LÂ

DANS LES SYSTÈMES DE BARRES

PL m’ — i

Le volume clc la semelle sera donc

PL* ^ m 1 — i OK/i m* ’

d’où, pour le volume total \ p de matière nécessaire pour résister à la charge permanente,

CHARGE ROÜLAHTE. — Lorsque la charge roulante Q passe sur un poinçon A, B,, elle produit le même effet que si le triangle A B, A', avec le poinçon A; B,-, résistait seul. On en déduit facilement, en raisonnant comme dans le cas de la charge permanente, que le volume \\ nécessaire pour porter la charge Q, dans quelque position que ce soit, est donné par la formule

d'où, pour le volume total V de matière nécessaire pour résister à la fois à la charge permanente et à la charge roulante,

Ce volume devient minimum, quel que soit le rapport entre ta charge permanente et la charge roulante, pour

*14 SUR LA RECHERCHE DES TENSIONS

Pour

h , „ aL (V \

On voit que le volume augmente rapidement quand le nombre m des divisions augmente; mais ce nombre de divisions est, comme nous l’avons déjà dit, commandé, pour chaque valeur de la portée L, par la condition de ne pas avoir des parties trop longues de la semelle soumises à la compression et par suite exposées à fléchir; mais

la valeur de m nue fois admise, le rapport - de la hauteur de la

poutre à sa portée, qui donne la plus grande économie de matière, est celui que donne la formule (4*); souvent la valeur fournie par ce rapport dépasse ce que l’on a jusqu'ici admis dans la pratique ; il convient alors de s’en rapprocher le plus possible; mais nous ne nous arrêtons pas quant à présent à cette discussion, qui sera mieux à sa place plus loin.

SYSTÈMES A TRIANGLES ET EN PARTICULIER SYSTÈME WARREN. — Description. — Considérons maintenant ( ftg . D) une poutre formée de un triangles tels que A 0 A, A,, tous égaux, mais d’ailleurs de forme quelconque , reposant sur deux appuis ayant entre eux un écartement L.

Fie- D.

Cette poutre est symétrique par rapport à la verticale nin passant par son milieu.

Nous appellerons

A,. A,, A As, , . ■ • , A m

les sommets inférieurs, ceux qui sont censés porter la charge;

DANS LES SYSTÈMES DE BARRES

. . f r to ,

les tensions des barres horizontales supérieures, e’cst-à-dire opposées à ces sommets;

les sommets supérieurs, et

les tensions des barres horizontales inférieures ; enfin

fil ^1» **»••»» •/!» — I

les tensions des barres inclinées parallèles à la première, à partir de la gauche;

celles des barres inclinées parallèles à la seconde, à partir de la gauche.

Pour trouver simplement les tensions des diverses barres d’une telle poutre, soit pour des charges comme celles que nous considérons, soit pour des charges quelconques, faisons-y une section verticale pq en un point quelconque d’une barre inclinée A,;, A,,. Cette section coupe les trois barres dont les tensions sont représentées par

r ut èii .

Ces tensions doivent faire équilibre à toutes les forces, y compris les réactions des appuis, appliquée^ entre la section pq et l'une des extrémités de la poutre, celle de gauche par exemple. Or, la Statique fournissant trois équations pour exprimer cet équilibre, les trois tensions /•,,, /,,, se trouvent déterminées. On peut même trouver chacune d’elles séparément. Pin ellet, si l’on exprime que la somme des moments de toutes les forces qui doivent se faire équilibre est nulle par rapport au point A comme les moments des deux tensions inconnues et r to par rapport à ce point, sont nuis, on aura une équation où n’entrera que la seule inconnue si de même on applique le théorème des moments aux points A,,, on aura une équation où n’entrera que la seule inconnue »•„. Enfin, si on projette les forces en équilibre sur une verticale, comme

SUR LA RECHERCHE DES TENSIONS

les projections des deux forces /•,, et / sont nullcs, on aura une équation ne contenant que la seule inconnue / .

Si la section pq était faite entre les deux points A,,. et A,,,,on déterminerait de même les tensions f,,, .

Ce procédé est beaucoup plus simple que celui que l'on emploie le plus souvent, cl qui consiste à faire des décompositions successives de forces en commençant par le point A,, décomposant la réaction de l’appui suivant les deux barres issues de ce point; puis passant au sommet A,, et décomposant la tension maintenant connue I, et la force directement appliquée eu A,, s'il y en a une, suivant A, A, et A, A,, et ainsi de suite.

Ce procédé a, de plus, l'avantage d’introduire dans la question les éléments usités en Résistance des matériaux, à savoir : le moment fléchissant et Y effort tranchant, définis au § 137 de cet Ouvrage.

Appelons généralement X ( et T, le moment fléchissant relativement au sommet Ai et l’effort tranchant en ce point. Fin comptant positivement les forces descendantes, en comptant aussi positivement les moments des forces descendantes lorsqu’elles sont à gauche du centre des moments, on obtient immédiatement, par la méthode que nous venons d'indiquer,

— I> r n -t- X„ = o, tu cos» -t- T,., — o,

-- tu - 1 cos*' -f- T„, = o,

où/i est la hauteur de la poutre, a et a les angles que les pièces Aj A, cl A, A, font avec la verticale.

Si I on désigne par L la longueur de la semelle inférieure divisée en a « parties égales

et que c désigne le segment de gauche de l’un des triangles égaux,

cosa = - 1

\/‘HW

tels que A 0 A, A,, on aura

cosa — r - 1

DANS LES SYSTÈMES DE BARRES

d’où

?ii— t — 7 Tj,i y /t 1 -t- f’,

et cola quelles que soient les charges que porte la poutre.

Charge permanente. — Supposons d’abord que la poutre porte une charge permanente de p kilogrammes par mètre courant sur la semelle inférieure, en sorte que la charge totale soit P=/>L.

Chacun des sommets, sauf les deux extrêmes, portera

et chacun des deux sommets extrêmes portera en sorte que les réactions des appuis sont

En appliquant les formules générales du paragraphe précédent, on trouve sans difficulté

i'J8 SUR LA RECHERCHE DES TENSIONS

Maintenant, si R est la tension ou la pression que l’on veut faire supporter à la matière (nous supposons toujours qu’elle résiste également bien à l'extension ou à la compression), la section d'une

barre qui supporte une tension est > et son volume ~iT c ’-

Donc la somme des volumes des barres parallèles à celles degauche sera

R RA \ w »/ aRA

On trouverait de même, pour le volume v, des barres inclinées parallèles à la seconde à partir de la gauche,

HMè-yi

aRA

pour le volume des barres horizontales inférieures,

= sSb 2 (> ~ 0 (' tt) + i£ïk 2 (' + ^ ” i) ’

l’L’(n — i) (4« -t- i) Pc L