I.iaory = | L2a)(iF -^y) — 2a>(a7 — y) J
Si l'on mène les bissectrices Oj;' et Oy des axes, les distances du point k à ces bissectrices sont respectivement
-J- et -^
Donc, si Ijr' et I^, sont les moments d'inertie de l'aire e^Sl^e^^^ par rapport à Oo:' et O^, on aura
li-'j 1/ sont donc fournis par deux nouvelles opérations de l'intégrateur à l'aide de la roulette D3 en promenant le style M sur le pourtour du profil en long et l'autre extrémité de la tige désignée par AM dans la théorie de l'intégrateur; successivement sur O-r' et oy , Donc
On a donc les coordonnées du centre de gravité Ç et?) du remblai.
PLAMMÉTRB POLAIRE. J05
BEMARaUE AU SUJET DU DÉVELOPPEMEHT MÉGAHiaUE D'UNE FOHGTION EH 8ÉBIE TBIfiONOMÉTBIDlUE. — Dans son Mémoire de i856, Amsler indique aussi un moyen de déterminer mécaniquement les coefficients de la série de Fourier qui représenterait l'ordonnée d'une portion de courbe donnée, tracée sur le papier. Le principe est analogue à celui du § 1. Mais, si x est Tabscisse de la courbe, il faut qu'à chaque inclinaison a de la tige corresponde pour Taxe de la roulette une inclinaison ^ qui soit liée à a non plus par la relation
mais par celle
p = a«-h a'xH- h.
On peut obtenir ce résultat en plaçant à l'extrémité A de la tige une roue folle sur l'axe A et assujettie à rouler sur l'axe des x ou une parallèle à cet axe, pendant que le point M décrit la courbe donnée, et reliant cette roue à une roue concentrique calée sur l'axe, par un train épicycloïdal. Mais, comme cette ingénieuse disposition, qui peut être réalisée de diverses façons parmi lesquelles Amsler en indique une, n'a pas, à notre connaissance, reçu jusqu'ici la sanction de la pratique, nous nous bornerons à l'indiquer et à renvoyer, pour le détail, au Mémoire d'Amsler.
5o6 NOTE III.
SUR LFS COURBES FUNICULAIRES, PARTICULIÈREMENT CELLES d'égale RÉSISTANCE.
ÉaUAnOH DIFFÉBEUTIELU BGS COUBBES FimiCULAIBES S'ATOiS LEDH
DÉFINITION ftÉOMËTBiaUE (*). — SoientAB(yî^. 66,p.5o7)uiie courbe funiculaire d'un système de forces se succédant d'une manière continue, relativement à un pôle O, eta6 la courbe de ces forces.
Soit M un point de la première courbe ; par le pôle O menons un rayon vecteur Om parallèle à la tangente en M à la courbe funiculaire; nous déterminons ainsi (§ 4i6 bis) le point m de la courbe des forces correspondant au point M.
Soient, de même, M' un point infiniment voisin de M et //l' son correspondant sur la courbe des forces.
L'élément mm' représentera en grandeur, direction et sens la force qui agit sur l'élément MM' de la courbe funiculaire. Désignons par s l'arc AM par ds l'élément MM', par Fds la force qui y agit.
Soient Xy y les coordonnées du point M; $, r, les coordonnées de son correspondant m par rapport à deux axes rectangulaires quelconques Cx, C^;
Soient de même x + rfjc, y -\- dy eX \-\- rf^, t, + rfr, les coordonnées des points correspondants M' et m\
Désignons enfin par N le rayon polaire Om compté positivement de O vers /n, et par a l'angle qu'il fait avec Taxe des x. Si l'on écrit que les projections sur les deux axes de coordonnées du contour fermé 0 mm' sont nulles, on obtient les deux équations
— t/N cos a H- c?; = o, — û?N sin %-r- dT^ = o.
( ' ) Voir § 45 bis.
COURBES FUNICULAIRES. 5oy
Or, puisque mm' représente la force Frf^en grandeur, direction et sens, les projections de cette force, que nous appellerons Xrf^, Yds sont respectivement égales kd^ et k dr^,
Fiç. 66.
tu
D'autre part, le rayon Om étant parallèle à la tangente à la courbe funiculaire en M, on a
dx
cosa =
ds
Par suite, les deux équations ci-dessus donnent, en divisant par ds^
ds __ ,r «^ Y
ds
ds
qui peuvent être considérées comme représentant les courbes funiculaires des forces données F.
Car, si on les intègre, et qu'entre les deux équations intégrales on élimine l'inconnue auxiliaire N, on aura une équation entre les coordonnées x et^.
