CHAPITRE XIX

EFFORTS TRANCHANTS PRODUITS PAR LE PASSAGE d'uN GONYOI SUR UNE POUTRE A DEUX APPUIS SIMPLES.

THÉORÈMES FORD AMERT AUX. — Nous baserons la recherche des plus grands efforts tranchants produits dans une poutre par le passage d^un convoi sur deux théorèmes dont le premier est connu.

Théorème I. — Le maximum ou le m^inimum de V effort tranchant, dans une section quelconque^ ne se produit qu'au moment où un essieu passe à une distance infiniment petite à droite ou à gauche de cette section.

L^effort tranchant dans une travée portant des charges verticales est (§193)

S'il s'agit d'une section X comprise entre les charges P/ et Vi^% et qu'il y ait, en tout, n charges

Enfin, si les charges forment un convoi mobile, qu'on désigne j)ar ai la distance de P| à P|, en sorte que a^ = o, et par z la distance, à un instant quelconque, du premier essieu de gauche P| à l'appui de gauche, en sorte que

OLi = a/ -4- ^, ai = ai -h 5 := .5, on a

(3) — ip-jip-.fip.

Considérons une section X.

Suivant la valeur de z, c'est-à-dire suivant la position du convoi, Teffort tranchant t peut prendre des valeurs : les unes positives, les autres négatives (les moments fléchissants étudiés précédemment ne sont jamais négatifs). Il s'agit de trouver le maximum et le- minimum de t, soit la plus grande valeur de l'efTort positif et la plus grande valeur absolue de l'effort négatif, et c'est généralement la plus grande de ces deux quantités qu'on aura à utiliser. Il peut être, toutefois, nécessaire pour le calcul des dimensions d'une pièce, de les connaître toutes deux (voir Note I). Si x conserve le même signe^ par exemple le signe -h, alors il suffit d'avoir son maximum; si c'est le signe — , il suffit d'avoir le minimum.

Supposons qu'aucun essieu ne passe actuellement sur la section X ; si le convoi se meut dans un intervalle assez restreint pour qu'aucun essieu n'arrive jusqu'à elle et qu'aucun ne franchisse une culée les sommes S qui entrent dans t restent invariables pendant ce mouvement; z varie seul et le maximum ou le minimum de T correspond aux valeurs extrêmes que peut prendre z lorsque le convoi se déplace dans les limites indiquées. On arrive donc, comme pour les moments fléchissants, à cette conséquence que les valeurs extrêmes que prend l'effort tranchant dans une section donnée pendant la marche d^un convoi ne peuvent avoir lieu que lorsqu'un essieu passe sur cette section ou sur une culée.

Mais, si le dernier essieu de droite P,^ est infiniment près de la culée sans l'avoir franchie, la formule (2) montre que, comme au = /, les deux termes qu'il fournit se détruisent; donc, qu'il ait franchi la culée ou qu'il en soit infiniment près dans la portée du pont, cela ne change pas la valeur de t pour une section à distance finie de la culée ; elle n'est changée que pour la section à l'aplomb de la culée. Il en est de même lorsqu'une nouvelle charge s'engage sur le pont; au moment où son abscisse a est infiniment petite, elle ne fournit aucun terme pour une section à distance finie des culées. Donc, pour de telles sections, ce n'est que quand un essieu les traverse que le maximum ou le minimum de t peut s'y produire; et le fait que pour les sections à l'aplomb des culées, l'entrée ou la sortie modifie l'effort tranchant, n'est qu'un cas particulier de la proposition à démontrer. Il suffit, d'après cela, d'étudier les efforts tranchants au passage des divers essieux

37a 3* SECTION. — CHAP. XIX.

dans chaque seclion, pour pouvoir en déduire les valeurs extrêmes qu^ils pourront atteindre dans cette section pendant la marche du convoi.

L'effort tranchant, dans une section infiniment voisine d'un essieu, diffère d'une quantité finie, suivant que cette section est prise à la gauche ou à la droite de l'essieu.

Désignons, à un instant quelconque, par Tiv/ et t,-^ les efforts tranchants immédiatement à droite et immédiatement à gauche de l'essieu n° i. On aura, par définition,

(4) '^i^ = '^id — ^('

D'ailleurs, la formule (2), en y supposant ir = a/, c'est-à-dire en considérant la section dont l'abscisse x coïncide à tout instant avec l'abscisse a/ de l'essieu n° i, donne

Si, outre la charge mobile, la poutre porte une charge permanente Çj il faut ajouter au second membre l'effort tranchant dû à cette charge, soit

— - — h gx.

