I.JS t.IB

u iJ

P = 7S5, P'= 1,467 xP= II'.

M. le Professeur Weyrauch, dans son Mémoire sur ce sujet, donne les trois types de machines :

1* Machine Engerth, avec tende r.

Pi = r,9^ Pj = 3%5, P3 = P, = P5 = 5S9.

2** Engerth-Sommering.

Fig. 5o.

2 52 116 lia 116

Ps

Pj = 4\35 P2 = 4',o5 P8 = 6S45 P4 = 6S3 P5 = 6S8>,

Troisième type.

Fig. 5i.

. r.tftf

/.iii"

Pi=4'.9, P»=3S5, P,= 5,5, P» = P, = 5',9.

34o 3* SECTION. — CHAP. XVIII.

Si un même pont doit livrer passage à plusieurs genres de convois, s'il y en a un dont les essieux offrent tout à la fois le moindre écartement, portent les plus fortes charges et aient le poids total le plus considérable, on opérera sur celui-là. L'expression générale (7) des moments de flexion (§ 193) indique, en effet : 1** que tous les termes qui entrent sous les signes 21 sont positifs, que, par suite, les moments fléchissants d'une poutre à deux appuis simples sont essentiellement positifs, quelles que soient les charges verticales descendantes qu'elle porte, ce qui résulte aussi de la constniclion graphique de ces moments (§ 194); 2° que, pour une section donnée, c'est-à-dire une valeur donnée de x^ chaque terme est d'autant plus grand que la charge P à laquelle il correspond est plus grande et que a est plus grand, c'est-à-dire quelle est plus rapprochée de la section considérée.

Si l'on ne voit pas a priori que l'un des convois doive donner des résultats plus défavorables que les autres, on opérera sur deux ou plusieurs types successivement et l'on prendra pour chaque section le plus grand moment obtenu par ces opérations.

b. On considérera un certain nombre de sections de la poutre plus ou moins rapprochées suivant le degré d'exactitude que l'on recherche.

A chaque section, on appliquera le théorème II, c'est-à-dire (/ig' 46, p. 329) qu'aux diverses sections X on élèvera des perpendiculaires Xe et l'on mènera des horizontales par les points e. On aura ainsi en quelque sorte, à simple vue, les positions du convoi qui fournissent les moments maxima dans les diverses sections considérées.

b bis. Si, pour certaines sections, ce théorème se trouve en défaut, on leur appliquera le théorème III.

c. Ayant ainsi, dans toutes les circonstances qui peuvent se produire, les positions du convoi répondant aux moments maxima dans diverses sections considérées X, il reste à déterminer les grandeurs de ces moments.

On peut, pour cela, procéder soit analytiquement, soit graphiquement : analytiquement, par la formule (i) ci-dessus ou celle (7) du § 193. Dans chaque application de cette formule, il y aura une charge P/ juste dans la section X que l'on considère, c'est-à-dire

MOMENTS FLECHISSANTS. 34l

une charge P, dont l'abscisse est a/ = x. Nous savons qu'on peut indifféremment la comprendre, si Ton applique la formule (i), dans

la somme \] ou dans celle \], et si l'on applique la formule (7) du 1 i-j-i

§ 193, on peut la comprendre à volonté dans la somme \] ou celle

^, ainsi que cela a été établi à l'occasion de cette formule.

Pour procéder graphiquement, il suffit de construire un polygone funiculaire, comme au § 194. Il semblerait qu'on ait à construire un tel polygone pour chaque section, puisque, pour chaque section, le convoi occupe une nouvelle position. Il n'en est pas ainsi.

Ayant construit le polygone funiculaire pour une position du convoi, celle qui correspond à la première des sections dont on cherche le moment fléchissant, on sait, par la recherche 6, de combien et dans quel sens on doit déplacer le convoi pour obtenir le moment fléchissant maximum dans l'une quelconque des autres sections. Mais, au lieu de déplacer le convoi de cette quantité, on peut le laisser fixe et déplacer la poutre en sens contraire de celui dans lequel on devait déplacer la charge et de la même quantité ; les positions relatives de la poutre et de la charge seront ainsi ce qu'elles doivent être pour la nouvelle section à étudier.

Par cet artiGce, les lignes d'action des charges directement appliquées restant fixes, ainsi que leurs grandeurs, ni le polygone de ces forces, ni leur polygone funiculaire n'auront changé. Ce qui se sera déplacé avec les extrémités de la poutre, ce sont les lignes d'action des réactions des appuis, et leurs grandeurs se seront modifiées aussi. Cela n'empêche pas d'utiliser le même polygone des forces ; les cordes seules seront à déplacer.

Si l'on se reporte aux figures 93, 98 de la PL XXI y nous avons vu que si la poutre AB supporte les forces

représentées par le polygone des forces 1.2. 3. 4*^*6, en construisant le polygone funiculaire

de pôle 0, il a suffi d'arrêter les côtés extrêmes aux verticales des

34î 3* SECTION. — CHAP. XVIII.

points d'appui A. et B pour obtenir la corde 8'.7', et les ordonnées verticales du polygone comptées depuis cette ligne donnent, à un facteur près égal à la distance polaire, les moments fléchissants de toutes les sections.

Appliquons cela à un convoi formé par les trois charges 4, 2, 3. On propose de trouver le moment fléchissant maximum dans les deux sections 1 et X.

Supposons que, par la méthode exposée, on ait reconnu :

I** Que, pour la section i , c'est la position actuelle du convoi qui donne le moment maximum ;

2*^ Que, pour obtenir le moment maximum dans la section X, il faut faire avancer le convoi vers la droite, jusqu'à ce que l'essieu 3 se trouve dans cette section.