On peut donner à ces équations une autre forme souvent commode.
Au lieu de projeter le triangle 0mm sur les axes de coordonnées, projetons-le sur le rayon Om compté de O vers m et sur la perpendiculaire à ce rayon, c'est-à-dire sur une parallèle à la normale à la courbe funiculaire en M, comptée dans le sens positif que nous adoptons pour cette normale, sens tel que la normale parallèle àCj^ ait pour sens positif, celui des^ positifs.
On aura, en désignant par p la projection du point m' sur le rayon 0/n et par s l'angle infiniment petit des rayons O m et O/w',
N — (N-H c?N) cos£-f-/?m = o, — (N -f- <fN) sins -h/>/n' = o,
ou, en négligeant les infiniment petits du second ordre par rapport à ceux du premier, ce qui donne cose = i , sins = e,
Mais, si Y^ds et Ynds sont les projections de la force Fcfe = mni^ sur la tangente et la normale à la courbe funiculaire en M, on a
mp — F s ds, pm' = F„ds;
d'où, en divisant par t/5 et observant que e est l'angle des tangentes en M et en M' à la courbe funiculaire, que, par suite, ^ estlacourbure de cette courbe au point M, courbure que nous désignerons
(1) ff^ F - - F
ÉaUATIONS DIFFÉBENTIELLES DES GOUBBES FUHIGULAIBES D'AFBÎS UB0a DÉ- FINITION MÉGlNKIlUE. — On vérifie de suite, par ce qui précède, que si Ton regarde la courbe AB comme une ligne matérielle parfaite-
COURBES FUNICULAIRES. 5og
ment flexible, fixée en ses extrémités et soumise à l'action de forces données F ds : i^elle sera en équilibre*, 2^ la pression positive ou négative qu'elle supporte en chaque point M est représentée par le rayon polaire correspondant Ont, En eflet, pour que la courbe supposée flexible soit en équilibre, il faut et il suffit que chacun de ses éléments MM' soit en équilibre sous l'influence de la force F ds qui le sollicite et des pressions inconnues qu'il supporte en ses extrémités M et M'.
Si l'on désigne ces pressions par N et N -j- rfN, il faut donc et il suffit que les trois forces
N, N-4-rfN et Fds
forment un triangle tel que Omjn\ ou que les sommes de leurs projections sur deux axes soient nulles, ce qui conduit aux équations (1) ou (2) suivant qu'on projette sur les axes de coordonnées ou sur la tangente et la normale à la courbe AB au point M.
CAS DE FORGES PARALLÈLES. — Lorsque les forces agissantes sont parallèles, la courbe des forces ab se réduit à une ligne droite et la distance du pôle à cette droite est la distance polaire delà courbe funiculaire.
Nous supposerons, pour simplifier le langage, les forces verticales.
Théorème. — Lorsque les forces qui agissent sur une courbe funiculaire sont verticales, la projection horizontale de la pression ou tension de la courbe est constante en tous ses points et égale à sa distance polaire mesurée à l^ échelle des forces.
En eflet, supposons l'axe des y vertical.
Alors X = O et Y = F si l'on compte positivement les forces F parallèles à l'axe des Y, dans le sens des^ positifs.
La première équation (2), dont le second membre est nul, s'intègre une fois et donne
djc N -j- = q^ — const.,
ce qui établit le théorème.
5lO NOTE III.
On tire de là
ds dx
et, par suile^ la seconde des équations (a) devient, à cause de Y = F,
OÙ Y ds est la force agissant sur l'élément ds, c'est-à-dire que F
est la force agissante rapportée à lUinité de longueur de fa
courbe.
Supposons qu'on se donne la force agissante rapportée à Tunilé
de longueur de la projection horizontale de la courbe, c'est-à-dire
qu'on pose
Yds = Vdx,
et que ce soit P qu'on se donne.
L'équation ci-dessus devient
dx -. dx dy „ ,
OU
L'équalion (3) ou celle (3') représente l'équation différenlielle des courbes funiculaires des forces parallèles. On emploiera Tune ou l'autre suivant les données du problème. Elles sont du second ordre. Elles comprennent la constante arbitraire q^ qui représente la distance polaire, ou, ce qui revient au même, la valeur constante de la projection horizontale de la pression ou tension, suivant que yo est positif ou négatif. En les intégrant on introduit deux nouvelles constantes arbitraires, de sorte qu'on a bien le total de trois constantes que nous avons reconnu devoir entrer dans la définition de tout polygone, et par suite de toute courbe funiculaire.
COURBES FUNICULAIRES. 5ll
