P/ £P/ SP
et d^ est une constante.
MOMENTS d'ordre SUPÉRIEUR. 4o3
Prenons un nouvel axe Cy formant avec Cx' un angle 6, et soient or"' et j^ les nouvelles coordonnées. On aura
en sorte que l'équation (i bis), rapportée aux nouveaux axes, sera
a'*a7^*H-aa'*cos6 (2) { — 2c'*sin6
d'y' -^ a'>cos*6
— 2c'*sin 6 cos6
y*=rf*.
La formule (A) du § 242 montre, et il est d'ailleurs évident, que le coefficient de ^'^ est le carré du rayon de gyration relatif à l'axe Cy . Soit b^ ce rayon. Posons de plus
De la formule (6 ) on déduit
et
sin 0 sm 0
1 a ^ij^i COS 6 ,
ou
ou enfin
SP/ sine SP,- siS^' S P/
* ~~ sin 6 sin^
a'* COS 6 — c'* sin 6 = — cj sin* 6.
Donc l'équation (2) peut s'écrire
a «ar*»— 2 sin» Oc} 37^^-4- ^>}y« = a«.
Si les axes Car" et Cy sont deux diamètres conjugués de la conique centrale, le terme en x"^ y" disparait de cette dernière équation, c'est-à-dire que 04 = 0.
Ainsi les diamètres conjugués sont caractérisés par la relation
(a) 2 PiXiyt = o.
Si les lignes Car" et Cy sont rectangulaires, la formule (a) caractérise les axes principaux : c'est ce que nous savions déjà.
4o4 3' SECTION. — CHAP. XXI.
Remarque. — Si du point dont les coordonnées sont af et^-'on abaisse sur Qa^' et Cy des perpendiculaires q et/?, on aura
sin 6 -^ sin 6 * .
donc, x\ et ^'^ étant les coordonnées du point d'application de la force P/, et/?/ et qt étant les distances de ce point aux axes Oaf el Cy, on aura
et, par suite,
, sine
Donc Téquation (a), qui caractérise les diamètres conjurés Cjx" et Cy , peut encore s'écrire
HOUVGLLE DÉFOIITIOII DE LA GOHIftUE D'IHERTIE. — Si, à chacune des droites Cç^ {fig* 97), issues d'un point C du plan, on mène deux parallèles KK', K|K'^ distantes de la droite Cï', d'une lenteur égale au rayon de gyration relatif à cette droite, la conique d'inertie définie par l'équation (2) du § 243 peut encore être définie l'enveloppe des lignes RK' ou K| K',. Soit, en effet, C«la direction du diamètre conjugué à la ligne quelconque C v dans la conique (2), et soient CA = a' et CB = b' les longueurs des demi-diamèlres conjugués dirigés suivant Cw et Ci>, et 8 leur angle wC(^. Eu vertu de la définition de la conique (2) (§243), si r est le rayon de gyration relatif à l'axe Ci^, on a
rf« ab
a elb désignant les demi-axes de la conique ; mais on a, en vertu d'un théorème bien connu,
ab = a' 6' sin 0,
a' 6' sin 6 # . »
r = — gj — = a'sin 6,
UOIIENTS D*ORDRE SUPÉRIEUR. 4o5
c'est-à-dire que le rayon du gyration relatif à C(^ est la longueur de la perpendiculaire AP abaissée, sur cette ligne, par l'extrémité A de son]diamètre conjugué ; et, comme la tangente en A est parallèle à Ct', on voit que cette tangente coïncide avec la ligne KK', ce qu'il faUait démontrer.
TBAGÉ ftBAPmOUE DE LA DIRECTION DES IXES PBINGIPAirX BELATIFS A UH POm ftUELGOHftUE DU PLAH. — Connaissant la conique centrale d'un système de forces, il peut être utile de savoir trouver graphiquement la direction des axes principaux relatifs à un point quelconque G du plan. Ce problème se résout très simplement.
Soient, en effet {fig^ 99, PL XXII^^ aa! = 2 a et 66'= a 6 les axes de la conique centrale tracée en pointillé sur la figure. On aura
Nous supposons, pour fixer les idées, a <C b. Faisons tourner cette conique d'un angle droit autour de son centre; nous aurons ainsi la conique AA'BB'. Soient F et F' ses foyers de sorte que
CF = v/6» — a« = /•.
Désignons par x eiy les coordonnées d'un point quelconque C du plan, rapporté aux axes centraux Ox et Oy, et soient CV et Cy deux axes parallèles à O^ et Oy passant au point C. Le rayon de gyration relatif à Taxe Cx^ est (§ 242)
Le rayon de gyration relatif à Taxe Cy est
Soient x^ ^^yi les coordonnées du point d'application d'une quelconque des forces données P/, relativement aux axes Gx* et cy. Posons
4o6 3* SBCTION. — CBAP. XXI.
On a d'où
Et comme Cj; et Ç/ sont les axes centraux, les trois premiers
termes sont nuls ; donc
c'> = xy.
L'équation de la courbe d'inertie relative au point C, rapportée aux axes Q^xl et C^', est (§ 243)
ou
Soient CX et GY ses axes principaux; si a est Tangle que l'un de ces axes fait avec Qtxf ou avec O^, on a, d'après la théorie des courbes du second degré,
ou bien
tang
