CHAPITRE XXI

CONSTRUCTION DES MOMENTS d'oRDRE SUPERIEUR DES FORCES PARAL- LÈLES DONT LES POINTS d'aPPLICATION SONT SITUÉS DANS UN MÊME PLAN, PARTICULIÈREMENT DES MOMENTS d'iNERTIE DES AIRES PLANES.

DÉFOnnON ET DÉTERMDIATIOH aRAPHiaUE D£8 H0MEIIT8 S'9BDBE SUPÉ- BŒUR aUI rOMT L'OBJET DE CE CHAPITRE. — Nous avons défini (§ 124) les moments des forces parallèles dont les points d'application sont situés dans un plan, relativement à une droite de ce plan, les produits de ces forces par leurs distances à la droite, et nous avons vu que le moment ainsi défini de la résultante d'un système de forces est égal, si l'on fait certaines conventions sur les signes des moments, à la somme algébrique des moments de ses composantes. Nous avons, de plus, donné le moyen de construire graphiquement le moment de la résultante d'un système de forces parallèles dont les points d'application sont situés dans un plan, relativement à une droite de ce plan. Ainsi, dans les Jig. 93 et gS, les forces données supposées ramenées, comme on peut toujours le faire, dans le plan qui contient leurs points d'application, ont

pour lignes d'action

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et pour grandeurs

Le moment de la résultante, relativement à la ligne a^S, de toutes celles qui sont à gauche de a^ est le produit de l'ordonnée ab par la distance polaire; le moment de la résultante des forces 1, % 3, 4, 5, relativement à a^, serait le segment de que les côtés extrêmes du polygone funiculaire de ces cinq forces déterminent sur la verticale a^, multipliée par la distance polaire et ainsi de suite.

Soient généralement

*i? Pjj Ps» P*> •••» P/> •••» P«

M0MSNT8 d'ordre SUPERIEUR. $96

des forces données ayant pour lignes d'action les lignes

de la fig, 93 et pour grandeur les lignes

ii 2) O) 4) • • •

de \difig, 93.

Soient

^l> ^t> ^i» '^tti • • • > ^/î • • • T ^n

les distances de leurs points d'application à la droite ajî : si le produit ba X ^ de la ligne ba par la distance polaire d est le moment de la résultante obtenu graphiquement, ce produit représente aussi la somme des moments des composantes, c'està-dire que l'on aura

(a) ba X rf = V^Xi -f- Pi^Tj -^ V^x^ -i- . . . -i- P^ar».

\j^^Jig. 93 et 98 ne fournissent pas seulement le second membre de cette égalité, mais aussi, si on le veut, chacun des termes qui le composent.

Veut-on avoir le terme Ps^Tj, on prolongera, jusqu'à la verticale ttjâ, les deux côtés du polygone funiculaire issus du sommet 3'; on interceptera ainsi, sur la verticale a^, une longueur 3o qui, multipliée par rf, sera(§ 118) le produit cherché. Supposons qu'on prolonge ainsi jusqu'à la verticale a^ tous les côtés du polygone funiculaire ; on interceptera sur cette ligne des segments

II» 2i, 3i, 4i> 5i, 61, 7i, 81,

que nous appellerons

et l'on aura

{h) PjXc?=Pia7i, P.J X c? — Pj^Tj, .. ., Pg X û? = Pga^g.

Concevons : 1° qu'on regarde ces longueurs PJ comme un nouveau système de forces parallèles agissant aux points d'application.

1, 2, 3, 4, 5, 6, B, A des forces données ;

2" Qu'on porte les forces , en leur assignant des sens différents, suivant que les forces données tendent à faire tourner leurs bras de

levier dans un sens convenu ou en sens contraire, sur une verticale quelconque, de façon à former un nouveau polygone des forces analogue à celui représenté en ab sur \^ fig, gS;

3° Qu'on construise un polygone funiculaire relatif à un pôle distant, d'une longueur égale à <i de la verticale dont il s'agit.

La verticale a^ découpera, sur ce nouveau polygone funiculaire (que nous ne traçons pas pour ne pas compliquer la figure), un segment analogue à ba et que nous appellerons bidi. On aura

bi El X c? — P'i :ri -h P'ji xj 4- . . .

ou, en vertu des expressions (6) des forces P-,

(a') biai XG*--P,a:2-^P,a7ii-^-P3a:|-+- ... =2P/a:?,

c'est-à-dire que la ligne biBi représentera, au facteur d^ près, la somme des produits des forces données par les carrés des distances de leurs points d'application à la ligne ajî. Cette somme est ce qu'on appelle le moment d^ inertie des forces données relativement à cette ligne.

