ÉTUDE DES PORCES PARALLÈLES

Théorème. — Si, aux divers points d'une surface plane, malériellej homogène ou non, on applique des forces parallèles, proportionnelles à une densité arbitrairement attribuée à la surface en ce point et à la distance positive ou négative de ce point à une droite fixe, le centre de ces forces parallèles est r antipôle de cette droite relativement à Vellipse centrale de la surface donnée.

Remarque. — Si l'on veut appliquer ce théorème aux pressions que subit une aire plane plongée dans un liquide, il faut supposer à Taire, en chaque point, une densité égale à celle du liquide ; si on veut l'appliquer à une sectipn transversale faite dans une des pièces que Ton étudie en Résistance des matériaux, il faut supposer, à chaque point de la surface, une densité égale au coef- (icient d'élasticité de la pièce en ce point, en sorte que, si celle-ci est homogène, la densité sera constante en tous les points de la section. On peut appliquer les mêmes considérations au pourtour d'une ligne plane fermée ou non.

MOTAU GSWTRAL D'UIJS AIBE PLANII. — Lorsque l'axe neutre d'une aire plane MN M' N'est en dehors de l'aire, les distances m des divers points de l'aire à cet axe sont toutes de même signe; et, comme la densité k est une quantité essentiellement positive, on voit que les forces parallèles égales à ku qui agissent sur les divers points de l'aire seront toutes de même signe, c'est-a-dire qu'elles seront toutes dirigées dans le même sens. Si, au contraire, l'axe neutre coupe le contour MIN M'N', alors les distances m, à l'axe neutre, des points situés de part et d'autre de cet axe sont de signes contraires, et les forces appliquées en ces points sont aussi de sens opposés. Lorsqu'il s'agit de forces élastiques par exemple, si celles situées d'un côté de Taxe sont des tensions, celles situées du côté opposé sont des compressions, tandis que toutes sont de même nature (tensions ou compressions) si l'axe neutre est extérieur au contour de l'aire donnée. Il y a donc un grand intérêt à distinguer les cas où l'axe neutre coupe ou non le contour MNM'N' . La démarcation entre ces deux cas a lieu naturellement pour les

421 3* SECTION.— CIIAP. XXI.

positions de Taxe neutre tangentes au contour. Ainsi supposons que, Taxe neutre étant en ZZ', le centre des forces parallèles agissant sur Taire donnée soit en G. Si ZZ' se déplace parallèlement à luimême de façon à se rapprocher de la courbe MNM'N', le point G parcourra le diamètre XX', et s'éloignera du point O, comme l'indique la formule (3). Quand ZZ sera arrivé à être tangent à MNM'N', le point G aura pris une certaine position G2; si ZZ' continue à se rapprocher jusqu'à se confondre avec OY, le point G s'éloignera indéfiniment. S'il dépasse OY de façon à arriver en Z| Z, , le point G reviendra à une distance finie, mais il ne sera plus du côté OX' de l'axe XX'. Si l'axe neutre vient à se confondre avec la tangente Z4Z'^ à la courbe, le point G occupera, par exemple, le point Gi. puis, à mesure que Taxe s'éloignera, le point se rapprochera deO jusqu'à venir se confondre avec lui.

On voit par là que, tant que l'axe est en dehors de la courbe MNM'N', le point G est compris entre les positions Gj et G4 qui sont les points symétriques des pôles des tangentes Z2 Z'^ et Z| 7é\ à la courbe MNM'N' relativement à Tellipse centrale.

Ce que nous venons de dire pour la direction particulière ZZ', on peut le répéter pour toute autre direction; on obtiendra ainsi une courbe telle que GaGiOL^y jouissant de cette propriété que, tant que la résultante des forces parallèles agissant sur l'aire donnée tombe à l'intérieur de cette courbe, Taxe neutre est extérieur au périmètre de Taire donnée et, par suite, toutes les forces agissant sur cette aire sont nécessairement de même sens ; si au contraire la résultante de ces forces tombe en dehors de la courbe G2G4a^, Taxe neutre coupe le contour de Taire donnée, et les forces situées de part et d'autre de cet axe sont de sens contraires.

L'aire comprise dans le périmètre G2G4a^ est ce qu'on nomme le noyau central de Taire donnée. Tout point du périmètre G2 G4 a^ étant Tantipôle d'une tangente au périmètre donné, on voit que le premier de ces périmètres est une courbe symétrique, par rapport au point O, de la polaire réciproque du second relativcment à l'ellipse centrale de Taire donnée.

