r-^ (Launhardt

\[x /FmaxJ

où tout est connu dans le second. membre.

On aurait de même, dans le cas d'efforts extrêmes de sens opposés,

(B) S = — = ; Vr"=7 =. (Weyrauch),

'» L \ V- / Fma'^ J

et, s'il s'agit de pièces en fer et qu'on adopte les données numériques indiquées plus haut dans les formules I et II,

(A') ^"~r r^F min l ( ^^^""^^ardt ),

ou

(B') S = — p — ^^ =• (Weyrauch).

Si la pièce ne subit qu'uue charge permanente, on emploiera la formule de Launhardt, en y faisant Fmax == Fmin = à la force élastique due à la charge permanente.

Cela revient à admettre comme charge de sécurité une fraction

- de la charge de rupture immédiate p suivant l'ancienne méthode

de calcul des dimensions. Mais, en admettant la formule numériqae

où - = ^) on voit qu'on est ainsi conduit, dans le cas d^une

charge permanente sans surcharge, à admettre des tensions allant jusqu'au j de la charge de rupture et à faire travailler le fer à 1 0*^8, 67 par millimètre carré.

6. Considérons à présent une pièce soumise à une flexion simple sans extension, ni compression de la ûbre moyenne. Dans ce cas, les dimensions de la pièce varieront généralement d'une section à l'autre et devront être calculées pour chaque section, à moins qu'il ne s'agisse de petits ouvrages où l'on fait les calculs pour la section la plus défavorable et où l'on adopte pour toutes les sections les dimensions obtenues pour celle-là.

Considérons une section quelconque. Supposons d'abord que le moment de flexion qui s'y développe conserve le même signe quelles que soient les surcharges. Soient M max et M min ses valeurs extrêmes (en valeur absolue), I le moment d'inertie de la section, u la distance entre la fibre moyenne et la fibre qui en est la plus éloignée. On aura (§ 209)

^ M max X u / max = = »

- . M min x u /min ^- j ,

DIMENSIONS DES PlàCES D'uNB CONSTRUCTION. 469

d'où

/max __ Mmax /min "" Mmin

Ce que l'on veut, c'est que/max ne dépasse pas la charge de sécurité pratique R, c'est-à-dire que

/max^R.

En prenant le signe d'égalité, on a (§ 5)

f^l \l^ //maxj

ou

, ^ ^ M max X u ulT /p \M min 1

J /i | \(x / M maxj

OÙ tout est connu, sauf le rapport - que l'on peut ainsi déterminer.

Pourvu qu'on choisisse les dimensions de la pièce (la forme de sa section, sa hauteur^ etc., restent arbitraires), de façon que ce rapport ait la valeur trouvée ou une valeur supérieure, on sera certain de ne dépasser nulle part la charge de sécurité.

Supposons, en second lieu, que les moments de flexion dans la section considérée changent de signes, suivant la nature des surcharges. Soient Mmax et M' max les valeurs absolues des grandeurs extrêmes (de signes contraires) qu'il atteint, Mmax désignant la plus grande des deux valeurs absolues. On aura

d'où

^ Mmax X a -, M'max x u /max= j , / max= r ,

/'max M' max /max ~~ Mmax

et, par suite, la formule de Wejrrauch donne pour calculer le rapport -

,r^. Mmax X M [X r / [x'\ M'maxi

Les deux dernières formules donnent pour le fer, si l'on adopte les données numériques indiquées plus haut, dans le cas de mo-

ments extrêmes de mêmes signes,

I Mmax

1/ ^ r I M min 1

et, dans le cas de moments de signes contraires,

I Mmax

(FV)

u r I M^max "]

L ^ MmaxJ

c. Considérons enfin une pièce qui subisse à la fois une flexion et une tension ou compression le long de la fibre moyenne.

