à-dire la tension de la semelle,

‘ ih 3

le volume de la semelle sera donc

aAR ^ 3

d’où, pour le volume total V p résultant de la charge permanente P,

On voit que le volume augmente à mesure que n augmente : donc la poutre la plus économique serait celle pour laquelle n — i , c’està-dire un simple triangle (y»^. H), avec un poinçon au milieu;

Fig. B.

mais c’est parce qu’il est impossible pour les grandes portées d’avoir une longue semelle A.V, comprimée sans être soutenue contre la flexion, qu’on a imaginé des armatures plus complexes. On doit donc regarder n comme une quantité donnée, ou à peu près, par les nécessités de la pratique. Si alors la hauteur h de la poutre n’est pas fixée, on peut la prendre de façon que le volume ci-dessus de-

DANS LES SYSTÈMES DE BARRES

\ icnne minimum : c’est ce qui a lieu pour

Nous ne nous arrêterons pas, quant à préseut, à la discussion de celte formule et d’autres que l'on pourrait tirer de l’expression (3a). Nous trouverons des équations analogues pour les autres poutres que nous étudierons, et nous discuterons toutes ces équations d’ensemble.

Charge roulante. — Cherchons maintenant le volume de matière nécessaire pour résister à une charge roulante Q, dans quelque l>osition quelle occupe , lorsqu’elle franchit lapoutre, ainsique les tensions maxima qu’une telle charge développe dans les diverses barres.

Comme d’un quelconque des points A„, ne part qu’un montant vertical, si un tel point porte une charge Q, il la transmet intégralement au montant, et elle se décompose ensuite suivant les deux tirants issus de l’extrémité de ce montant. Aux autres points A„,, les tensions des montants sont nullcs, et, par suite, il en est de même des tensions aux points correspondants B„,. Des deux tirants qui aboutissent en l’un des deux points A„, les plus voisins du point chargé A„,, l'un ne porte rien comme émanant d’un point lî„,, et, par suite, la tension de l’autre se décompose en une force verticale suivant le montant, et en une force horizontale

suivant la semelle. La première, comme il est aiséde le voir, est — ;

donc les pièces issues du point que nous considérons sont moins fatiguées que celles issues du point portant actuellement la charge roulante, et à mesure qu’on s’éloigne de ce dernier point l’influence de la charge se fera de moins en moins sentir, comme on devait s'y attendre.

SCR LC RECHERCHE DES TENSIONS

eus

Supposons maintenant la charge Q appliquée généralement à un îles a* points A./. On voit facilement, si l’on cherche les tensions des diverses barres, en commençant, comme nous l'avons fait plus haut, par celles issues «les points A„, et B„, , puis passant à celles issues de A„, et B„,, et ainsi de suite, que les tensions de tuutcs les barres issues des points

sont nulles. Cela fait comprendre de suite <|ue c’est, en somme, un assez mauvais système de charpente que celui-ci, puisque les pièces «jui le composent sont si peu solidarisées, qu’à chaque instant, lors du passage d’une charge roulante, une fraction importante des pièces reste absolument inactive; d'où résulte nécessairement «jue les autres pièces sont surchargées ; et, comme la charge se porte successivement sur toutes les parties de la poutre, chaque barre va se trouver ainsi, tantôt travaillant avec -excès, tantôt inactive.

Des pièces qui aboutissent au sommet chargé lui-même et qui, elles du moins, devraient toutes concourir à supporter la charge, celles qui aboutissent à des points ayant un indice supérieur à n — i ne travaillent pas : donc toute la charge est reportée, par le moulant vertical A„. sur les deux tirants issus du point B„i et «le ceux-ci sur la semelle. Ainsi, lors du passage d’une charge roulante, il n’y a à chaque instant, au point même occupé par la charge, que quatre pièces qui travaillent :

1 “ Le montant vertical supporte la charge Q ; a° Les deux tirants I5„, supportent chacun

et la semelle une pression

11 résulte de là que le volume v\ des montants verticaux au nombre de a" — i doit être

(a* — t) Q/i Il ’

DANS LES SYSTÈMES DE B MIRES, le \ olumc dos doux tirants issus de B„,

ÂR ’

et le volume total des paires de tirants au nombre de a" — i

, (î" — l) Q A Qn’ r ,

«b = R + AR [' + *•+*• + ■■■+* -]

(55- — I Q/i Ort 1 — I Q , ,, 1 i 7 * LM

= — R- - + Tr x - 3 - = R ü 2 "- , A + — x 77 J ■

Il nous reste à calculer le volume de la semelle. 11 est clair qu’elle supportera la plus grande tension au moment où la charge passera au milieu de la pièce.

La tension sera alors

son volume

QL=

4 Alt’

par suite, le volume total de matière V f nécessaire pour porter une charge roulante, dans quelque position quelle puisse occuper sur la poutre, sera

Si l’on suppose la charge appliquée aux points B 0 , B,, B,,..., au lieu de l’èlrc sur la semelle, alors les poinçons A, B, ne servent plus qu’à empêcher la ilexion de la semelle; théoriquement, leur section est nulle.

Dans cette hypothèse, il faut des volumes V ( , et V retrancher

SUR LA RECHERCHE DES TENSIONS

les volumes e, , v, trouvés pour ces poinçons. Il en résulte :

Dès que n est supérieur à 3, le volume de matière nécessaire pour porter une charge permanente est fourni sensiblement par la formule très-simple et très-remarquable :

PL 1 3?iR '

Pour avoir le volume V de matière nécessaire pour porter simultanément uuc charge permanente et une surcharge, celle-ci dans toutes les positions qu'elle peut occuper, il suffit d’ajouter les volumes V, et V,, afférents à chacune de ces charges, c’est-à-dire que

SYSTEME bollman. — Description. — Une semelle unique AA', divisée en m parties égales ( fi g. C); aux points de division, des

Fie- C.

poinçons de hauteur constante A, B, ; l’extrémité de chaque poinçon reliée aux deux extrémités de la semelle par deux tirants.

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DANS LES SYSTÈMES DE BARRES

Charge permanente. — Cherchons d’abord le volume de matière nécessaire pour porter la charge permanente.

Nous appelons toujours L la longueur de la semelle, /> la charge permanente par mètre, en sorte que la charge permanente totale est

Sur chaque poinçon A, 13, repose une charge

et, aux deux points extrêmes A et A', une charge égale Il en résulte que la réaction de chaque appui est

La distance entre deux points de division consécutifs A, et A, +l est

Considérons le poinçon A, B, occupant le ï'"' rang à partir de la gauche. La charge if se reporte évidemment tout entière sur ce poinçon, qui subit une compression </ et a pour volume

Le volume total des poinçons, au nombre de m — i , est donc