HÉTHODS GÉHiRALE POUR LA BEGHEaCHS SEAPHiaUE DU NOTAU CENTRAL D'URE AIRE QlUELGONftUE. — D'après ce qui précède, rien n'est plus facile que de construire le noyau central d'une aire donnée. On peut en construire graphiquement l'ellipse centrale O i^fig- 107, PI, XXV^, Menons le rayon quelconque OC jusqu'à sa rencontre en G avec la tangente KqK'^ au périmètre de l'aire donnée, parallèle à la direction du diamètre de l'ellipse centrale conjuguée à OC; soit c le point où le rayon OC coupe l'ellipse centrale ; si l'on construit la longueur

on aura un point K du périmètre du noyau central. On peut l'obtenir encore en construisant la corde ti qui sous-tend les tangentes à l'ellipse centrale issues de C, et prenant le point K symétrique par rapport à O de celui Â* où cette corde coupe le rayon CO.

APPUGAnOH AUX AIRES LIMITÉES PAR DES POLTGOHES FERMÉS. — Si le contour de l'aire donnée est un polygone de m côtés, le con • tour du noyau central sera un polygone d'un pareil nombre de côtés, formé par les droites symétriques des polaires des sommets du premier polygone relativement à l'ellipse centrale.

Parallélogramme. — Ainsi, soit donné {^fig- HO, PL XXV) un parallélogramme ABCD. Les lignes médianes EE' et FF' sont (§ 239) deux diamètres conjugués de son ellipse centrale. On sait trouver (§233) les longueurs Oe, Oe', O/, O/' de ces diamètres. Il suffit pour cela de chercher les moments d'inertie du parallélogramme relativement à chacune des lignes EE' et FF'.

Ayant ces diamètres, on trouve les points e et <p du noyau central

par les formules

Oe X 0E' = Ô1* (»),

0^xOF'= 0/ .

C) Pour avoir b, décrivez une demi-circonférence sur OE conrjme diamètre;

jaG 3' SECTION. — CH*p. nxi.

PreDanl ensuite Oë = 0t'et0f = Of',\e paralI<5logramiiie st'az

"•" 1" p«?rinièlre du noyau central clierché.

anglo. — Soitun Irianglc ABC(./(g-. 109, PL A'A'V). Mêla médiane AA' et, par le centre de gravité O du triangle, conns une parallèle XX' à la base BC. Les lignes AA' et XX' ieuK diamètres conjugués dcl'elllpse centrale (§ loi ). Conmlles moments d'inertie relatifsà AA'elXX', on peut trouver )) les longueurs des diamètres conjugués dirigés suivant ces lignes et tracer l'ellipse centrale. Soient Oa, 0(t. Or les -diamètres de cette ellipse dirigés suivant les médianes OA, OC. On construira les Inngueur.s

iangle a^Y ^^^ ''^ contour du noyau central du triangle AB(^

lp86 et cercle. — Nous avons vu que l'ctlipse centrale d'une e est une autre ellipse semblable et dont le rapport de siuii- ; est i (§246). Soient OM un rajon de l'ellipse donnée m, PL XAV), Om le même rayon de l'ellipse centrale ura

it [x' le poiut de ce rayon appartenant au contour du i

ic ceoire, décrives tare de cercle eK jusqu'i sa ren ■contéreiices OE; enfin de K abaissez une perpendici e perpendiculaire est le point clierchi!.

ETl'DE 1>ES FORCES PARALLÈLES. 4^7

donc le noyau central d'une ellipse est une autre ellipse semblable et semblablement placée, le rapport de similitude étant |.

D'après cela, le noyau central d'un cercle est un autre cercle dont le rayon est égal au quart du rayon du premier.

Anneau elliptique ou circulaire. — Un anneau formé de deux ellipses semblables et semblablement placées, dont les demi-axes sont a et b pour Tune et ma et mb pour l'autre, admet (§ 246) pour ellipse centrale une ellipse semblable aux deux précédentes et semblablement placée et dont les demi-axes sont

Y a y/i -t- m* et ^ ^ y^ i m*,

et pour courbe limitant le noyau central une troisième ellipse

semblable aux précédentes et semblablement placée et ayant pour

axes

{a»(i— m») a (i — m») T^O — /n' ) b^ - wM

Un anneau compris entre deux circonférences concentriques dr rayons R et /nR admet un noyau central limité par une circonférence de ravon

4* SECnON. — CHAP. XXII. — COMPOSITION DES FORCES DANS l'eSPACE. ^2^