Nous avons vu que, dans ce cas, on commence généralement, dans la pratique, par négliger la compression longitudinale et par déterminer les moments de flexion comme si la pièce était de section uniforme ; les moments de flexion connus dans cette hypothèse, on en conclut les valeurs des moments d'inertie des diverses sections. Cette première détermination se fera par la méthode qui vient d'être indiquée. On connaîtra ainsi pour chaque section le

rapport -• La section S elle-même reste indéterminée, ainsi que

la distance u de la fibre moyenne à la fibre extrême.

On se les donnera ou, d'après la forme qu'on aura adoptée pour la section de la pièce, son aire S résultera d'ordinaire de la connaissance de son moment d'inertie, et la valeur de u résulte aussi de la forme des lignes d'intrados et d'extrados qu'on aura adoptées.

Généralement ces premièresdéterminations suffisent. Sil'on veut pousser les calculs plus loin et faire une seconde détermination de I, soit, sous l'influence d'une charge quelconque, M la valeur absolue du moment de flexion dans la section dont le moment d'inertie est I. Soient u et u' les distances de la fibre moyenne aux deux fibres extrêmes (ou les plus éloignées ) placées de chaque côté d'elle. Ces deux fibres supporteraient, sous l'influence de la flexion seule , des forces élastiques de signes contraires représentées en valeur absolue par

Mm Mm'

— r- et — î— •

DIMENSIONS DES PIÈCES d'UNE COxNSTR VGTION. 4/1

Soient N la valeur absolue de la tension ou pression longitudinale dans la section que nous considérons et S Taire de cette section.

Convenons de désigner par u la distance qui se rapporte à celle des deux fibres extrêmes qui subit, par suite de la flexion simple, un effort de même sens que TefTort longitudinal. Il en résulte que la force élastique totale rapportée à Tunité de surface de cette fibre est

Ma

et celle de T

autre

fibre

extrêm

Mm'

Le second terme de ces égalités regardé comme terme de correction est plus petit que le premier.

C'est donc la première de ces deux égalités qui donne la plus grande valeur de /.

Connaissant, aune première approximation, les valeurs variables

d'une section à l'autre de - et S, on a pu déterminer les valeurs

correspondantes de Met N et, par suite, la valeur de/ pour chaque charge. On peut donc savoir si les valeurs extrêmes de /sont de mêmes signes ou de signes contraires et trouver dans les deux cas les valeurs absolues extrêmes désignées, dans le premier cas, par /max et/min et, dans le second, par/max et/'max.

Désignons par M et N les valeurs de M et N répondant à la charge qui donne /max. On doit avoir

/max £ R ou — — h -^ ^ R

ou, en prenant le signe d'égalité :

!** Si les valeurs extrêmes trouvées pour / en utilisant les

valeurs de première approximation de - et S sont de mêmes signes,

S ny \(x //maxj' 2? Si les valeurs extrêmes trouvées pour / sont de signes con-

Ml£

traires,

Mu

Dans les seconds membres, on .mettra pour/max et y*nim oo pour/max et/'max les valeurs de /dont nous venons de parler,

c'est-à-dire celles résultant des premières valeurs approchées de et S. Quant au terme -^j on pourra également y conserver pour S

la valeur de première approximation trouvée, de sorte que ^ est

connu et les deux dernières équations (Tune ou Tautre suivant le cas où Ton se trouvera) fourniront une nouvelle valeur approchée

de - j d'où résultera, par les proportions mêmes qu'on aura admises

pour la section, une nouvelle valeur de S.

On pourrait pt)ursuivre ainsi l'approximation aussi loin qu'on le voudrait, mais on n'aura guère à le faire dans la pratique.

REHABCtUE AU SUJET DES PIÈGES G0MFBIIIÉB8. — Une barre de fer comprimée ne peut se rompre que par écrasement ou parce que, ne restant pas droite, elle fléchit.

