CHAPITRE XX

cas ou le convoi porte sur une poutre a deux appuis par l'intermédiaire de poutrelles transversales.

CAS OU LE GOHYOI PORTE PAR L'INTEEIIÉDIAIRE DE POUTRELLES TRAH8- VER8ALE8. — o,- Moment fléchissant. — Supposons {fig^ 56, p. 384) un convoi formé, par exemple des charges Pi, P2, P3, P4, portant, sur une poutre longitudinale AA', non plus directement, mais par l'intermédiaire de pièces de pont ou poutrelles transversales A, 6, c, rf, A'. Proposons-nous de déterminer, à un instant quelconque par exemple, lorsque le convoi occupe la position indiquée sur la ligure, le moment fléchissant dans une section donnée X que nous supposons comprise entre les poutrelles c et rf. Ce que nous dirons des moments de flexion s'étendrait facilement aux efforts tranchants.

Dans ce cas, chaque force telle que P2 porte sur la poutre longitudinale par l'intermédiaire des deux poutrelles limitrophes b et c. Il faut donc la remplacer par ses deux composantes ts^x ^t js,^ appliquées en ces deux points; une décomposition analogue est à faire pour chacune des forces Pi, Ps, P4. Et le moment fléchissant en X sera la somme des moments relativement à ce point de toutes les forces, y compris la réaction de l'appui A, qui existeront à sa gauche après qu'on aura ainsi remplacé chaque force telle que P2 par ses composantes taT^, js\.

Ce moment pourra donc être regardé comme composé :

i^ Du moment de la réaction R de l'appui A;

2^ De la somme des moments des composantes 77/, ïït^ de toutes les forces P|, P^, placées à gauche de la poutrelle c la plus voisine de X du côté gauche ;

3^ Des composantes rs^ suivant cette même poutrelle des forces P3 comprises entre c et X. (Quant aux composantes gt, des forces P3

384 3* 8BCTI0N. — CHAP. XX

suivant rf, en vertu delà définition même du moment de flexion, elles n'interviendront pas, n'étant pas à la gauche de la section considérée.

Si Ton décompose les forces P,, P2, Pj, P4 en d'autres, comme nous venons de l'indiquer, on ne change ni la somme de leurs projections sur un axe, ni la somme de leurs moments relativement à un point. Et comme, pour déterminer les réactions R des appuis, il suffit de recourir au théorème des moments, on conclut que ces réactions sont les mêmes que si les poutrelles n'existaient pas. Le moment de la réaction par rapport au point X formant le terme i^ indiqué ci-dessus n'est donc pas modifié par la présence des poutrelles. Par une raison analogue, les termes 2° ne le sont pas. Il n'y a que le ou les termes 3^ qui soient modifiées.*

Fig. 56.

aR'

Supposons, pour abréger le langage, qu'il n'existe qu'une seule charge P3 entre les deux poutrelles consécutives c et ûf comprenant la section X : sans la présence des poutrelles, le moment de P3 par rapport à X entre tout entier dans l'expression du moment de flexion ou n'y entre pas du tout, suivant que X est à droite de P3, (comme sur la figure), ou à sa gauche; par suite de l'existence des poutrelles, le moment de flexion comprend toujours le moment de rs^. Ainsi, toute la modification consiste en ce que le moment fléchissant tel qu'il existerait sans la présence des poutrelles, se trouve, si X est à droite de Pg, diminué du moment de xs'^ par rapport à X et, comme ce moment est positif, d'après nos conventions, le moment de flexion se trouve réellement un peu diminué; si X

est à gauche de P3, le moment de flexion est augmenté du moment de xa^y lequel est négatif; il est donc encore diminué.

Si enfin la section X coïncide avec une poutrelle, avec celle d par exemple, le moment de bj^ étant nul, le moment de flexion n'est pas modifié. Ainsi :

Théorème. — Lorsque des charges portent sur une poutre à deux appuis simples par l'intermédiaire de poutrelles transversales : i^ la présence de ces poutrelles ne modifie pas le moment fiée hissant dans les sections passant par leurs âmes; 2° elle diminue un peu les moments fléchissants relatifs aux autres sections.

b. Efforts tranchants. — On verrait de même que la présence des poutrelles a pour efTet de faire retrancher la force m'^ de la somme des forces qui, sans leur présence, q,onsti tuerait relFort tranchant, et, comme les forces descendantes sont comptées négativement, l'effort tranchant se trouve augmenté de ro, (s'il était négatif, sa valeur absolue se trouverait, en général, diminuée). Et ceci est vrai pour toutes les sections sans exception, aussi bien celles qui sont infiniment voisines des poutrelles que les autres.