Donc

(5) '^i<i = -^P-^J^Po^ + ç(=^-'-)-

Les formules (4) et (5) définissent ainsi l'effort tranchant dans le voisinage d'un essieu.

Théorème n. — L'effort tranchant près d' un quelconque des essieux d'un convoi en marche sur une poutre à deux appuis simples, pouvant porter une charge unijorme, est représenté par les ordonnées d'une seule et même droite, quelque soit l'essieu considéré, ces ordonnées étant seulement comptées à partir d'axes des abscisses différents pour les différents essieux.

En effet, soit \k'^ la somme des moments relativement à l'essieu n° { des charges de tous les essieux ; |ji^- est évidemment une quan-

tlté constante, quelle que soil la position du train, et Ton a

\i désignant la distance invariable àe la verticale du centre de gravité du convoi à l'essieu n** i et le signe -(- convenant à tous les essieux placés à gauche de cette verticale, le signe — à ceux placés à sa droite.

On a aussi

d'où

Far suite,

équation du premier degré, représentant une droite dont l'inclinaison est indépendante de l'essieu que l'on considère.

Soit {fig. B, PL XXIIl) la travée AB déjà considérée (§ 219 et suivants) à l'occasion des moments de flexion, parcourue par les mêmes charges au nombre de quatre.

Construisons la droite PQ dont l'ordonnée^ est

(7) ^-(îip-^)-^''

et qui est la même, quel que soit l'essieu considéré. Construisons, d'autre part, l'horizontale

qui dépend seule de cet essieu. On aura

c'est-à-dire que les ordonnées de la droite fixe PQ comptées depuis

l'horizontale (8), représentent les efforts tranchants qui se produisent immëdiatement à droite de i'essieu n" î, pendant la marche u train.

Pour X = o et X = /, on a respectivement

= îl^^

Portons, à partir de A. et dans le sens ascendant, l'ordonnée

1 longueur bc étant relevée sur la figure a. A partir de B el ans le sens descendant, portons les quatre charges dans l'ordre

4, 3, a, I, t au bout, portons encore — ^= AP; on détermine ainsi le point l et la droite PQ est celle (7).

Les quatre horizontales représentées par l'équation (8) en ysuposant successivement ( = 1, 2, 3, 4. sont faciles à obtenir. Le

srme ^P est fourni par les points de division du polygone des

orces BB'.

D'autre part, si nous nous reportons au polygone funiculaire es quatre charges déjà construit à l'occasion des moments de lexion {^g. A,,), on voit que les ordonnées i'I', î'r, 3'3', A'i\

espectivement multipliées par la distance polaire d, donnent les aleurs absolues des moments ^'^ de toutes les forces, relativement L l'essieu n" i. Et, comme on a pris d= -; j on a

rt=irxi „„ «„!,■, ii.ïî-, l'J=3'3-, iïi=4'f.

Donc, en prenant les quarts des ordonnées 1 i", S'^', .... on a es valeurs absolues des y ; on sait d'ailleurs que ces rapports sont lositifs pour les essieux situés à gauche de la verticale du point G,

EFFORTS TRANCHANTS. SjS

et négatifs pour ceux de droite^ c'est-à-dire ici pour ^ seulement.

D'après cela,

I® Pour «== I, on a

Donc {/ig» B), à partir du point 1.2 du polygone des forces BB', on portera de bas en haut le quart de la longueur 1 1" relevée sur la figure Aq. On obtient ainsi l'horizontale (i), à partir de laquelle doivent être comptées les ordonnées de la droite PQ, pour qu'elles représentent les efforts tranchants qui se produisent immédiatement à la droite de l'essieu n^ i dans ses diverses positions.

De même, à partir du poinf, 2.3, on portera de bas en haut le quart de 2' 2"; à partir du point 3-4, on portera le quart de 3' 3"; enfin, à partir de B, on portera de haut en bas le quart de U". On aura ainsi les horizontales (2), (3), (4) répondant aux efforts tranchants immédiatement à la droite de chacun des essieux n°' % 3, 4.

Si l'on voulait avoir les efforts tranchants immédiatement à gauche, il suffirait, d'après la formule (i), de baisser les horizontales

respectivement de longueurs égales aux charges correspondantes 1 , 2, 3, 4 <lu polygone BBf.

Problème. — Étant donnée une section X, quelles sont les valeurs extrêmes qu^y atteint V effort tranchant pendant le passage du train?