Pour la section 1, comme c'est la charge actuelle 1, 2, 3 qui intervient, les côtés extrêmes du polygone funiculaire sont l'.8' et 3' 4'; prolongeons-les jusqu'aux verticales des appuis en8'et7i; la corde 8'. 7| est telle que les ordonnées comptées à partir de cette ligne donnent les moments fléchissants. Donc, l'ordonnée comprise entre 1' et la corde 8'.7< est la plus grande qui puisse se produire dans la section 1 pendant la marche du convoi.

A présent, je dis que, pour la section X, le même polygone est utilisable. En effet, nous devons, pour avoir le moment maximum en X, faire avancer le convoi 1, 2, 3 vers la droite de la quantité 3X. Au lieu de cela, laissons-le en place et faisons rétrograder le pont vers la gauche de la quantité X3. Les appuis A et B viendront en 'A' et B'; la section X viendra en 3. C'est donc en ce dernier point que nous devons déterminer le moment fléchissant.

A cet effet, prolongeons les côtés extrêmes l'8' et 3' 4' du polygone funiculaire jusqu'aux verticales des nouveaux appuis en 8j et 7j; les ordonnées comptées depuis la corde 8372 donnent les moments répondant à la nouvelle position relative du convoi et de la poutre et l'ordonnée 3' 32 est celle que nous cherchons, c'està-dire que, multipliée par la distance polaire, elle représente, à l'échelle de la figure, le plus grand moment de flexion qui naîtra dans la section X de la poutre pendant le passage du convoi.

c bis. Il est à peine besoin de dire que, dans les cas indiqués 6 bis, où les essieux intervenant se trouveraient modifiés en

nombre, on tiendrait compte de la modification dans le calcul du moment de flexion, si Ton procède par le calcul.

Si l'on procède graphiquement, le polygone funiculaire tracé une seale fois pour tous les essieux, existants servira même dans ce cas. Les côtés extrêmes du polygone seront seulement différents, puisqu'on n'aura qu'une partie du polygone à considérer.

d. Supposons que, pour deux sections X et X' également distantes du milieu de la poutre, on ait, dans l'hypothèse admise de convois marchant tous dans le môme sens, de gauche à droite, trouvé respectivement les moments de flexion maxima |jl, [jl'. Il est clair que, pour les convois marchant en sens inverse, ce sera la section X qui supportera le moment maximum [x' et la section X', le moment maximum [x. Et, comme la poutre est parcourue par les mêmes trains marchant dans les deux sens, chacune des deux sections X et X' supportera tantôt le moment maximum [jl, tantôt celui [jl'. C'est donc le plus grand des deux qu'il conviendra d'adopter tant pour la section X que pour celle X', de sorte que la distribution des moments maxima sera symétrique par rapport au milieu de la poutre.

e. Ayant déterminé le moment fléchissant maximum que produit la charge mobile en diverses sections, il suffit d'y ajouter le moment fléchissant produit par la charge permanente, dans ces mêmes sections, pour avoir le moment fléchissant maximum effectif qui se produit dans chacune d'elles.

Si la charge permanente est une charge uniforme distribuée à raison de <jr*'8 par mètre courant de poutre, le moment fléchissant p. dû à la charge permanente au point d'abscisse x est

C'est, comme nous le savions, l'ordonnée d'une parabole.

Si d est la distance polaire adoptée dans le tracé du polygone funiculaire relatif au convoi, on adoptera cette même distance polaire, pour le tracé de la parabole, courbe funiculaire de la charge permanente ; ses ordonnées seront

Pour son tracé on peut consulter la Note II bis; on peut aussi tracer un polygone funiculaire circonscrit à la courbe en utilisant le théorème du § 45 bis. Enfin on peut utiliser un procédé qui est indiqué au § 217.

/. Quand on aura obtenu les moments définitifs aux diverses sections considérées, on pourra porter ces moments sur des ordonnées verticales à une échelle convenable et relier les extrémités de ces ordonnées par une courbe, ce qui donnera les moments fléchissants maxima approchés de toutes les sections.

Pour les poutres de petite longueur auxquelles on donne des dimensions uniformes, au lieu de chercher le moment maximum pour chaque section, il suffit de chercher le maximum maximorum.

Nous verrons (§ 230) comment on peut le trouver exactement; mais les données de la pratique sont, en général, telles que la section qui le supporte est dans le voisinage du milieu de la poutre, et Ton obtient, le plus souvent, une approximation suffisante, eo appliquant les règles que nous venons d^indiquer à cette seule

section pour laquelle -^ = -•

CAS D'UHE 8E0LE GHAE0E ROULANTE. — Supposons une charge unique P cheminant {fig' Sa) sur la poutre AA'. D'après le théorème I, elle produira le moment maximum dans une section X au moment où elle passera dans cette section.

Ce moment ^x se déduit des formules du § 193 en y faisant a = j;, ce qui donne

ixx= j

On peut calculer cette valeur pour diverses valeurs de x et, si Ton représente ^x par une ordonnée XX', on voit que le lieu des extrémités X' est un arc de parabole à axe vertical passant par les points A et A'.

On peut aussi construire très simplement l'ordonnée XX' comme Ta indiqué M. Veyrauch.

