/'*'!*- ^ '■ - 3 U^ ~ i-^' d'où

De même, le ra^on de gyr«tion relatif à un axe Zi Z',, perpe culaîre au précédent et passant par le centre du rectangle, sera

Ces résultats se déduiraient aussi facilement du Calcul intéj

Il est évident que les axes de symétrie du rectangle sont les

principaux d'inertie (§ 251). Donc l'ellipse centrale du recta

a ses axesdirigés suivant Y, Y', et Z|Z',, et les grandeurs de

-p^; son équation sera donc

TBUKGUl- — Pour avoir le rayon de gyration d'un triangle , (Jig. lOi, PL XXII) relativement à l'un de ses côtés, à BC exemple, nous remarquerons que la distance -i\ du centre de vite du triangle au côté BC est

en appelant h la longueur de la perpendiculaire ÂP abaissé* sommet A, sur le côté BC. Élevons en A une normale au pla triangle et prenons sur cette normale une longueur AA' égî AP. Le centre de gravité du tétraèdre ayant pour sommets B, et A' (148) est au milieu O de la ligne IJ qui joint les milieu; arêtes opposées BC et AA'. La projection de O sur le pla: triangle sera, par suite, au milieu de la médiane AI. Donc

4l4 3* SECTION. — GHAP. XXI

et, par suite, le rayon de gyratlon r sera

c^est ce que le Calcul intégral indiquerait aussi. Soit, en efiet, BC = b la longueur du côté BC. Considérons la bande ap a'p' de hauteur dy^ à la distance^ de la ligne BC. On aura

Donc le moment d'inertie de la bande a ^ a'^' est

a^'x.dyxy^= ■j^{h—y)y^dy, et le moment d'inertie du triangle

Le rayon de gyration étant r, on aura donc

d'où

bh ,

bh*

Sachant trouver le moment d'inertie d'un triangle relativement à un de ses côtés, on en déduit (/Ig- lOo, PL JTJTF) son moment d'inertie relatif à un axe de direction quelconque Bi/ passant par un de ses sommets ; car ce moment d'inertie est, suivant les cas, la somme ou la différence des moments d'inertie des deux triangles BAD et BCD, relativement à l'axe Bu qui est un de leurs côtés.

Si l'on veut maintenant trouver le moment d'inertie d'un triangle ABC, relatif à un axe quelconque xa/, on cherchera son moment relatif à un axe parallèle Bu, passant par un sommet B du triangle. On en déduira, par le théorème du § 242, le moment d'inertie relatif à un axe parallèle kBu et passant par le centre de gravité G du triangle.

MOMENTS D ORDRE SUPERIEUR. 4l5

Enfin, de là et par le même théorème on déduira le moment d'inertie cherché.

Si Ton veut trouver l'ellipse centrale d'un triangle ABC, il sufïit deremarquer qu'une médiane AI (yî^. 106, PL JCXV) étant'une ligne diamétrale conjuguée au côté BC, qu'elle divise en deux parties égales, les lignes GA et GX, passant par le centre de gravité du triangle et dont la dernière est parallèle à BC, sont des diamètres conjugués de l'ellipse centrale (§ 2S1). Donc on n'aura qu'à chercher les moments d'inertie relatifs à ces deux lignes pour tracer l'ellipse centrale.

Le carré du rayon de gyration relatif à BC étant — > le carré du

rayon de gyration relatif à une parallèle à BC menée par le centre de gravité du triangle sera (§ 242)

Le carré du rayon de gyration du triangle ABC, relatif à la médiane AI, est double du carré du rayon de gyration relatif à AI du triangle AIC. Ce dernier, en appelant k la longueur de la perpendiculaire abaissée de C sur la médiane, est -^ : le premier est

donc "Y • '

On a ainsi les éléments nécessaires au tracé de l'ellipse centrale.

Si le triangle est isoscèle, les lignes G A et GX étant perpendiculaires sont les axes de l'ellipse centrale. Si b est la base et h la hauteur du triangle, les carrés des deux rayons de gyration principaux seront

Si le triangle est équilatéral, une médiane quelconque est axe principal, ce qui exige que l'ellipse centrale se réduise à un cercle. C'est ce qui a lieu aussi pour un polygone régulier quelconque, de même que pour un cercle ou un anneau circulaire.

E^JPSE ET GOVBOHIIE E^FTIAïïI!. CEHCU ET tXBLUS CIBCIILUBX. — oit (^g". 108, /*/. ^-l'K) une ellipse doDl le grand axe AA'=a(i

le petit axe BB'=^ 2&. Prenons une zoneaPa'P', de hauleurc/v, la distance^ de l'axe AA', et de longueur ap = aar. Son moment inertie relatif à l'axe AA' est

le moment d'inertie de l'aire de l'ellipse sera 'équation de l'ellipse est

o satisfait à cette équation, quel que soit l'angle S, en posant

où

dy= - A cos - ca,

l'expression du moment d'inertie devient

aè' f cos' - sm« 5 rf9 = ^' r sin' 9 d).

intégrale doit être prise entre + n et — n, puisque, f)onry^±b.

Or

sin«9 =

onc le moment d'inertie relatif à l'axe AA' est

MOMENTS d'ordre SUPÉRIEUR. 4l7

elle rayon de gvration

V T^cib

On trouverait de même que le moment d'inertie relatif à l'axe BB'

est

Tza^b

et le rayon de gvration correspondant, - a.

Comme les axes principaux de l'ellipse donnée sont nécessairement les axes de l'ellipse centrale, cette ellipse sera semblable à la proposée et semblablement placée, et ses axes seront égaux aux demi-axes de la proposée.

Soit maintenant un anneau compris entre deux ellipses semblables et semblablement placées, dont l'une ait pour demi-axes a et b et l'autre ma et mb, m étant un nombre que nous supposons plus petit que Tunité.

Le moment d'inertie de l'anneau, relativement à l'axe a a, a pour

expression

Tzab^ Tzm'*ab^ tz ab^ ,

—, -— ou —, -(i -/nM-

L'aire de Vanneau étant le rayon de gvration sera

/bHi — ni^ b / —

De même, le rayon de gvration relatif à l'axe 26 sera

11 résulte de la que Tellipse centrale sera semblable aux ellipses données, semblablement placée, et ses axes principaux seront

— /i-H/^i* et -y\-\-m-.

Remarque. — Le moment d'inertie d'un cercle de rayon R, relatif à un diamètre quelconque, sera, d'après l'expression (a) ci- \. 27

.{18 3' SECTION. — CIIAP. XXI.— MOMENTS d'ORDRE SUPÉRIEtR

dessus, où l'on fait a = b =-- R^

TtR*

R le rayon de gyration est — - L'ellipse Centrale est un cercle de

rayon moitié de celui du cercle donné.

L'ellipse centrale d'une couronne comprise entre deux circonférences concentriques de rayons R et /nR est une circonférence de rayon.

3* SKCTION. — CUAP. XXI. — ËTVOE DES FORCES PARALLÈLES. 419