Elles se produisent (Th. I) lorsqu'un essieu est immédiatement à gauche ou immédiatement à droite de la section considérée. Or, lorsque chacun des quatre essieux est immédiatement à gauche de la section, les efforts tranchants correspondants sont les quatre ordonnées de PQ comptées depuis (i), (2), (3), (4). Us sont tous positifs et le plus grand répond à (4), c'est-à-dire au passage de l'essieu n** 4? et a pour valeur l'ordonnée comptée depuis (4) mesurée à l'échelle des forces.

BifiLES PBATICinES. — Le maximum positif de T|V/ pour une section quelconque X est l'ordonnée' comprise entre la ligne PQ et Thorizontale la plus élevée parmi celles qu'on a trouvées; ici c'est celle (4).

Gomme deux sections X et X' équidistantes du milieu de la poutre supportent les mêmes efforts maxima, puisque la poutre est frein chie par les mêmes convois tantôt dans un sens, tantôt dans un autre , chacune d'elles doit être établie de façon à résister au plus grand des deux maxima qui les concernent.

On obtient le résultat graphiquement en repliant la demi-figure de droite sur celle de gauche autour de ia verticale CD du milieu de la poutre; la partie DQ de la droite PQ, vient ainsi en DQ' et l'on voit que le maximum positif de l'efibrt tranchant considéré, c'est-à-dire de celui qui se produit dans chaque section, lorsqu'un essieu est immédiatement à sa gauche, est fourni, pour toutes les sections de la demi-poutre AC (et celles équidistantes de l'autre moitié de la poutre) par les ordonnées du trapèze (4)4DQ' qui est marqué par un liséré.

Le maximum positif, quand l'essieu est à la droite de la section, est nécessairement plus petit que le précédent, en vertu de ia définition même des efforts tranchants et parce que nous regardons comme positives les forces descendantes. Cela résulte aussi de la formule (4)- Ainsi le diagramme (4)4 DQ' donne le maximum positif de l'effort tranchant dans toutes les sections.

Le minimum de l'effort tranchant, quand l'essieu est immédiatement à gauche de la section, ou, si l'on veut, son maximum négatif (pris en valeur absolue) est l'ordonnée de PD comptée depuis (i), c'est-à-dire qu'il est partout produit par l'essieu n** 1. Mais, si l'essieu est à droite de la section, chaque effort tranchant ainsi trouvé doit être diminué de la charge de l'essieu, de sorte que les nouveaux efforts tranchants au passage de l'essieu n° 1 seront à compter depuis l'horizontale (i') située plus bas que (1) d'une hauteur égale à la charge i relevée sur le polygone des forces. Il faut de même, pour avoir les efforts correspondants au passage des essieux n®* 2, 3, 4, lorsque ces essieux sont immédiatement à la

droite de chaque section, baisser les horizontales (2), (3), (4), respectivement des longueurs 2, 3, 4 relevées sur le polygone des forces.

C^est à partir de la plus basse des lignes ainsi obtenues qu'on doit compter les ordonnées de PD pour avoir, en valeur absolue, le maximum de reflfort tranchant négatif dans chaque section.

Ici cette ligne la plus basse est celle (1').

En résumé, pour avoir, dans chaque section, les maxima positif et négatif de i^eflbrt tranchant dû à la fois à la charge permanente et au passage d'un convoi, il suffit de faire les opérations suivantes :

a. Tracer la demi-longueur de la poutre AC.

b. Sur la verticale de l'appui A portez de bas en haut la demicharge permanente - = AP.

c. Sur la même verticale, de haut en bas, porter les charges des essieux 4^ 3, 2, i et au bout, encore une fois, la demi-charge permanente.

d. Par le milieu de la longueur PQ' déterminé par les deux opérations précédentes, menez une horizontale qui rencontre la verticale C du milieu de la poutre en un point D de manière à former le triangle isoscèle PDQ'.

e. Déterminer, comme il a été expliqué au § 232, les altitudes (4), (3), (2), (i) des horizontales à partir desquelles doivent se compter les efforts tranchants au passage des essieux correspondants n°» 4, 3, 2, 1.

Ne conserver que la plus élevée de ces lignes [ici, celle (4)]«

/. Baisser les horizontales (4), (3), (2), (i) respectivement de hauteurs égales aux forces 4» 3, 2, i relevées sur le polygone des forces AQ'.

Ne conserver que la plus basse des lignes ainsi obtenues. [Ici celle (1') résultant de rabaissement donné à (i).]

g. Le maximum positif dans chaque section de la demi-poutre AC (et dans la section équidistante du milieu, appartenant à la

seconde moitié de la poutre) est représenté par l'ordonnée deDQ' comptée depuis l'horizontale la plus élevée.

Le maximum négatif est de même donné par Tordonnée de DP comptée depuis l'horizontale la plus basse.