HOUBNTa FLÉCHISSANTS. 345

ÉtevODS en A une perpendiculaire sur laquelle nous prendrons une longueur XX" = AX = x; joignons X"A'; l'intersection de cette ligne avec la verticale du point X donne le point cherché dans le cas où le poids P = i, comme le montrent les Iriang semblables AXX' et A' AX". Il suiTit donc de multiplier l'ordonc XX' ainsi obtenue par P pour avoir le moment cherché. Fig. 5..

Oo obtient ainsi autant de points X' que l'on désire de la pai bole ajant pour ordonnée

Mais les ordonnées étant mesurées à l'échelle des forces, au li de prendre A'X" = AX, on devra prendre

AX = AX;^ n si n: I est le rapport de la longueur qui représente l'unilé de foi à celle qui représente l'unité de longueur.

CAS BE DEOX GHABSIS- — Théohème. — Un système de de charges roulantes passant indifféremment dans les deux st produit en chaque point X le moment fléchissant maximu lorsque c'est la plus forte des deux qui passe au point X.

Cela résulte de suite des règles données plus haut pour trou^ la position d'un convoi qui fournit le momenl le plus grand d< une section X.

Portons {fig- 53) sur la verticale A' les deui charges i et 2 b( à bout, en commençant par la plus petite.

Par le point X de la section considérée, élevons la perpendiculaire Xe jusqu'à sa rencontre avec AE; l'horizontale menée parc rencontrera celle des deux charges qui doit passer au point X pour qu'il s'y produise le moment maximum. Menons une horizontale par le point de division des deux forces i et a ; cette horizontale rencontre AE en o*. A gauche de la verticale o* ce serait la plus petite charge qu'il faudrait placer sur la section que l'on considère pour y produire le maximum, et à droite c'est la plus grande.

Mais, si nous prenons une section S et sa symétrique S', on voit que, pour celle-ci, c'est la charge 2, et il est facile de voir que le moment fléchissant maximum en S' sera plus grand que le moment maximum en S.

Fis. 53.

En effet, la formule générale est

Pa.

Si une charge agit au point X même, nous savons que nous pouvons la comprendre dans la première ou la seconde somme. Alors, soient Pi la charge de gauche et P2 > P| celle de droite ou d'avant. Soit [Xi ce que devient [jl si c'est P| qui agit en X, et jx* si c'est P2. Dans le premier cas, nous pouvons regarder les deux charges comme faisant partie de la seconde somme et la première n'existe pas; dans le second cas, c'est l'inverse, et l'on aura si a est la distance constante des deux charges

OU

(J^) p.,= -i-^ i(P,^Pj)Pj^ /.

Pour que, pour une valeur de x, on puisse avoir [jL| > [jl2, il faut

que X soit tel que

Pj^<Pi(/-^);

d'où

comme l'indique la construction graphique ci-dessus.

Prenons à présent la valeur de [Xi pour le point S dont l'abscisse soit désignée par x. Elle est donnée par la formule ([Ji-i). La formule ([JI2) donne la valeur de y.2 pour ce même point S. Pour le point symétrique S', la valeur de [/.a s'obtiendra en changeant, dans [JI2, a: en / — x. Soit p.^ la valeur ainsi obtenue,

(Mi) ^',^îli.-^\p,+ P,)P,^.

On voit que p.!^ ^> [jL|. Ainsi la valeur maxima trouvée pour S' est plus grande que la valeur maxima trouvée pour son symétrique S. Et, comme c'est la plus grande des deux valeurs qu'il faut adopter aussi bien pour S que pour S', parce que les charges peuvent cheminer également dans les deux sens, on voit qu'il faut partout adopter le moment obtenu en plaçant la plus grande des deux charges sur le point que l'on veut éprouver.

Théorème IV. — Si une poutre à deux appuis simples^ portant ou non une charge permanente uniforme, est parcourue par un coni>oi quelconque, la valeur que prend le moment de flexion sous un essieu déterminé, pendant la marche du train, est représentée par les ordonnées d*une parabole unique pour tous les essieux quel qu^en soit le nombre, ces ordonnées étant seulement comptées à partir de droites différentes pour les différents essieux (*).

(') Ce théorème nous a été communiqué par M. le capitaine du Génie Ventre, ancien professeur à VEcole de Fontainebleau, à l'occasion de notre enseignement

Nous déduirons cette importante proposition d'une formule quî la renferme comme cas particulier, et qui nous sera utile pour en faciliter les applications.

Le moment de flexion, en un point compris entre les deux essieux consécutifs n*** i et i-\-i et ayant x pour abscisse, sous l'action réunie du convoi et d'une charge permanente q^ est

Soient ^ig et ^id les sommes, prises en valeur absolue, des moments relativement à l'essieu n** i des charges mobiles qui sont respectivement à sa gauche et à sa droite. Ces deux grandeurs restent évidemment invariables pendant la marche du train et l'on a

OÙ le dernier terme est nul et est ajouté pour la symétrie. On peut encore écrire

On trouve de même

Remplaçant dans l'expression de [jl les deux sommes ^Pa el

^P(/ — a) par leurs valeurs tirées de ces deux équations, il viendra

qxiî — .r> / x\ X

sur la Stalique graphique qu'il a bien voulu suivre; il nous paratl tout à fait fondamental et contient, en germe, une solution graphique pure et uniforme de tous les problèmes posés au commencement de ce Chapitre et une solution aussi simple que possible; car elle n'exige, en général, que le tracé d'une seule parabole, tracé qui serait nécessaire, même s'il n'y avait que la charge permanente, de sorte qae l'étude de toutes les circonstances que fait naître la présence du convoi exige seulement qu'outre la parabole on trace un certain nombre de droites.

