CHAPITRE XXIL

ÉTUDE DES FORCES PARALLÈLES DONT LES POINTS d'aPPLICATION SONT SITUÉS DANS UN PLAN ET DONT LES INTENSITÉS SONT PROPOR- TIONNELLES AUX DISTANCES DE LEURS POINTS d'aPPLICATION A UNE DROITE DE CE PLAN. — NOYAU CENTRAL DES AIRES PLANES.

UmiTi DE LA G0N8IDÉBATI0N DES FOEGES aUI FOUT L'OBJET DE CE CHA- PITBE. — Parmi les forces parallèles agissant sur les points d'un plan^ celles dont les intensités sont proportionnelles aux distances de leurs points d'application à une droite du plan se rencontrent fréquemment. Ainsi, quand uq corps tourne autour d'un axe, les points situés dans un plan passant par Taxe subissent à chaque iostant des forces d'inertie proportionnelles à leurs distances à Taxe.

Si Ton conçoit un plan traversant l'espace occupé par un liquide pesant en équilibre, les pressions aux divers points de ce plan sont proportionnelles à leurs distances à la trace du plan sur la surface libre du liquide.

Enfin les forces élastiques qui se développent dans les sections transversales des pièces que l'on étudie en Résistance des matériaux sont aussi, comme nous l'avons vu § (208), proportionnelles aux distances de leurs points d'application à une ligne fixe et cette considération nous a déjà amené à les étudier lorsqu'elles sont symétriques par rapport à une droite du plan contenant les points d'application. On va en faire ici une étude générale.

BE GHEEGIIE OBAPUaUE DU GEHTBE DE CZS FORGES PAB1LLÈLE8 — Soit un système de forces parallèles

'0 Pi = ^i"i, **t= A:,tt,, ..., P„ = k„un,

OÙ

sonl des constantes essentiellement positives, et

W|, Ui, Us, ••., M/, ...1 M/t

les distances des points d'application

■"•!> A-f, A3, •••) Af, •••« A/i

des forces considérées à une droite ZZ' (Jig' 107, P/. JTA^V), Ces distances sont comptées positivement ou négativement suivant que les points d^application sont à droite ou à gauche de la ligne ZZ'. Cette ligne elle-même sera désignée sous le nom d'ajcé» neutre.

Considérons un système de forces fictives égales aux constantes

appliquées respectivement aux points d'application et suivant les lignes d'action des forces données (i) et toutes de même sens. Soit O le centre des forces parallèles k^^ /tj, A^j, . . ., /•«• Traçons leur ellipse centrale ; désignons par O Y le diamètre de cette courbe, parallèle à Taxe neutre ZZ', par OX son diamètre conjugué, par a et 6 les demi -longueurs de ces diamètres. Abaissons BP perpendiculaire sur OA, et AQ perpendiculaire sur OY; BP sera (§ 233) le rayon de gyration des forces (2), relatif à Taxe OX, et AQ celui relatif à l'axe OY. Donc, si qi elpi sont les distances du point d'application A/ de la force ki à ces axes, ces distances étant comptées positivement dans l'angle YOX, on aura

BP =

Iki '

Ajoutons que, O étant le centre des forces parallèles (2), le théorème des moments donne

Enfin, puisque OX et OY sont des diamètres conjugués de la

courbe centrale des forces (a), on a (§ 232, Remarque) (c) ^kipiÇi^o.

Ces relations établies, nous pouvons procéder à la recherche du centre G des forces parallèles données (i). Si gr' et p' désignent les distances positives ou négatives de ce point aux axes OX et OY, le théorème des moments donnera

d'ailleurs, si d est la distance entre les lignes OY et ZZ', celte distance étant, comme celles pi, comptée positivement ou négativement suivant que l'axe neutre ZZ' est à droite ou à gauche de OY, on aura

Ui = pi — d,

d'où

s ?iqi = 2 kiipi— d) qt = S ktptqi — rfS kiq,-,

quantité nulle en vertu dès relations (b) et (c). Donc q' =^ o, et le centre G des forces parallèles données est sur le diamètre OX, conjugué de Taxe neutre ZZ' dans la conique centrale du système des forces fictives (2).

Maintenant

£ Pipi = L ki Uipi ~ Ziipi — d)pi—I, kipi — «f2 kip,-

ou, en vertu de (6),

I,ViPi=^ktp].

D'un autre côté,

SP/= J:kiUi= J:ki(pi—d) — Zkipi— dl,ki = — dl.k,.

Donc la seconde des équations (/) donne

ou, en vertu de (a),

2 Vipi -vp.

équation qui montre que p' ei d sont de signes contraires, c'est-

42A y SECTION. — CIIAP. XXI.

à-dire que Taxe neutre ZZ' et le centre G des forces parallèles {i\

sont placés de part et d'autre du centre O des forces fictives (a ».

En appelant 0 Tangle aigu XOY', on aura, en valeur absolue,

AQ ^- OAsine,

rf r= 01 sin e, d'où

(3) OGxOI=OA\

ce qui permet de construire le centre des forces parallèles données.

Remarque. — La relation (3) montre que le point G, centre des forces parallèles données (i), et le pôle g de l'axe neutre ZZ'. relativement à la conique centrale des forces fictives (a), sont deux points symétriques par rapport au centre de ces forces fictives on, si l'on veut, que le point cherché G est Vantipâle de Taxe neutre.

CAS DEF0BGE8 EH NOMBRE ILUHITÉ AGISSAIT SUE DES POIITS SE SïïeCÉ- DAHT D'UHE MAHIÈEE GOlTIRUfi DAIS UH PLAH . — Supposons mainte;nant que les forces données P/, au lieu d'être en nombre fini, soient réparties d'une manière continue sur les différents points d^une portion de plan limitée par un contour quelconque MXM'>k': alors les coefficients A/ sont donnés pour tous les points intérieurs à ce contour. Rien n'empêche de supposer l'aire MNM'N' matérialisée et de lui attribuer en chacun de ses points A,- une densil/* proportionnelle à la valeur qu'acquiert, en ce point, le coefïîcient Â'i. Cette valeur sera celle que prendra une certaine fonction donnée

des coordonnées des points du plan, pour les valeurs particulières Xi elVi de ces coordonnées.

D'après cette considération, le point O sera le centre degra^-ilé de l'aire M N M' N'; l'ellipse AB sera son ellipse centrale, et l'on peut énoncer le théorème suivant :