GC

— 7.xy — ixy b^^y^ — ^à^-T-x^) k^-^y^—x^'

X — k ' X -k- k tangua— y

ou, comme

-^ tang C¥x, ^^^.-tangCF.,

on a

tang a a = tang(GF'a: -i- GFa?),

d'où

a= i(GF':r-f-GFa:) et ar-. ^ - i(GF'ar -+- GFar).

Cela signifie que, si Ton joint le point C aux deux foyers F et F de la conique AA'BB' et qu'on mène les bissectrices des deux angles supplémentaires formés par ces rayons vecteurs, ces bissectrices sont précisément les axes principaux cherchés.

MOMENTS d'ordre SUPÉRIEUR. 4^7

On sait que, par tout point C d'un plan, on peut faire passer une ellipse et une hyperbole admettant des foyers F et F' et se coupant à angle droit; les lignes CX et GY sont précisément les tangentes, ou, si Ton^veut, les normales à ces lignes.

Ainsi^ lorsque des forces parallèles quelconques agissent sur un nombre fini ou non de points pris dans un plan, leurs axes principaux d'inertie aux divers points du plan sont les normales aux deux familles de coniques homojocales à la conique centrale^ que Von aurait fait tourner d'un angle droit autour de son centre.

DÉTEBMDIATIOH ftRAPHIOUE DE U GRAHDEUR DES AIES PBIHGIPAnZ BELA- TIFS A mr pom ouelgohoue et du mokeht d'ihertie belatif a uhe

DROITE ftUELGOHftUE DU PLAH. — Une fois connue la direction des axes principaux relatifs à un point quelconque du plan, rien n'est plus facile que de déterminer la grandeur de ces axes ; car on peut facilement trouver le rayon de gyralion relatif à une droite quelconque XX' du plan {Jig. 99). Pour cela, du centre O des forces parallèles, on mènera une droite ^ parallèle à la droite donnée. La perpendiculaire abaissée sur ÇÇ', de l'extrémité du diamètre de l'ellipse centrale conjugué à ÇÇ', représente (§ 215) le rayon de gyration relatif à cette ligne. Connaissant le rayon de gyration relatif à ÇÇ', celui relatif à XX' se déduit du théorème I établi au § 242. Soit V ce rayon.

On trouvera de même le rayon de gyration a', relatif à l'axe CY'.

La conique d'inertie relative au point G a pour demi-axes, suivant XX', la longueur a' et, suivant CY', la longueur y \ cette conique est d'ailleurs inutile à tracer, puisque, à l'aide de la conique centrale, on peut trouver graphiquement le moment d'inertie relatif à une droite quelconque, ainsi que la direction des axes principaux relatifs à un point quelconque.

On voit par là combien il importe de savoir tracer la conique centrale d'un système de forces données. On le peut évidemment,

4o8 3* SECTION. — CHAP. XXI.

si Ton connaît les rayons de gyralion relativement à trois axes de directions quelconques passant par le centre des forces parallèles, ou relativement à deux axes seulement, pourvu que l'on sache d'avance que ces axes sont dirigés suivant deux diamètres conjugués de la conique à tracer. Dans le premier cas, on connaît le centre de laconique et trois de ses points; dans le second, on connaît en grandeur et en position un système de diamètres conjugués.

Voici un cas qui se présente fréquemment, où l'on connaît d'avance les directions de deux diamètres conjugués.

Supposons {^fig* 101, PL XXIÎ^ que des forces données soient deux à deux égales ; supposons, de plus, que les lignes aa', a^d^^ aid.^^ ..., qui joignent les points d'application des couples de forces égales, soient parallèles aune direction fixe XX', et qu'enfin les milieux des lignes aa', a^d^, a^d,^ soient sur une ligne droite YY'. Nous appellerons cette droite un diamètre du système des forces données.

Si un système de forces parallèles admet un diamètre, le centre G de ces forces est sur ce diamètre (*). Soit XiX', une parallèle menée par le point G à la direction des lignes que le diamètre divise en parties égales ; je dis que les droites X| X', et YY' sont des diamètres conjugués de la conique centrale, c'est-à-dire (§244) que, si l'on rapporte cette conique aux axes GX', et GY', en appelant x\ et y] les coordonnées du point d'application de l'une des forces données, on aura

En eflct, les points d'application a et d de deux forces égales ayant même ordonnée et des abscisses égales et de signes contraires donneront, dans la somme ci-dessus, un total nul; il en est de même des deux forces égales appliquées en ai et en d^^ et ainsi de suite.

(') Cela est évident : car le centre des deux forces appliquées en a et a' est sur ce diamètre; de môme, le centre des deux forces appliquées en a^ et a'^, et ainsi de suite : donc le centre de toutes les forces données s'y trouve aussi, en vertu des Jiemarques du § 121.