L'erreur commise en faisant abstraction des poutrelles est peu importante. Comme le problème à résoudre consiste à déterminer les moments de flexion et efforts tranchants maxima (surtout les premiers) dans un certain nombre de sections, on a intérêt, quand rien n'oblige à procéder autrement, à adopter, comme sections, celles qui passent par lésâmes des poutrelles, parce qu'alors les moments de flexion sont exactement les mêmes que si les poutrelles n'existaient pas. On les portera en ordonnées dont on reliera les extrémités par des droites; les ordonnées du contour polygonal ainsi obtenu fourniront, pour les sections intermédiaires, des moments de flexion suffisamment approchés. La méthode du § 233 donne le résultat directement.

EXPBESSIOH EUGTE DËSMOHEHTS FLÉGHISSAIITS ET EFFORTS TRAHGHAHTg, EH ATAHT É6ABD A LA PRÉSENCE DES POUTRELLES. — a. Moment fléchissant. — Supposons pourtant qu'on veuille déterminer [fig- 56,

p. 384) le moment fléchissant exact relatif à une section X d'abscisse X d'un système de charges P<, Pj, P3, . . ., dont les abscisses soient ai, a2, a^, . . ..

Nous appelons toujours P l'une quelconque des charges et a son abscisse et nous désignons par les lettres 6, c, rf, ... les abscisses des poutrelles marquées par ces mêmes lettres. La section X est comprise entre les poutrelles c et d.

Le moment fléchissant cherché peut être décomposé en deux parties :

1" La partie qui |pro vient des charges agissant en dehors de l'espace crf, soit à gauche de c, soit à droite de rf.

2® Celle qui provient des charges agissant entre c et ûf.

La première (§ 226) est exactement la même que si les poutrelles n'existaient pas.

Donc, si nous appliquons aux forces qu'elle comprend la formule générale des moments (§ 193), on aura pour cette partie

l désignant toujours la longueur de la poutre.

Soit P une force comme celle P3 placée entre c et rf, qu'elle soit d'ailleurs entre c et X ou entre X et rf. La réaction r qu'elle fait naître sur l'appui A est la même (§ 227) que si les poutrelles n'existaient pas, en sorte que

Si l'on décompose la force P en deux forces verticales m et tî/, appliquées respectivement en c et d^ la composante m sera

La force P fournira dans l'expression du moment fléchissant deux termes dont l'un est le moment de r et l'autre le moment de Gjpar rapport au point X; ces deux termes sont donc

rx — Tîj(jr — c)

OU

/ d—c ' ' \d—c II d~ c

et, s'il y a un nombre quelconque de forces P entre les points c et d^ on aura

(îiî -?)!:'"- ^T^S"-

L'expression complète du moment fléchissant est donc

L'effort tranchant, qui s'obtient par un raisonnement analogue ou en prenant la dérivée de [a changée de signe, est

-■îi'"-il'-^'-"-l-{^-1ai)

■OBEIT rLÉCrnSSAUT MAXnnJM DAHS uns SEGTIOI DOMÉE PEHDAIT LE PA8SA&E D'UH GOUYOI. — Soient ai la distance d'un essieu quelconque à l'essieu n^ 1 et .2 la distance variable de celui-ci à la culée gauche,

en sorte que

qui s'applique aussi k i=i si l'on fait ai = o. On aura

Si le train se déplace sans qu'aucune roue franchisse l'une des

deux poutrelles limitrophes à la section X ou Tun des appuis, toutes les sommes S qui entrent dans cette expression conserveni leurs valeurs ; x est aussi une constante. Donc [x croîtra ou décroîtra suivant que le coefûcient de z est positif ou négatif. Il ne pourrait donc être maximum dans cette position du convoi que si le coefficient de ^ était nul. Mais alors [jl resterait rigoureusement constant tant qu'un des S ne changerait pas, c'est-à-dire tant qu'aucune roue ne passerait sur l'une des deux poutrelles limitrophes à X ou sur une culée, ce qui veut dire que, si [a passait par un maximum, sans que cette dernière circonstance se produisît, ce maximum se conserverait sans changement jusqu'à ce qu'elle se produisît.

