MOMENTS D*ORDRE SUPÉRIEUR

Habituellement on a à étudier les moments d^inertie d^aires limitées par des contours fermés, en supposant, comme on Ta déjà fait à Foccasion des centres de gravité, ces aires matérialisées et pesantes. Le moment d'inertie {^fig* 98, PL JCJCI) d'une aire (A), relativement à un axe OX est le moment d'inertie des forces que la pesanteur exerce sur cette aire. Dans ce cas, toutes les forces étant dirigées dans le même sens, la courbe centrale est toujours une ellipse qu'on appelle Vellipsc centrale d'inertie. Ses axes sont les axes centraux de l'aire donnée. Le carré du rayon de gyration relatif à un axe est le quotient du moment d'inertie relatif à cet axe par le poids de l'aire donnée ou par l'aire elle-même, si elle est homogène et de densité i (*).

Pour trouver l'ellipse centrale et pour connaître par suite (§ 248) le moment d'inertie de l'aire donnée, relativement à un axe quelconque pris dans son plan, il suffit, d'après ce qui précède, de connaître ses moments d'inertie relativement à trois lignes de directions quelconques passant par son centre de gravité, ou bien les moments d'inertie relatifs à deux de ces lignes que l'on sache d'avance être un système de diamètres conjugués de l'ellipse d'inertie.

Si une aire est décomposable en plusieurs autres, le moment d'inertie de l'aire totale est la somme des moments d'inertie des aires partielles : il suffit donc de savoir trouver les moments d'inertie de ces dernières.

§ 2ol.

Si l'aire donnée admet un diamètre rectiligne, cette ligne qui passe par le centre de gravité de l'aire et une parallèle aux cordes qu'elle divise en parties égales, menées parle centre de gravité, for-

(*) Plus souvent encore, on définit le moment d'inertie d'un corps : la somme des produits de la masse (et non du poids) de chacun de ses éléments par le carré de sa distance à une droite. On passe de ce moment d'inertie à celui que nous considérons en multipliant le premier par l'accélération g de la gravité, laquelle est, à Paris, g — 9,8088.

4lO 3* SECTION. — CHAP. XXI.

ment (§ 249) un système de diamètres conjugués de Tellipse centrale, en sorte qu'on pourra construire la courbe si l'on connaît les moments d'inertie relatifs à ces deux lignes.

De là on déduit que, si la surface comporte un axe de symétrie, cet axe et sa perpendiculaire, menée par le centre de gravité, sont les axes centraux de la surface.

BECHEBGHE DES MOMEirTS D'DIERTŒ ET DE LA GOUBBE GERRAUi D'IHERTIE. — Nous avons déjà vu (§ 241) que, quand on a un nombre limité de forces, leur moment d'inertie relatif à un axe quelconque se trouve graphiquement, sans difficulté, en faisant usage du polygone des forces et du polygone funiculaire. Par suite, on peut trouver graphiquement les éléments nécessaires au tracé de la conique centrale.

Lorsque les forces données sont en nombre illimité, comme cela a lieu pour les forces de la pesanteur agissant sur les divers points d'une surface plane supposée matérialisée, les procédés graphiques permettent encore de trouver approximativement les moments d'inertie. Il suffit de remplacer les forces données en nombre illimité par un nombre fini de forces assez voisines les unes des autres pour pouvoir, approximativement, tenir lieu des forces données.

Dans ce cas, on fait souvent usage aussi du Calcul intégral pour déterminer l'expression analytique des moments d'inertie, sauf à construire ensuite ces expressions par les procédés du calcul graphique.

Si p est la densité au point m de l'aire (A) rapportée à deux axes rectangulaires, le moment d'inertie de cette aire est

son aire est

û -^ ffpdjcdy,

et le rayon de gyration r est

Si la surface est homogène, le moment d'inertie de la bande a^ a' ^'

MOHBHTS d'ordre SUPâRlBUR-

{fig. 98, PI. XXÏ), de hauteur dy, est

a^ est une fonction &e y, définie par le contour qui limite I donnée (A). Si

le moment d'inertie de l'aire donnée sera

?Sy^Jiy)dy.

Son poids étant

le rayon de gyration sera donné par

. , . ,. SjKy)dr '

la densité p disparaît.

On peut parfois remplacer le Calcul intégral par la règle vante :

Soit Tj la distance à OX du centre de gravité de l'aire (A^ théorème des moments donne

rjfpdxdy = SS?yàxdy.

Considérons un cylindre ayant pour base le périmèlre de I donnée (A) et ayant ses génératrices normales au plan de aire, ce cylindre étant limité par un plan passant par OX et in à 45" sur le plan donné. Soit 'iw la distance à OX de la projei sur le plan (A) du centre de gravité du cylindre. Le volum l'élément cylindrique ayant pour base lixtf^'sera^rfxrfï', son | ^ydxdy\ son moment p/*rfj;rfv.Donc le théorème des mon donnera

■^xSS^ydxdy - SSçy^dxdy.

Multipliant membre à membre les deus dernières égalît supprimant le facteur y/ p^^c/xc/k commun aux deux mem! il vient

t\-r^iSS?dxdy= SS^y^dxdy,

d'ob

,^ - SSpy^dxdy

4ia 3* SECTION. — CHAP. XXI.

Ainsi le rayon de gyration cherché est la moyenne géométrique entre les distances t) et tj,. M. Bresse donne ce procédé dans son Cours de Résistance des matériaux prof essé à V École des Ponts et Chaussées,

BEGTAHGIiE HOMOGÈHE. — Appliquons-le à la recherche du moment d'inertie d'un rectangle homogène Y Y' ZZ'(/^. 102, PLXAII), relativement à l'un de ses côtés, au côté Y Y' par exemple. Soient YY'=a, Y'Z'r= 6.

On a, pour la distance t; du centre de gravité du rectangle â Taxe YY',

Maintenant élevons en Z et Z' des perpendiculaires ZZi Z'Z'j jusqu'à leur rencontre, en Z| et Z', , avec un plan incliné à 45**, mené par YY'. Nous formerons un prisme : son centre de gravité sera sur la ligne gg' joignant les centres de gravité des triangles YZ| Z et Y'Z'jZ'. La projection g^i o^'j de cette ligne sera à une distance deYY

Donc

t), = y^, = |yz = 3^

b ib b^ b

Le Calcul intégral fournirait le même résultat; car, en considérant une bande a^a'P' de hauteur dy^ distante de y de la ligne YY', son moment d'inertie sera ay^dy^ et le moment d'inertie du rectangle sera

Donc le carré du rayon de gyration, égal au moment d'inertie divisé par la surface ab du rectangle, sera

Ayant le rayon de gyration de l'aire d'un rectangle relativement

MOHBNTS D'oBDBE SUPÉKIBUB. 4l3

à l'un de ses cAlés, on en déduit immédiatemenl celui qui est relatif à une parallèle YY' {fig. i03, PL XXII) à ce côté, passant le ceutre du rectangle. Ce dernier sera donné (§ â4â) par la mule