Soit, à un instant quelconque, [x/ le moment de flexion sous Fessieu n^ i. On obtiendra évidemment [jl/ en faisant, dans cette équation, x = a/, ce qui donne, en désignant par a:, non plus Fabscisse d'une section quelconque comprise entre les essieux n°* t et £ 4- I , mais celle de l'essieu n** i

(3.) [Li = X{l--X){^ ^ ^P |- -? j ( , - î ) jX/^ ^ jX/rf,

équation d'une parabole à axe vertical présentant sa concavité vers le haut, dont le terme du second degré a pour coefficient

soit la demi-charge permanente par mètre, plus le poids total du convoi rapporté au mètre courant, c'est-à-dire une grandeur indépendante de l'essieu considéré. La forme de cette parabole est donc elle-même indépendante de cet essieu et sa position seule en dépend.

Concevons qu'on construise une fois pour toutes la parabole dont l'ordonnée m est

a> — (-f)(2:-ïj-

qui passe par les deux appuis et dont le sommet est, par suite, situé sur la perpendiculaire élevée au milieu de la longueur de la poutre.

Supposons qu'on construise de plus, pour chaque essieu de rang t, la droite dont l'ordonnée mi est

/ ot/\ or

(5) m/ = ( I — A \^ig-^j V-id\

on aura

(6) ^i = m — mi,

c'est-à-dire qu'à chaque instant le moment de flexion sous l'essieu n** i est égal à l'ordonnée verticale de la parabole ^îo^e, comptée depuis la droite dont l'équation est (5).

35o 3* SECTION. — CHAP. XTIII.

DÉTEBMINATIOir GEAPHiaUE DES MOMENTS DE FLEIION S0ÏÏ8 LES ESSIEUX.

— Nous savons (Th. I) que le moment de flexion maximum dans une section donnée se produit lorsque cette section est sous un essieu. Si donc on sait construire, à tout instant, les moments de flexion sous tous les essieux, on en conclura aisément le moment maximum dans chaque section.

Il y a deux phases à distinguer, suivaut que le train est ou non engagé tout entier. Nous nous occuperons d'abord du premier cas.

Observons que Téquation (5) des droites m, donne, pour jr:= o et X := Ij respectivement /?i/ = [jl/^ et m/ =r (jl/^. Ainsi, \kig et jx/^ sont les ordonnées sur les appuis de la droite à partir de laquelle on doit compter les ordonnées de la parabole fixe pour avoir les moments de flexion [jl/ sous l'essieu n° i.

Supposons, pour fixer les idées, une poutre AB (Jig' A, PL XJlIII) parcourue par un système de quatre charges

qu'on représente {fig' Aq) dans une position quelconque, leur polygone des forces étant ab {fig* a) ; les côtés i , â, 3, 4 de ce polygone donnent les grandeurs des quatre charges mobiles. Au bout

de la force 4 ? portons une longueur 6c = ^ représentant la moitié

de la charge permanente de la poutre. Par le milieu I de ac^ élevons une perpendiculaire à cette ligne sur laquelle nous choisirons un pôle O, tel que la distance polaire d soit en rapport simple avec

la longueur / de la travée. On a pris rf = y

Soit 0| le milieu de cette perpendiculaire 10. Concevons qu'on construise la courbe funiculaire relative au pôle 0< et passant par les points A et B d'une charge totale ac, uniformément répartie sur la longueur de la poutre, de sorte que la charge par unité de longueur soit

JS--

^P étant la somme des charges mobiles (ici au nombre de quatre).

MOMENTS FLÉCHISSANTS. 35l

Cette courbe est, comme nous le savons, une parabole dont

l'ordonnée y, multipliée par la distance polaire -j représentera en

chaque point (§ 194) le moment de flexion que la charge considérée déterminerait en ce point. Mais nous avons appelé m le moment de flexion que produirait la charge uniforme

double de la précédente. Donc

y X d'où

Cette parabole est facile à tracer. Ses tangentes en A et B sont parallèles aux rayons polaires O^a, O^c. D'ailleurs, si l'on mène AS parallèle à Oa, on obtient le sommet S de la courbe d'après les propriétés connues de la parabole. On a donc tous les éléments nécessaires pour la tracer.

A présent {Jig' Aq), construisons un polygone funiculaire Aq \ .2.3.4Bo relatif au pôle O des charges i, 2, 3, 4 des essieux, abstraction faite de la charge permanente.

Les ordonnées 22', 33', 44' des divers sommets comptées à partir du côté extrême de gauche AqX, multipliées par la distance polaire c/, donnent (§ 119) les moments [jl/^, en sorte que

De même, les ordonnées des sommets comptées depuis le côté extrême de droite Bq^, multipliées par la distance polaire rf, donnent les [jL,v/, en sorte que

(b) 1^"=^'-' 22' = Ç, 33'=^, o = |ji4rf.

Portons les longueurs (a) sur la verticale descendante à partir de A (Jig. A).

Nous déterminerons les points

A ou i', a', 3', 4'.

Portons de même les longueurs (6) sur la verticale descendante à partir de Tappui B, nous aurons, sur cette verticale, les points

i', 2', 3", B, ou 4".

Joignons les points correspondants l'i", a' a", 3'3", 4'4"- Les ordonnées de ces droites comptées depuis AB représentent les quotients ^- Donc les ordonnées comprises entre ces droites et la

parabole représentent les quantités — -, — -' ou ^' •

Ainsi, si l'on considère une section quelconque de la poutre, les produits des quatre ordonnées qu'elle détermine entre la parabole et les quatre droites l'i", 2' 2", 3' 3'', 4'4'\ ces ordonnées mesurées à l'écbelle des forces, par la distance polaire d (qui est ici le quart de la longueur de la travée) mesurée à l'échelle des longueurs, donnent les quatre moments de flexion qui se produisent dans cette section, lorsque chacun des quatre essieux y passe.