On montrerait d'ailleurs, comme pour les poutres sans poutrelles, que le maximum ne se produit pas au passage d'une roue sur une culée.

Observons enfin que ces résultats subsistent, quelle que soit la charge permanente, suivant l'observation du § 214. Ainsi :

Théorème. — Quelle que soit la charge permanente dUw pont porté par des poutres à deux appuis simples reliées entre elles par des poutrelles transs^ersales, le moment fléchissant maximum que fait naître y dans une section donnée d^ une poutre principale, le passage d' un convoi qui porte, sur elle, par l'intermédiaire des poutrelles, se produit nécessairement à l'instant où un essieu franchit l'une des deux poutrelles limitrophes de la section donnée.

D'après cela, pour avoir le moment fléchissant maximum dans une section X {Jig- oj) comprise entre deux poutrelles donnée> c et rf, il faudrait : i® déplacer successivement chacun des essieux du convoi sur la poutrelle c et déterminer le moment de flexion correspondant dans la section X; a° faire la même opération pour la poutrelle rf; 3** prendre le plus grand de tous les moments en nombre Jini obtenus ainsi et y ajouter le moment dû à la charge permanente.

Le moyen qui nous semble le plus rapide pour arriver à cette Gn est le suivant :

Considérons {Jig. 5^, p. 389) trois poutrelles i, c, d.

Le train étant placé de façon que l'essieu n° i se trouve sur la

poutrelle c, on peut relever sur un polygone funiculaire des charges mobiles, tracé une fois pour toutes, les quotients par la distance polaire que nous appellerons ici 8 au lieu de rf, pour ne pas confondre avec l'abscisse de la poutrelle rfet cette poutrelle elle-même :

i^ De la somme des moments relativement à Tappui A de toutes les forces placées à gauche de l'essieu n®«i ou de la poutrelle c sur laquelle cet essieu est placé. Soit^c* cette longueur;

a** De la somme des moments relativement à l'appui B de toutes les forces placées à droite de cette poutrelle. Soit Zd cette longueur;

ce

Ai-

3° De la somme des moments relativement à la poutrelle d de toutes les charges qui, dans la position définie du convoi, se trouvent placées entre les poutrelles c et d. Soit Ud cette lon-

gueur ;

4** De la somme des moments relativement à la poutrelle b des essieux compris entre elle et celle c. Soit s^cî celte longueur.

On peut, pour ces relevés, utiliser le polygone funiculaire (Jig.Aoj PL uVXIII) tracé une seule fois et à part, dont nous nous sommes déjà servi dans le cas où il n'y a pas de poutrelles.

S'il s'agit, par exemple, de l'essieu n° 3, prolongez le côté 4.3 vers la gauche à une distance, prise aussi à gauche de la verticale 3, égale à la distance qui sépare la poutrelle c de l'extrémité

gauche de la poatre ; parle point ainsi obtenu, menez une verticale; le segment qu^elle intercepte entre les deux côtés 1 Ao et 4.3 prolongés est l'ordonnée yd*

On aurait d'une façon analogue l'ordonnée Zd relative à Tappui de droite.

Enfin, à la droite de la verticale 2, menez une autre verticale qui en soit distante de l'écartement des poutrelles c et rf; l'ordonnée qu'elle détermine entre le côté 3.4 prolongé et le côté qu'elle rencontre est égal à Uci\ de sorte que, si la verticale tracée rencontre 3.4, cela prouve que Ud = o\ c'est le cas où, le train étant placé de façon que l'essieu n° 3 soit en c, il ne tombe aucun essieu entre les poutrelles c et rf.

Alors il est clair que Ud = o et la troisième opération est inutile.

De même on relèverait Vd*

Ceci fait {fig» 67, p. 389), portons de haut en bas j^ci sur la verticale de l'appui A, nous obtenons un point A'; portons de même Zd sur la verticale de l'appui B, nous aurons un point ly. La droite A'B' coupe les verticales des poutrelles 6, cetrfen i', c'et rf'.