De même que le polygone funiculaire de la Jig. 93 donne non seulement le second membre de l'équation (a), mais encore séparément chacun des termes de ce second membre, de même le nouveau polygone funiculaire dont nous venons d'indiquer le tracé donnerait chacun des termes qui composent le second membre de l'équation (a). Appelons

Pt pff p" i> * 2» ' 3 j • • •

ces termes, de façon que

En les regardant, à leur tour, comme les grandeurs d'un système de forces parallèles agissant aux points d'application des forces données et cherchant graphiquement la ligne représentant le moment de leur résultante, on trouverait une ligne b^a^, telle que

biRs X d — V\ x^ -+- V\x^ -V- V\x^ — . . . ou

b^as X d^^ P,irJ-T P2:rJ-^PjirJ-t-...= SPa^s,

c'est-à-dire qu'on obtiendrait la somme des produits des forces données par les cubes des distances de leurs points d'application à

MOMENTS d'ordre SUPÉRIEUR. 897

la ligne a^. En poursuivant ainsi, on obtiendrait généralement la construction graphique de l'expression

et, en même temps, la construction graphique de chacun des termes composant cette somme. Soient

Q.I1 Qîj Qa» • • ■ j Q« ces termes, de telle façon que

Si Ton regarde maintenant

Qi> Qî> Qa» ■ • •> Q«

comme des forces parallèles agissant non plus aux points d'application des forces données, mais en des points arbitrairement choisis sur les verticales de ces points, par exemple, en Çt, q^^ g^, ... et suivant des directions perpendiculaires aux forces données, soit, sur la figure, parallèlement à une ligne horizontale quelconque, on pourra trouver graphiquement le moment de leur résultante par rapporta cette ligne. Soit \t-h^i x d, où [ji/+i est une ligne qu'on relève sur la figure à ce moment ; si

désignent les distances des points d'application

Çit Çij Çzi • ' •

des forces Qi, Q2, Qs, • • • données à la droite horizontale considérée, on aura

ou

En continuant à opérer sur les forces, dans la nouvelle direction qui vient de leur être donnée, comme on a opéré sur elles dans leur direction première, on trouverait successivement, et par des constructions graphiques, les quantités

(jiA,^./X^A-^'=SP,2r*7^

Cette quantité iVix^yj est ce qu'on peut nommer un moment de C ordre k -\-l des forces données. Si la distance polaire d est l'unité de longueur, la valeur numérique de ce moment est représentée par la longueur [jl^j./ mesurée à l'échelle des forces.

S'il est incommode de prendre la distance polaire rf égale à l'unité de longueur, on la prendra égale à un multiple ou un sous-multiple simple de cette unité, de façon que Je facteur rf*^' par lequel il faut multiplier [jl^^/ pour avoir le moment d'ordre k-\-l^ soit un nombre simple et facile à calculer.

Dans la pratique, on ne fait guère usage que des moments des deux premiers ordres. Ceux du premier ordre sont de la forme

ce sont les moments statiques ou les moments des forces données relativement à une droite a^, tels que nous les avons définis au § 124. Ceux du second ordre sont de l'une des deux formes

SP/arJ ou 2P/X///.

Le premier est le moment d^ inertie relativement à la droite a^. A.insi l'on nomme moment d'inertie d'un système de forces parallèles dont les points d'application sont situés dans un plan, relati* vement à une droite de ce plan, la somme des produits de ces forces par les carrés des distances de leurs points d'application à la droite. On donne au moment d'inertie d'une force le signe de cette force. Si l'on pose

r est une longueur que l'on nomme le rayon de gyration du système des forces données relativement à la droite a^.

Remarque. — On voit que la construction graphique des moments des divers ordres, et en particulier celle des moments statiques et des moments d'inertie, n'offre aucune difficulté et découle d'une façon très remarquable de l'emploi du polygone des forces et du polygone funiculaire.

Lorsque les forces données, au lieu d'être en nombre fini, sont infiniment voisines, les polygones funiculaires sont remplacés par des courbes. On devra dans ce cas, si l'on veut opérer graphiquement, remplacer les forces données par un nombre fini de forces assez voisines les imes des autres pour pouvoir approximativement

MOMENTS d'ordre SUPÉRIEUR* 899

tenir lieu des forces données ou bien chercher l'expression analytique du moment à déterminer et construire ensuite cette expression.

Nous donnerons plus loin quelques exemples indiquant la marche à suivre ; mais auparavant nous allons faire une étude plus complète des moments d'inertie si usités dans les applications de la Mécanique à Tart des constructions.

Théorème I. — Le rayon de gy ration d'un système de forces relativement à un axe quelconque est égal à f hypoténuse d'un triangle rectangle ayant pour côtés de F angle droit: i° le rayon de gy ration relativement à un axe parallèle à celui que ron considère et passant par le centre des forces parallèles données; 2° la distance entre ces deux axes.

En effet, soient (^fig- 95, PL XXl') xi les distances des points d'application des forces données à un axe ZZ' ; soient x\ ces mêmes distances à un axe Z« Z', parallèle à ZZ' et passant par le centre G des forces parallèles données; enfin soit a la distance entre ces deux axes. On aura

Xl ^^ Xi -^ CLy

d'où

OU, en mettant en facteur la constante a,

2P/x^ = 2:P;ar;«-4-aî2P/-F2a2P/ar;;

mais, en vertu du théorème sur les moments des forces parallèles, 2P,,r] =: o; car cette quantité est égale à SP/ multiplié par la distance du centre des forces parallèles à Z« Z', : or cette distance est nulle, puisque Z4 TI^ passe par ce centre. Donc

SP.:r* SP-:r'ï

c'est-à-dire que le carré du rayon de gyration relatif à ZZ' est égal au carré du rayon de gyration relatif à Z| Z', plus le carré de la distance entre ZZ' et Z| Z',, ce qui démontre le théorème énoncé.