HOTJVELIiE SOLïïnOH DIT FROBLÉHE I. — Le tracé très rapide qui précède permet de résoudre, d'une façon immédiate et complète, tous les problèmes posés au commencement du Chapitre. En ce qui touche le plus important d'entre eux, le problème consistant à trouver la valeur maxima que peut atteindre le moment de flexion, dans une section, donnée pendant le passage du convoi, soit {^fig- A) X une section quelconque. Le moment maximum s'y produit (th. I) lorsque l'un des quatre essieux y passe.

Des quatre ordonnées comprises entre les droites et la parabole, c'est celle partant de la ligne 4' 4'' qui est la plus grande. Donc :

I** C'est quand l'essieu n° 4 passe dans la section considérée qu'il s^y produit le moment de flexion maximum ;

2° Ce moment est égal au produit de l'ordonnée comprise entre

la parabole et la ligne 4' 4'' par la distance polaire rf = 7 •

Si l'on considère la section X' symétrique de X par rapport au milieu de la poutre, c'est l'ordonnée comptée depuis 2^2'' qui est la plus grande, c'est-à-dire que c'est le passage de l'essieu n® 2

dans cette section qui y détermine le moment de flexion maximum qui s'y produit pendant le passage du convoi.

D^une manière générale, ce sont les ordonnées comprises entre le polygone Àa&cB formé par les quatre droites

qui, au facteur d près, déterminent dans toutes les sections le moment de flexion maximum dû à l'action réunie de la charge permanente et du convoi.

S'il n'y avait pas de convoi, la connaissance du moment de flexion exigerait déjà le tracé d'une parabole ; par cette méthode, on obtient le même résultat avec quelques lignes droites à tracer en plus et on a les moments non seulement dans certaines sections, mais dans toutes.

Dans les trois sections passant par les sommets du polygone, le moment est le même que ce soit l'essieu qui répond au numéro de Tune ou de l'autre des deux droites déterminant ce sommet qui passe dans la section. Ces sections sont celles que, sur \^Jig. 46 (p. 364), nous avons désignées par />, q. ...; de sorte que, par le tracé de la figure dont il s'agit, on obtiendrait une vérification ou, si on le voulait, on obtiendrait de suite les verticales des sommets de notre polygone.

Conformément à la remarque (i du § 216 il faut, à cause de la marche des trains dans les deux sens, considérer chacune des seclions telles que X et X', équidistantes du milieu de la poutre, comme supportant le moment de flexion répondant à la plus grande des deux ordonnées maxima relatives à ces deux sections. Pour les sections X et X', c'est celle partant de la ligne 4'4''

Généralement considérons {fig» A) le contour Aa6cB qui donne les ordonnées maxima.

Concevons qu'on rabatte la demi-figure de droite sur celle de gauche autour de CS ; le périmètre-limite ainsi obtenu sera celui à partir duquel il faudra compter l'ordonnée maxima pour chaque section et sa symétrique. Ici ce périmètre Ac^b^K bordé par an liséré est formé partie par la ligne 2' a", partie par les lignes symétriques de 3'3''' et 4'4'^-

Ce sont les produits de la distance polaire d= -^ par les ordon-

nées comprises entre ce contour et la parabole (mesurées à l'échelle des forces), qui donnent les moments de flexion maxima diaprés lesquels on devra calculer les moments d'inertie, dans une des deux moitiés de la poutre, l'autre moitié étant symétrique.

BÉSÏÏMË DE LA MARCHE A SUIVBE DANS LA PBATiaUE. — On voit, d'après cela, qu'on peut se borner à faire ce qui suit :

1® Tracer la demi-poutre AG et le demi-arc de parabole correspondant AS ;

2° Pour trouver les positions des moitiés des droites l'i'*, ..., porter sur la verticale CS les demi-sommes des ordonnées précédemment portées sur les verticales des appuis, à savoir :

Pour les relever directement sur la figure Aq, par le point G d'intersection des côtés extrêmes du polygone funiculaire, poînl qui délermine la verticale du centre de gravité G des charges des essieux, mener la médiane GG© du triangle G H". Elle déterminera les points 1'", 2'", . . ., et ce sont les ordonnées

qu'on devra porter à partir du point G {fig* A) sur la verticale S, ce qui donnera, sur la figure A, les points

3® Sur la verticale de l'appui A et à partir du point A, pour chaque charge telle que 2, porter la plus petite des deux ordonnées A a' et Ba'', précédemment portées sur les deux appuis. On l'a immédiatement sur la figure A^. Pour les charges placées à gauche de la verticale G, ce sont les ordonnées arrêtées au côté extrême de gauche A© a:, et pour celles situées à droite de G, ce sont les ordonnées arrêtées au côté extrême de droite qu'on aura à prendre.

On obtiendra ainsi sur la figure A les points

A (répondant à la verticale 1 de la fig. A©), a', 3'j, A (répondant à 4 de la fig. Aq).

On joindra ces quatre points respectivement aux points

4® Pour chaque section X et sa symétrique, on prendra l'ordonnée comprise entre la parabole et le contour polygonal déterminé par ces lignes.

