I-Hi

Or, si Y est l'abscisse du centre de gravité de la charge ( abscisse connue puisque la position de la charge est donnée ), on a

Donc la double inégalité ci-dessus devient

2;p>î2;p: Ip.

d'où le théorème suivant analogue au théorème du § 215 relatif au premier des deux problèmes résolus dans ce Chapitre :

Théorème II. — Soit{Jig. 55, p. i64)AA' une poutre portant un certain nombre de charges isolées dont g est le centre de gracité. Soit A'E la perpendiculaire élevée à Vextrémité A! de la poutre et sur laquelle on a porté bout à bout les charges qui agissent dans V ordre n, n — i , n — 2, c'est-à-dire en commençant par la charge de droite. Joignez A.E; élevez en g la per-

pendiculaire gg^ à la direction de la poutre jusqu^à sa rencontre en g' ai>ec AE ; menez l'horizontale g'. La force n? i qu'elle rencontre est celle suis^ant laquelle est placée la section où se produit le moment maximum.

Remarque I, — Si l'horizontale g' tombe en un point de division de deux forces, on peut prendre la section où se produit le maximum suivant l'une ou l'autre de ces deux forces; le résultat sera le même; c'est le cas où la ligne 3'. 4' dont il est parlé plus haut est parallèle à celle 7'. 8' et où l'une des deux inégalités ci-dessus se change en égalité.

Fig. 55.

Remarque IL — Connaissant la section où se produit le moment maximum, on peut trouver ce moment lui-même par la construction d'un polygone funiculaire.

GA8 DBS GHâRftES GOHTUnrBS ET DISGOHTIHUES. — Si, outre la charge mobile formée par des poids isolés, il existe encore une charge permanente distribuée d^une manière continue sur toute la poutre, le moment fléchissant maximum, pour une position donnée du convoi, ne tombe plus en général sous un essieu.

La méthode précédente n'est plus applicable, à moins qu'on ne remplace approximativement la charge continue par des charges isolées suffisamment rapprochées les unes des autres.

Dans le cas contraire, l'effort tranchant (dérivée du moment de flexion changée de signe) n'est plus constant entre deux essieux; il varie d'une manière continue de l'un à l'autre; si, par exemple, la charge permanente est uniforme, nous avons vu qu'il est représenté par l'ordonnée d'une portion de droite ; cette portion de

MOMENTS FLECHISSANTS. 365

droite peut couper Taxe des abscisses en un point quelconque de la poutre, d'où résulte que Teffort tranchant peut s'annuler et passer du positif au négatif sans discontinuité en un tel point. Ce point est facile à trouver par la méthode du § 226.

Soient (^^. 55, p. 364), Ci, Cj, .... C/, les points d'application des charges isolées.

Pour trouver leur centre de gravité g et appliquer le théorème qui précède, il suffît de construire le polj'gone funiculaire de ces forces de pôle A.

S'il y a, en outre, une charge uniforme, la partie de cette charge portant surÂCf donne une résultante appliquée au point C\ milieu de ACi; de même la résultante partielle de la charge permanente portant sur la portion C| Cj est appliquée au point c^ milieu de C| Ca, et ainsi de suite.

Concevons qu'on construise en A' le polygone des forces, en

nombre Cni, appliquées en c«, C,, Ca, Cj, Ci, c< et soit gg^

la verticale de leur résultante obtenue à l'aide d'un polygone funiculaire.

Si l'horizontale du point ^ rencontre le polygone des forces au droit d'une surcharge, celle n® «, la section où se produit le moment de flexion maximum est dirigée suivant la ligne d'action de cette force.

Si elle rencontre une des résultantes partielles provenant de la charge permanente, par exemple, celle comprise entre les surcharges n** « et i 4- 1 , la section cherchée sera comprise entre ces deux forces en un point qui divise l'intervalle des lignes d'action de ces forces, dans le rapport où l'horizontale du point ^ divise la résultante partielle qu'elle rencontre.

Il suffît, pour le démontrer, que, dans la double inégalité ci-

dessus ^P comprenne à la fois la charge permanente et la sur-

charge sur toute la poutre et que ^ P = g^ comprenne de

même toutes les surcharges ainsi que la portion de charge permanente comprises entre les points g et A'. Ayant la section où se trouve le moment maximum, on a sa valeur

soit analytiquement par la formule

q étant la charge par mètre, soit graphiquement par la méthode du § 194.

APPUGATIOH DE LA HOUYELLE MÉTHODE. — Lorsqu'il n'y a pas de charge permanente, la fi g. A, PL XXIII^ donne immédiatement et la section dans laquelle se produit le moment maximum et la grandeur de ce moment.

Supposons, en effet, gr == o. Alors, d'après le théorème I, le moment maximum se produit sous un essieu. Soient 1, 2, 3, 4 les positions données des essieux. Les ordonnées correspondantes marquées en lignes pleines donnent au facteur e;^ (distance polaire de la figure à) près les moments de flexion sous chacun d'eux et l'inspection de la figure montre quelle est la plus grande de ces quatre ordonnées. Ici, c'est celle relative à l'essieu n® 4- Son produit par la longueur (/est donc égal au moment de flexion cherché.