Théorème II. — Si, sur les diverses lignes issues d^ un point quelconque d^un plan, on porte des longueurs inversement proportionnelles aux rayons de gyration relativement à ces lignes^ le lieu des extrémités de ces longueurs est une ellipse.

Soient {Jig- 94, PL XJCl) C un point quelconque du plan ; Cx', Oy deux axes de coordonnées rectangulaires et C m une droite quelconque formant un angle a avec Taxe Ox' ,

Le moment d'inertie d'une force P/, relativement à la droite Gw,

est, en désignant par x\ ely] les coordonnées de son point d^applî-

cation,

Pi- {y'i cos a — x'i sin a)*,

« et le moment d'inertie de toutes les forces données relativement à

Cm sera

2 P/ {y'i cos a — x) sin a )*.

Si donc on appelle r le rayon de gyration relatif à cette ligne, on

aura

r* 2 ?/ ^ 2 P/ {yr'i cos a — x'i sin a)* OU

r«2P/ = 2P/7;«cos«a-^2P,x;«sin«a — 2SP/j?/j;siDacosa.

et, en posant

a'*SP, = vp.j.;.3, 6'2 2P, = 2P/7;«, c'»2P/ = SP/x)/,.,

(A) /•* ^ b'^ cos* a -^ a'* sin^a — ac'* cosasina.

Portons sur G a une longueur

CM = ^, r

d étant une constante que Ton peut choisir arbitrairement. Si x' et y désignent les coordonnées du point M, on aura

X = — cosa, y = -sina.

Si l'on tire de là les valeurs cos a et de sina et qu'on les porte dans l'équation (A), r^ disparait en facteur commun et il >âent

(0 b'ix'i H- a'y» — ^tc'^x'y = d\

OÙ a' et b' sont les rayons de gyration relatifs aux axes des^-' cl

MOMENTS d'ordre SUPÉRIEUR. 40I

des ocf et c'^ le rapport

équation d^une ellipse.

ELLIPSE D'QIERTIE ET AZE8 PBIHGIPAUX. — ELLIPSE GEHTBALE ET AXES GERBAUX. — Si Ton avait pris deux autres axes de coordonnées rectangulaires G:r et Cj^, on aurait obtenu une équation de la même forme, c'est-à-dire une équation telle que

où a et 6 eussent désigné les rayons de gyration relatifs aux nouveaux axes, et è\t rapport

Supposons qu'on prenne pour axes des x et desj^ les axes principaux de la courbe.

Pour ces axes on aura c = o, c'est-à-dire

La courbe (i), rapportée à ces axes, prend la forme

et, en faisant la constante rf* = a^ 6^,

où a et 6 sont les rayons de gyration relativement aux axes principaux passant au point c, savoir : a le rayon de gyration relatif à Taxe des y y et b le rayon de gyration relatif à Taxe des 2?, soit

Bemarqiie. — On donne au moment d'inertie d'une force le même signe qu'à cette force.

Si toutes les forces sont dirigées dans le même sens, on le prend I. 26

pour sens positif, et alors le moment d'inertie de chaque force^ relativement à un axe quelconque, étant positif, il en est de même du moment d'inertie de leur ensemble. En ce cas, a^ et b^ sont essentiellement positifs, et la courbe (2) ou (1) est une ellipse.

Si, au contraire, les forces données ne sont pas toutes dirigées dans le même sens, il peut arriver que les moments d'inertie du système de ces forces, relativement aux deux axes principaux passant au point C, soient de signes contraires, c'est-à-dire que Tune des quantités a^ ou b^ soit à remplacer par — a^ ou — b^. Ces quantités se trouvant alors de signes contraires, la courbe (i) ou (a) est une hyperbole.

La courbe (2), relative à un point C du plan, est nommée la courbe ou conique d'inertie relative à ce point; ses axes principaux sont appelés les axes principaux d'inertie, ou simplement les axes principaux relatifs à ce même point. Lorsque le point C coïncide avec le centre des forces parallèles, la conique d'inertie relative à ce point prend le nom de conique centrale, et ses axes principaux, le nom à'axes centraux du système des forces données.

On voit qu'en chaque point les axes principaux sont tels que, si on les prend par axes des coordonnées x et y, on a

On est certain qu'en chaque point il existe deux axes rectangulaires pour lesquels cette relation est satisfaite.

GABAGTÈBE DES DIAMÈTRES CONJUGUÉS DES GOHIOUES D'HERTIE. — Soient {/ig* 96, PL XXI) deux axes rectangulaires Qx' et Cj\ passant par un point quelconque C du plan. L'équation de la conique relative au point C peut s'écrire, comme nous venons de le voir,

{\bis) 6'« a?'* -h a'y « — 2 c'« x'f = «f S

où