CAS D'EXCEPTION. — Ces règles simples résolvent le problème toutes les fois que le moment de flexion maximum se produit dans toutes les sections pendant que le convoi tout entier est sur le pont. S'il arrivait que, pour certaines sections particulières, il en fût autrement, elles seraient en défaut pour ces sections. Il importe d'abord d'être avisé par la construction même si l'on se trouve ou non dans ce cas. A cet effet, reprenons la figure tout entière ASB (Jiff. A) et plaçons le convoi dans les deux positions extrêmes où il est engagé tout entier.

Soit la position 1, 2, 3, 4 où l'essieu de queue 1 est sur la culée A, et celle 1', 2', 3', 4' où l'essieu de tête 4' est en B.

L'épure ci-dessus n'est valable, à savoir :

I® En ce qui touche l'essieu n° i que pour les sections comprises entre les verticales 1 et 1', puisque, si l'essieu n® i passe dans une telle section, tout le convoi est nécessairement engagé, tandis qu'il ne l'est plus pour une section quelconque placée à droite de 1';

2** De même en ce qui touche les essieux n°* 2,\3, 4, respectivement entre les verticales 2 et 2', 3 et 3', 4 et 4'.

C'est pourquoi on a eu soin de tracer la droite l'i"' en trait plein entre les verticales 1 et 1' et en pointillé en dehors, les droites 2' 2", 3'3", 4' 4'' en traits pleins respectivement entre les verticales 2 et 2', celles 3 et 3', celles 4 et 4' et en pointillé en dehors de ces intervalles.

Les règles du paragraphe précédent fournissent la solution du problème posé, pourvu qu'elles n'obligent à utiliser dans la détermination du périmètre-limite marqué par un liséré, que les parties des quatre lignes l'i", 2' 2", . . ., marquées en trait plein.

C'est ce qui s'est produit dans l'exemple que nous avons choisi et ce qui se produira le plus souvent.

356 3"" SECTION. -* GHAP. XVIII.

S^il en était autrement, on aurait à faire une partie de l'épure complémentaire que nous allons indiquer d'une façon complète et détaillée.

CAS D'UH GOmrOI EHOAOÉ EH PAETŒ SEULEMEn. — Considérons, par exemple, le convoi dans la position 1', 2', 3', 4', et supposons qu'il continue à cheminer vers la droite, de façon que ses essieux quittent successivement le pont. Ce que nous dirons de cette position extrême s'appliquera naturellement à celle i, 2, 3, 4 en faisant rétrograder le convoi vers la gauche à partir de cette position.

Que le convoi soit engagé en tout ou en partie, il est clair que le moment de flexion [x/ sous l'essieu n° i est donné par l'équation (3) du § 219, en n'y faisant entrer à chaque instant que les charges engagées à cet instant.

Par suite, nous pouvons toujours employer la même méthode :

1° Tracer la parabole [représentée par l'équation (4) du § 219] correspondant aux seules charges engagées,

2° Tracer les droites analogues à celles l'i", a' a'', etc., et qui sont définies parce que leurs ordonnées aux deux appuis sont p./^, ]Xid les \kig et Y-id se rapportant aux seules charges engagées- Nous appellerons ces droites les lignes de fermeture.

L'équation (4) montre que, quand l'essieu il a quitté le pont, la nouvelle parabole à tracer se déduit de celle ASB, que nous désignerons simplement par S, en réduisant toutes les ordonnées de cette dernière dans le rapport constant

Or nous avons pris {Jig» a, PL XXIII) la distance polaire OI= ^

et nous avons fait observer qu'en conséquence la corde BS {fig^ A) est parallèle au rayon Oc. Il en résulte, à cause des triangles semblables Ocl (où 01 = ^ AC) et BCS que

GS = acl = ca.

Ainsi la flèche de la parabole a la même lon^eur que le polygone des forces.

Prenons (/î^. A)

SSj, Ss^î, SfSt,

respectivement égales aux forces

Il est clair que S3 sera le sommet de la parabole qui remplace celle S quand la charge A' a quitté le pont; de même S^ et S| sont les sommets des paraboles répondant aux positions du convoi où les charges se réduisent respectivement aux deux essieux n°' i et 2 et à Tessieu unique n° i .

Le tracé de ces nouvelles paraboles est immédiat.

Soit ^2 un point quelconque de la parabole ASB. Menons la sécante S(32 qui coupe le prolongement de AB en P; joignons ce point aux sommets S3, S2, Si, les points où ces droites coupent la verticale du point ^2 appartiennent aux nouvelles courbes.

Il suffit d'ailleurs de tracer ces courbes, au plus, entre les verticales 1' et B.

En ce qui touche les nouvelles lignes de fermeture qui servent de complément aux parties tracées en plein de l'i", 2' 2'', 3' 3", 4' 4''? on observera que, par définition, les {X/^ ne changent pas, ni, par

suite, les ^, c'est-à-dire les ordonnées de ces droites sur l'appui A.

Ainsi, les nouvelles droites partiront toujours des points i^ 2', 3', 4'« Ceci posé, soit l'i la partie valable de l'i'^; menons l'ordonnée 1^1 jusqu'à sa rencontre en ^i avec la parabole S.

Les ordonnées du contour fermé i'i^«Si' multipliées par d donnent les moments de flexion au passage de l'essieu n? i , lorsqu'il chemine entre les verticales 1 et 1'.

Si le convoi avance infiniment peu vers la droite, l'essieu 4' quitte le pont, et l'ordonnée ^41, au lieu de se compter depuis la parabole S jusqu'à la ligne 11', se comptera depuis la parabole Sa jasqu'à la nouvelle ligne à déterminer. Mais que l'essieu A' soit infiniment près de la culée B, à gauche ou à droite de cette culée, cela ne change qu'infiniment peu le moment de flexion dans une section quelconque, en particulier dans celle faite par le point ^i.