MOKERT DE FLEXION MAZIIIÏÏII SOUS UH ESSIEU DOHll£ EH KABCHE. — Soit (yî^. A, PL XXIIÏ) à trouver le moment de flexion maximum qui puisse se produire pendant la marche du convoi sous un essieu donné, par exemple, sous celui n° 2. On mènera à la parabole ASB une tangente parallèle à la droite 2' 2''.

La verticale du point de contact indique la position de l'essieu considéré et, par suite, la position du convoi pour laquelle le maximum proposé se produit. L'ordonnée verticale comprise entre le point de contact et la droite 2' 2'', multipliée par la distance polaire d {fig- a), donne la grandeur de ce maximum.

Cette solution du problème est complète et^ comme on le voit, extrêmement simple. Gulmann a donné, au sujet de la position du train à laquelle correspond le moment de flexion maximum

SOUS un essieu donné, un théorème très élégant que nous n'avons pas eu à utiliser, mais que nous ferons connaître pour l'intérêt qu'il présente.

Théorème. — Dans une poutre à deux appuis simples, portant une charge permanente uniforme et parcourue par un convoi, le moment fléchissant m,aximum sous Vun des essieux du train se produit lorsque le centre de gravité de la charge totale {charge permanente et poids de la partie du convoi engagée sur le pont) et V essieu considéré sont à égale distance du milieu de la travée.

La démonstration de ce théorème résulte très simplement de la forme (3) (p. 219) que nous avons donnée au moment de flexion [JL/, sous Tessieu n° /, lorsque x est l'abscisse de cet essieu.

Le maximum de [jl/ s'obtient en égalant sa dérivée -~^ à zéro, ce qui donne l'équation

Soit, à l'instant où x est Tabscisse de l'essieu n® i, G celle du centre de gravité de la charge totale (charge permanente et convoi). En exprimant que le moment de cette charge appliquée au centre de gravité, par rapport à l'essieu n® î, est égal à la somme des moments de la charge permanente dont la résultante ql est appliquée au milieu de la poutre et de celle du convoi, on obtient

Éliminant la difi'érence ^-id — [a/^ entre les deux dernières équations, il vient

Soit

a? -h G a: -h G l I j — =0 ou =. ->

ce qui établit la proposition.

368 3^ SECTION. — GHAP. XVIII.

Problème IV. — MOMENT MAXIMÏÏM MAZIMOBÏÏM. — On appelle ainsi le plus grand de tous les moments de flexion qui puisse se produire dans la poutre entière pendant le passage du convoi. Or le moment maximum, dans chaque section, se produit sous un essieu (§ 215). Donc il en est de même du plus grand de tous ces moments; par conséquent, si la charge permanente est uniforme. \9ifig. A, PL XJlIV^ fournit immédiatement la solution du problème. Elle correspond à la plus grande des ordonnées comprises entre la parabole et le contour qui porte le liséré. Ici c'est sensiblement l'ordonnée du sommet de la parabole rigoureusement, celle du point de contact d'une tangente parallèle à 3'3'' ; c'est donc sous l'essieu n** 3 que se produit le maximum maximoriim et il est égal au produit de l'ordonnée dont il vient d'être parlé par la dislance polaire d {Jig* et). L'ordonnée a 9*^,4 de longueur, soit en force, 37^,6 et le moment de flexion correspondant est en tonnes-mètres:

37^,6 X 7 = 37*, 6 X 9 = 338*", 4. En général, c'est près de la

section du milieu que se çvoàixilXe mavimum maximorum et, pour de petits ouvrages, on se borne à appliquer, à cette section, la règle du § 216 pour trouver le moment maximum dans une section et l'on adopte ce moment comme moment maximum maximorum.

Théorème. — On obtient une limite supérieure du moment de r^ flexion maximum que le passage d^un convoi quelconque peut

produire dans une section donnée d* une poutre à deux appuis simples, en ajoutant au moment de flexion dd à fa charge permanente, celui que produirait /e double du poids du convoi supposé uniformément réparti sur la longueur du pont.

On obtient une limite supérieure du moment maximum maximorum en formant le produit du quart de la longueur de la travée par la charge totale du convoi augmentée de la demicharge totale permanente.

Cette proposition résulte :

1° De ce que le moment maximum dans une section donnée et, par suite, le moment maximum maximorum, se produit sous un essieu;

H0UBNT3 FLECHISSANTS.

a° De ce que le moment y.i sous l'essieu n" i peut élre rep seDté par la formule (3) du § 219

■ R-(^f + 7i'')-<'— )-l"'(--7)-W'f Les deux derniers termes sont essentiellement négatifs ; don<

Le second membre étant indépendant de i, il s'ensuit qu'il présente la limite supérieure de [x;, quel que soit le numéro de 1 sîeu.

Le maximum de ce second membre a lieu pour x ^ -> ce donne pour limite supérieure du maximum maximorumVe*.ç\ sioD