BEKABaUE AU SUJET DU CAS OU LE GOHYOI HE SERAIT EHSA&É aUB PAR- TIELLEMERT. — Tout ceci suppose que, dans les positions trouvées pour les maxima, le convoi est engagé tout entier. C'est ce qui a lieu dans l'exemple traité ici*, car le maximum négatif est donné dans chaque section de AC quand l'essieu n^ 1 (essieu de queue) passe dans cette section, le convoi cheminant de gauche à droite, et dans la demi-poutre symétrique par le passage du même essieu quand le convoi chemine en sens inveràe.

Le maximum positif est donné de même dans chaque section quand l'autre essieu extrême, celui n° 4, y passe, mais le convoi cheminant de façon que cet essieu soit à la queue.

Si Ton avait trouvé, pour l'une des deux horizontales d'altitude maxima ou minima, d'autres lignes que celles répondant aux essieux extrêmes, la règle serait nécessairement en défaut pour certaines sections voisines des extrémités de la poutre. Cela se présentera rarement. Si toutefois cette circonstance se présentait, on aurait à faire, en partie, le tracé complémentaire que nous allons indiquer.

TRACÉ EIAGT RELATIF A UN GOUVOI ERfiAfiÉ EH PARTIE SEULEMER. — Si l'on place le convoi dans les deux positions extrêmes où il est engagé tout entier, à savoir celle 1 , 2, 3, 4 et celle 1', 2', 3', 4' {^fig^ B), on voit que les lignes (i), (2), (3), (4) relatives aux passages des essieux correspondants ne sont valables respectivement qu'entre les verticales 1 et 1', 2 et 2', 3 et 3', 4 et 4'. On les a tracées en lignes pleines dans ces parties.

Considérons, par exemple, le convoi dans la position 1', 2', 3', il et supposons qu'il continue à avancer vers la droite.

Voyons d'abord comme se modifie la ligne PQ. Le point P reste

fixe, puisque son ordonnée — ne dépend que de la charge permanente.

L^ordonnée de Q est

c'est-à-dire la demi-charge permanente plus la charge totale engagée.

Portons bout à bout à partir de Q dans le sens ascendant, les charges 4i9 3iy 2|, des essieux n?* 4, 3, 2. On obtient ainsi des points £), £2, e|.

C'est en t^ qu'aboutira la nouvelle ligne PQ quand l'essieu n** 4 aura quitté le pont; en £2 quand l'essieu n"3 l'aura quitté; en £4 quand l'essieu n° 2 l'aura. quitté. Ainsi la ligne PQ est remplacée successivement par

Pe3, Pet, Psi.

Ceci étant, considérons ce qui concerne l'essieu n^ 1. Le diagramme P(i)i pi P représente l'effort tranchant au passage de cet essieu dans les sections placées à gauche de ^1 i prolongement de la verticale 1', et c'est pour les sections comprises entre 1' et 4' qu'il reste à les déterminer.

Pour cela, j'observe que l'effort tranchant dans une section placée à distance finie de l'appui B n'est modifié qu'infiniment peu suivant qu^un essieu est un peu à gauche ou à droite de l'appui B.

Or, quand l'essieu 4' est à gauche, l'effort tranchant dans la section 1, produit par le passage de l'essieu n" 1, est égal à ^ii. Soit P', le point où cette verticale (que, pour plus de clarté, on a légèrement déplacée) coupe la ligne Psa- Prenons ^'^ i ^^^ p, i , de sorte que ^\ 1 est l'effort tranchant dans la section i' quand l'essieu n'' 4' est infiniment peu à droite de l'appui B.

Or, tant que les charges 1', 2', 3' restent engagées, les efforts tranchants sont les ordonnées de Pea comptées depuis une certaine horizontale. Donc, cette horizontale est celle définie par le point que nous venons de déterminer. Elle sera valable jusqu'à ce que l'essieu n** 3' arrive sur la culée B.

Traçons donc la verticale yi i à une distance de p', 1 égale à l'écartement des essieux 3' et 4' et le diagramme P\ 1 1 yi P\ donne

38o 3* SECTION. — CHAP. XIX.

les eflbrts tranchants au passage de Tessieu n^ 1 dans l'intervalle correspondant.