Donc, si du point ^\ où cette verticale (on a pris une verticale très voisine de celle p^ pour éviter toute confusion) coupe la parabole S3, on prend une longueur ^\ i égale à celle Pi i, on aura un point I de la nouvelle ligne à partir de laquelle se compteront les ordonnées. Et, comme cette nouvelle ligne passe toujours au point A ou i', il suffit, pour l'obtenir, de joindre ce point i' à celui 1 qui vient d'être défini. Les ordonnées comptées entre cette ligne et la parabole S3 fourniront les moments de flexion sous l'essieu n° I tant que l'essieu n° 4 sera le seul qui ait quitté le pont, c'està-dire jusqu'à ce que celui n® 3 arrive en B. Traçons donc une verticale lyi distante de i^'^ d'une longueur égale à Técartement des essieux n®* 3 et 4, et les ordonnées du périmètre fermé ^\ 1 1 y< p', donnent les moments de flexion sous l'essieu n^ i, tant qu'il demeure compris entre les ordonnées extrêmes de ce périmètre.

A partir de ce moment, l'essieu n° 3 quitte à son tour le pont et les ordonnées se comptent depuis la parabole S2. Donc, sur la verticale de y<, à partir du point ^\ où cette verticale (pour plus de clarté, on a pris une verticale un peu voisine qui est tracée en traits discontinus et points) coupe la parabole S2, prenons une longueur y'^ i = yi i . Nous déterminons un point de la nouvelle droite de fermeture; joignant ce point au point A ou i', on aura cette ligne. Elle sera valable, tant que l'essieu n^ 3 n'aura pas quitté le pont. Traçons donc une verticale 8| i à une distance de y, i égale à la distance entre les essieux n"** 3 et 2, et les ordonnées du périmètre fermé y,ii8<y, fournissent les moments de flexion sous l'essieu n^ i pendant que les deux essieux n"* 3 et 4 ont seuls quitté le pont.

A partir de là, l'essieu n" 2 le quitte à son tour et les ordonnées se comptent depuis la parabole Sj. Donc, du point 8, où la verticale 8| (un peu déplacée pour la clarté du dessin) coupe la parabole S|, prenons 8'^ i = 8| i, nous aurons un point i de la nouvelle droite à partir de laquelle se comptent les ordonnées. Ce point doit, comme vérification, se trouver sur AB, et c'est à partir de cette ligne elle-même que se comptent les nouvelles ordonnées; car l'essieu n® i restant à présent seul sur le pont, on a, par définition même, |jl/^ = [x/^ = o.

Ainsi, nous avons la représentation complète du moment de flexion sous l'essieu n° i pendant tout son parcours, que le train

MOMENTS FLÉCHISSANTS. SSq

soit engagé en totalité ou en partie, par les ordonnées des diagrammes

AiPjSA; p'iiiTiP'i; T',ii5,Y't; S'^iB.

Pour l'essieu n® 2, la droite 2^2'' et la parabole S sont valables jusqu'à la verticale 2' qui coupe la parabole S en ^2 et la parabole Sj en Pj' Prenons p!, 2 r=r ^32.

Joignons le point 2' de la verticale de Tappui A au point 2 qui est ainsi déterminé.

Prolongeons cette ligne jusqu'à sa rencontre avec une verticale y2 ^ distante de ^2 2 d'une longueur égale à l'écartement des essieux n®* 3 et 4' Le diagramme P222Y2 P'2 fournit les moments de flexion sous l'essieu n® 2 quand celui n° 4 a seul quitté le pont. Soit y'^ le point où la verticale ^2 coupe la parabole S2 ; prenons y^ 2 r= yg 2. Joignons le point 2 ainsi obtenu à 2'; la droite qui en résulte doit passer par le point B; car l'essieu n° 3 ayant quitté le pont, on a pLi«/ = o. Ainsi les diagrammes relatifs à l'essieu n° 2 sont

«t^PtSa,; Pi 12 Y2 Pi; Ti^B-

Pour l'essieu n® 3, la parabole S et la droite 3' 3'' sont valables jusqu'à la verticale 3' qui coupe la parabole S en ^3, et celle S3 en P3; prenons ^'^3 = P33, et joignons le point 3 ainsi déterminé

La ligne ainsi obtenue doit, comme vérification, passer parle point B.

On compléterait exactement par le même procédé l'épure en ce qui touche les essieux n"" 2, 3, 4 vers la gauche. Pour avoir les sommets des nouvelles paraboles, au lieu de prendre SS3==4> 8582^^3, S2S< = 2, il faudrait prendre 883=^1, 8382 = 2, 8281 -= 3 et les nouvelles lignes de fermeture passeraient toujours par les points i'', 2", 3", 4'' ou B de la verticale de B.

APPUGATIOH HïïMÉRiaUE. — DISPOSITIOH PRATiaUfi DE L'ÉPUBE. — Comme exemple, considérons une poutre de 36"* de portée parcourue par le convoi formé par la^î^. 5o (p. 339). Les cinq charges sont

Pirr.4«,35, P, = 4%o5, P3=6',45, P4=6',3, P5=r6S85.

'36o 3* SECTION. — GHÀP. XVIII.

Supposons que la charge permanente soit de Soo'^s, soit ^ = o*,3 par mètre, en sorte que

o*,3 xi8 = 5*,5.

Nous ne représenterons {fig* A, PL XX1V\ suivant les règles du § 222, que la moitié AC de la longueur de la travée.