A partir de d! portons de haut en bas ûf </' égal à Ud et à partir de y portons de même de haut en bas b'b" = Vd-

L'ordonnée de la droite c' b" représente le moment de flexioD dans n'importe quelle section X' comprise entre les poutrelles b et c lorsque l'essieu n° i(dans l'exemple choisi l'essieu n** 3) est posé sur la poutrelle c, et l'ordonnée de la droite c^ d" représente, pour la même position du train, les moments de flexion de toutes les sections X comprises entre les poutrelles c et d.

S'il y a /i essieux, on a ainsi à tracer, entre deux poutrelles consécutives quelconques c et <i, un nombre 2/1 de droites; on les obtient, comme on le voit, très rapidement.

Pourchaque section, c'est l'ordonnée la plus grande de ces droites répondant à cette section qui donne rigoureusement le moment de flexion maximum déterminé par le passage du convoi, et il ne reste qu'à y ajouter le moment de flexion dû à la charge permanente.

Pour justifier cette règle, il suffit de se reporter à la formule (i). En ajoutant et retranchant la quantité

COKVOl PORTANT SDR DNE PODTRB A DEUX APPUIS. îgi

elle devient

(4) i.-i^i;i>"+fip('-.)-i5^('ip— ^ip^

Divisons les deux membres par la distance polaire S du p gone funiculaire des charges construit une fois pour toutes, COi celui de la figure Ao (PL A^ATIll), et concevons qu'on consti d'une part la droite

d'autre part celle

qu'on peut encore écrire, en appelant "g- l'abscisse de la résuit des charges comprises entre les poutrelles c et d, lorsque l'es n" t'est en c,

d'où

On voit que

^"-ll":

Donc

3* SECTION. — CH*P. SX.

onc la droite (8) admet bien les longueurs yd et ^d comme

innées sur les verticales des appuis.

'ailleurs, l'équation (9) montre que, sur les verticales des pon-

es c et d, soit pour x ^ c el X ^= d, on » respectivement z = q,

"ci-

a construction se trouve ainsi justifiée en ce qui touclie la

ec'rf".

OUF lajustifier en ce qui touche la ligne c^l/', remplaçons, dans

irmule (t), les abscisses ^ et c des poutrelles portant respecti-

ent ces noms par celles c et & des poutrelles qui les précèdent,

lura .

joutons et retranchons la quantité ~ /~ ^ P*'

en appelant -f l'abscisse du centre de gravité des essieux cornentre b et c, lorsque l'essieu n" i est en c,

i l'on tire, pour toute section comprise entre b et c, e là on déduit la construction indiquée.

TOST TBAHGHAin MAimini OU Uniiail DANS m» SEGTIOH formule (3) du § 238 peut s'écrire

OU, à cause de (7),

S'il s'agit d'une section comprise entre b et d

Si, au lieu de prendre arbitrairement la dislance polaire 0 du polygone funiculaire construit d'après les règles du paragraphe précédent, on la prend en rapport simple avec la longueur l de la poutre, par exemple, égale au quart de cette longueur, ainsi que nous avons été conduit à le faire, dans le cas où il n'y a pas de poutrelles, on aura :

1° Pour une section comprise entre les poutrelles consécutives c et dy lorsque l'essieu n° i repose sur la poutrelle c,

T = -^ ira - ^cO + 5-i- -j

et pour les sections comprises entre les poutrelles consécutives b etc, pour la même position du convoi,

où les longueurs j'c/, Zd^ iid et Vci étant connues, on a immédiatement les valeurs de t. Comme l'abscisse x de la section consi-

(lérée n'entre pas dans les formules, ces équations représentent deux droites horizontales. S'il y a n essieux, on aura ainsi in horizontales à tracer entre chaque paire de poutrelles consécutives. Les unes peuvent être d'un côté de AB, les autres du côté opposé. Dans ce cas, l'horizontale la plus élevée et l'horizontale la plus basse donnent, pour toutes les sections comprises entre chaque paire de poutrelles, les valeurs extrêmes (positives ou négatives) de l'effort tranchant que le passage d'un convoi y détermine.

Il ne reste qu'à y ajouter l'effort tranchant dû à la charge permanente.