Le phénomène extrêmement complexe de l'écrasement a été élucidé pour la première fois par les belles expériences de M. Tresca sur l'écoulement des corps solides. Comme l'écrasement, d'après les expériences et la théorie de M. Tresca, n'a lieu que par cisaille* ment ou glissement transversal, dans les cas où il est à craindre, il serait sans doute prudent de réduire le coefficient de sécurité pratique des pièces comprimées, aux \ de ce qu'il est pour l'extension, d'adopter en un mot le coefficient R' du paragraphe précèdent; en place de celui de R,'les coefficients numériques des formules restant pour chaque matière ce qu'elles sont pour i*extension.

Dans les cas où l'écrasement n'est pas à craindre, il n'y a à éviter que la flexion. En ce^ cas, Wôhler a observé que c'est toujours du côté des fibres tendues que la pièce se rompt. On commencera donc par calculer sa section en la regardant comme sim-

DIMENSIONS DBS PIÉGB8 d'uNE CONSTRUCTION. 478

plement comprimée, à l'aide du coefficient de sécurité R par la règle a du paragraphe précédent.

Tl faut ensuite examiner si elle n'est pas exposée à rompre par flexion.

On démontre dans la théorie de l'élasticité qu'une pièce droite AB, fixée à l'une de ses extrémités A (sans encastrement), dont l'autre extrémité B est assujettie à demeurer sur une direction fixe ABX et qui est soumise en B à une force de compression N dirigée suivant BA, ne peut pas fléchir, si

Fig. 61.

OÙ /= AB est la longueur de la pièce, E et I son coefficient d'élasticité et le moment d'inertie minimum de sa section transversale, c'est-à-dire celui relatif à un axe passant par son centre de gravité et coïncidant avec le grand axe de son ellipse d'inertie.

Si la pièce était encastrée à ses deux extrémités, il suffirait, pour qu'elle ne fléchît pas, que

FI

Quelles que soient les circonstances auxquelles la pièce est soumise, on conçoit que, pour qu'elle ne fléchisse pas, il faut que N

soit plus petit ou au plus égal à une certaine quantité qui doil dépendre de E, I et /; et de la nécessité que la formule soit homogène, c'est-à-dire indépendante du choix des unités de longueur, de temps et de force, on pourrait conclure aisément, suivant une méthode que M. J. Bertrand a appliquée avec succès à des questions

souvent complexes de Mécanique ou de Physique mathématique,

El que cette fonction doit être de la forme k -7^7 k étant un coefCcient

purement numérique, c'est-à-dire indépendant du choix de toutes les unités. Nous écrirons donc, qu'il s'agisse de pièces encastrées, ou appuyées, ou semi-encastrées, c'est-à-dire reliées plus ou moins complètement à d'autres pièces d'une charpente,

comme condition de non-flexion, sachant que dans le cas de deux. appuis simples, k = tsj', dans le cas d'encastrement complet, A' = 4^^ 6^» P^^ suite, dans les cas intermédiaires, A' devra aussi avoir des valeurs intermédiaires qu'il appartient au constructeur d'apprécier.

Ceci posé, la règle a du § 8 ne détermine que l'aire S à donner à la section de la pièce, laissant entièrement arbitraire sa forme et son moment d'inertie. La forme étant choisie d'après la natun^ de la construction, on calculera le moment d'inertie minimum 1 et l'on vérifiera si l'on a, pour toutes les charges N que la pièce peui

être appelée à subir, I^ jt^«

Si cette condition n'était pas remplie, il faudrait augmenter certaines dimensions de la pièce.

Pour le fer, on peut prendre E = 16 x lo', si le mètre est pris pour unité de longueur; si c'est le millimètre, on prendr» E=: i6xio5.

Il est facile de voir, d'ailleurs, comment E varie avec les unités adoptées. C'est ce que nous allons indiquer en démontrant l'inégalité (b).

On doit avoir

à étant une fonction inconnue des trois quantités E, I, /.

L'inégalité doit, par sa nature même, être indépendante du choix