Nous prendrons 5™™ par mètre comme échelle des longueurs et 2™™, 5 par tonne comme échelle des forces.

Comme nous Tavons expliqué, si Ton prend le quart de la longueur de la travée comme distance polaire, la flèche CS de la parabole à tracer a pour longueur la charge totale des essieux, plus la demi-charge permanente.

Prenons donc cette ligne CS comme polygone des forces. La tangente en A à la parabole est une parallèle à la droite menée de S au milieu de AC. On peut donc immédiatement tracer la courbe.

Cela fait, plaçons le convoi dans la position

Tessieu de queue coïncidant avec iS; menons une perpendiculaire sur le milieu I de 1 S et prenons, sur cette perpendiculaire, 10 égal au quart de la longueur de la travée; construisons le polygone funiculaire 01.2,3.4>3G. Soit \" le point dUntersection du dernier côté avec 1 S.

Construisons la médiane du triangle Gl i^^ et portons sur 1 S, à partir de 1, des longueurs égales aux ordonnées qu^elle détermine sur les sommets. Nous obtenons, sur cette ligne 1 S, les points

Sur la verticale de Tappui A, portons les ordonnées comprises entre les sommets placés à gauche de G et le côté extrême 1 G et celles comprises entre les sommets placés à droite de G et le côté extrême G5.

Nous déterminerons les points

(b) i' ou A, a'; 3', 4' et 5" ou A.

Joignons les points correspondants (a) et (b), nous formons le

contour polygonal

AapS"'.

MOMENTS FLÉCHISSANTS. 36l

Ce sont les ordonnées comprises entre ce contour et la parabole qui, mesurées à Téchelie des forces et multipliées par le quart de la longueur de la travée, donnent en tonnes-mètres le moment de flexion maximum en chaque section de la poutre et sa symétrique.

On vérifie d'ailleurs que, pour toutes les positions du convoi fournies par le tracé, le convoi est engagé tout entier, de sorte qu'il n'y a pas à recourir partiellement au tracé complémentaire du paragraphe précédent.

En effet, entre 3'" et p, c'est l'essieu n° 3 qui, en passant sur chaque section, y détermine le moment maximum ; de p en a, c'est l'essieu n° 4- De a en A, c'est l'essieu n** 5, mais, pour ce dernier lorsque le convoi marche de droite à gauche de façon que cet essieu soit en tête et à gauche, parce que la ligne (5) vient du rabattement de la demi-figure de droite, comme au § 222. Donc ici encore, pour toutes les sections, le convoi est engagé tout entier.

Pour la section X, l'ordonnée pq est égale à o",o55; donc à l'ëchelle de o",oo25 par tonne, cela fait 22^

D'où le moment de flexion maximum dû au passage du convoi exprimé en tonnes-mètres est

Il se produit au passage de l'essieu de télé n° 5.

Problème II. — MOHEHT HAUHUM RÉPONDAIIT A UNE POSITION DOHHÉE DU CONVOI. — Il s'agit : i** de déterminer la section où se produit le moment maximum pour une position donnée de la surcharge; !i® de trouver la valeur de ce moment.

Ce problème, comme ceux qui vont suivre, dépend, ainsi qu'i la déjà été observé (§ 214), de la nature de la charge permanente.

Cas où.il n'y a pas de charge permanente on continue. — La solution graphique de ce cas auquel on peut approximativement ramener le cas général a déjà été donnée au § 194.

En traçant {PL XXI, fig, 93, gS) le polygone funiculaire 8M'.2'.3'. . .7' et sa corde 7'.8', le moment de flexion, dans une section quelconque de la poutre AB, est l'ordonnée du polygone comptée depuis la corde \ on voit que l'ordonnée maxima est ici en 3. On voit de plus que, pour des charges isolées comme celles que suppose cette figure, Tordonnce maxima ne peut être qu'en un sommet du polygone, à moins qu'un côté tel que 3'. 4' soit parallèle à la corde ; alors le moment serait constant dans toute la partie de la poutre comprise entre les sections 3 et 4 et cette constante représenterait le maximum du moment fléchissant.

Ainsi, le maximum aurait lieu, en particulier, sous les charges 3 et 4. On peut donc dire :

Théorème I. — Le moment fléchissant maximum dû à une charge discontinue donnée se produit nécessairement au droit de l'une d'elles.

Ce théorème peut aussi être établi analytiquement. On a (§ 193)

d'où

dix

j=.2p.-.2». -iSf-D'"-

Ici l'on se donne la position de la charge, c'est-à-dire les valeurs des abscisses a, et il s'agit de trouver l'abscisse x de la section où se produit le moment fléchissant maximum.

Il faut, pour que [jl devienne maximum, que sa dérivée — t par rapport à x change de signe, en passant du positif au négatif, ou que l'effort tranchant change de signe, en passant du négatif au positif.

Lorsque les charges sont formées uniquement de forces concentrées, l'efibrt tranchant est (§ 195) constant pour toutes les sections comprises entre deux forces consécutives ; donc t ne peut changer de signe entre deux sections, que si ces sections comprennent une charge placée entre elles, ce qui établit la proposition susmentionnée.

On peut déduire de là une autre proposition.

Soit Pf la charge sous laquelle se produit le maximum du moment de flexion, en d'autres termes soit x = a/ Tabscisse de cette section. Pour une section un peu à gauche de celle-ci, la formule ci-dessus donne

n étant le nombre total des charges.

Pour une section un peu à droite

on doit avoir d'où

— T^o et — t'Co,