Soit y'^ le point où la verticale yi (légèrement déplacée pour la clarté de la figure) coupe la ligne P 62- Prenons y', 1 = y* ^ > P^î^ menons la verticale distante de celle-ci d'une longueur égale à l'écarlement des essieux 2' et 3'; on formera le diagramme y', 1 1 ô| Y, j qwi représente l'effort tranchant dans les sections correspondantes au passage de l'essieu n*' 1 dans cette partie de la poutre; de même entre 8| et l'extrémité de la poutre, il est représenté par le diagramme S', iBsio'^, tel que 0', i =3,i, et comme vérification, le point i doit tomber sur la ligne â6; car on voit a priori que l'effort tranchant en B est l'ordonnée de £| comptée depuis B.

De même pour l'essieu n** 2, la ligne 2 cesse d'être valable à partir de la verticale 2' en 2.

Soit ^2 le point où cette verticale coupe PQ. Dans le surplus de la poutre, le passage de l'essieu n'^ 2 détermine des efforts tranchants représentés par les ordonnées des deux diagrammes

P',22Yï?'t et y', •2B£2Y'2

dont le dernier est compté depuis l'horizontale AB; leurs longueurs sont respectivement égales aux distances des essieux 4' et 3' et 3', 2^.

Enfin, la ligne (3) est valable jusqu'à la verticale 3' et à droite de celle-ci le passage de l'essieu n° 3 détermine des efforts Iranchants représentés par le diagramme

Remarque L — Tous ces diagrammes représentent l'effort tranchant quand l'essieu est à gauche de la section. S'il est à droite, il faut en retrancher la charge de l'essieu.

On compléterait de même Fépure vers la gauche pour les essieux n^' 2, 3, 4 en faisant rétrograder le train depuis la position

Remarque IL — Les problèmes relatifs aux efforts tranchants. analogues aux problèmes II, III, IV résolus au Chapitre précédent pour les moments fléchissants, se déduiraient naturellement aussi de notre tracé.

EFFORTS TRANCHANTS. 38l

BEMABaUES BELATIVES AUX 8T8TÉ1IE8 BÉTIGULAIBES. — La connaissance des moments de flexion et efforts tranchants maxima dans chaque section des poutres comme celles envisagées en Résistance des matériaux suffit à calculer les forces élastiques qui s'y développent (§ 208, 211).

S'il s'agit d'une poutre réticulaire, supposons d'abord qu'on veuille calculer la tension ou pression maxima que le passage d'un convoi détermine dans une barre principale, ce qui est la question essentielle. Soient h sa distance au nœud ou sommet opposé {h pouvant être constant ou variable d'une barre à llautre) et jjl le moment de flexion relatif à ce nœud. On sait (§ 204) que la force

élastique cherchée est ~- Et, comme la hauteur h est une constante pour une barre considérée, quelle que soit la position du train, cette force varie proportionnellement au moment fléchissant. La tension ou pression maxima s'obtient donc en divisant le maximum trouvé pour [jl par la hauteur A.

Supposons qu'il s'agisse d'un étrésillon. Si la hauteur de la poutre est constante, la tension ou pression qui s'y développe

est , T étant l'effort tranchant dans une section voisine d'un

cosa'

des nœuds auxquels il appartient et a son inclinaison sur la verticale. Cet angle étant déterminé pour chaque barre et t variant seul pendant le passage du convoi, on voit que le maximum de la force élastique cherchée répond au maximum de t.

Si la hauteur de la poutre varie, mais très lentement, on applique la même règle pour les étrésillons ou pièces de remplissage qui supportent généralement des tensions inférieures à celles que comportent les dimensions qu'on est amené à leur donner, par suite des nécessités de la construction.

Si l'on voulait être exact il faudrait procéder ainsi : soit h' la distance de l'étrésillon considéré au sommet s qui lui est opposé (§ 203), lequel n'est pas un nœud, mais le point d'intersection des directions géométriques de deux barres principales opposées, point plus ou moins éloigné de la poutre. Si [x' est la somme des moments par rapport à ce point de toutes les forces agissant d'un côté d'une section X faite près de l'un des nœuds qui terminent la barre con-

38a 3* SECTION. — chap. xix. — efforts tranchants.

sidérée, on a pour la force élastique cherchée p • Donc le maximum de cette force répond au maximum de [jl'. Or, si P/ est l'une des forces verticales agissant sur la poutre, a<- son abscisse comptée de l'extrémité gauche de celle-ci ; x l'abscisse de la section X et h? la distance de s au plan vertical de cette section, le moment de P/ par rapport à s est

Donc

^ = ^Vi{x^h'- ai) = 2 P,(a. - a,) -4- h' ^ ?/

ou, si [il et T désignent le moment fléchissant^ et l'effort tranchant relatif à la section *X, il vient

Appliquons cette formule, qui est générale, à une poutre à deux appuis simples en remplaçant [jl et t par leurs valeurs relatives à ce cas

d'où