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GOÏÏBBE FUNIGULAIBE BÉPOHDANT A UHE GHARfiE VERTICALE URIFO] BÉPARTIE SUIVAHT TJHE HOBBOHTALE. — Supposons la charge verticale uniformément répartie suivant une horizontale, par exemple suivant le tablier horizontal d^un pont suspendu ou supporté. Cela signifie que P est constant ; par suite, en intégrant deux fois de suite l'équation (3'), on a
(4) qojr = ^ -^hx-i-C,
P=p étant la charge constante par mètre et B et G deux constantes.
On voit, comme nous le savions, que la courbe est une parabole à axe vertical tournant sa concavité vers le bas ou vers le haut, suivant que ^Tq est positif ou négatif, c'est-à-dire suivant que la courbe est pressée ou tendue (supportée ou suspendue).
On peut disposer des trois constantes yo? B» G, de façon à faire passer la parabole par trois points donnés. En prenant le sommet pour origine et la tangente au sommet pour axe des x, l'équation se réduit à
(H .or-""'
Si 2a est la distance des points d'appui de niveau et /la flèche, pour X = a on a j^ =/, d'où la poussée
GHAERETTE DE 8EGTI0N GONSTANTE. — On ^li^^qWq chaînette la courbe d'équilibre d'une ligne matérielle de section constante suspendue ou supportée à ses extrémités. Ici, c'est le poids par unité de longueur de la chaînette ou courbe funiculaire qui est constant.
Appelons-le /?. On devra emplover l'équation (3) en faisant
On aura
dy dr
ds
Soit
On a d'ailleurs
dx
d'où
ds = ^dx* -H d/^ = dx /i 4-^'* ;
et; en intégrant,
dy' p dy p j
-^ = ^ , ou -^ =z ^- dx
as qo ^i,yi ço
qo
Xq étant une constante arbitraire, ou
■^(JC-jr.)
Par suite
d'où
■2. (jr-jr,) £.(x-X„)
qui montre que le point d'abscisse Xq est celui où la tangente est horizontale, et
La première, où l'on remplace j^' par sa valeur —» étant intégrée, donne
^(jr-x,) —E. (x-x,)
C'est l'équation de la courbe où entrent les trois constantes arbitraires ^0) Pj C dont on peut disposer de façon à faire passer la courbe par trois points donnés.
On peut aussi calculer la longueur d'une portion quelconque de la courbe.
COURBES FUNICULAIRES. 5l3
A cause de
ds^ dx\J \ -hy'* ,
r avant-dernière équation multipliée par dx donne
p p ds = ■ dx.
d'où
i- (jr — .ro) — -i-fjr — jr-„)
C élanl une constante qui dépend du point à partir duquel on compte les arcs.
Supposons qu'on les compte à partir du point d'abscisse Xq où la tangente est horizontale. On devra avoir 5 = o pour x = Xq ;
d'où C = o et
Supposons en outre qu'on prenne pour origine des coordonnées le point où la tangente est horizontale, ce qui donnera 0:0 = 0,
C = — — : Téquation de la courbe sera
Ço e'- -^ e " — 2
En déplaçant Taxe des x de la quantité — > on la ramène à la forme
(8) P^y='jtl
11 n'y entre que le paramètre — > de sorte que toutes les chaînettes sont semblables.
COURBES FUNICULAIRES D'ÉGALE RÉSISTANCE SOUS L'ACTION DE CHARGES VERTICALES. — L'équation (3' )
5l f NOTE iir.
est réqualion différentielle des courbes funiculaires de dislance polaire q^, d'une charge verticale constante ou variable P par l'unité de longueur de l'horizontale Cjc.
Supposons que P ne représente que les charges verticales, quelles qu'elles soient, autres que le poids propre de l'arc et mettons en évidence ce dernier.
Soient n le poids spécifique ou poids de l'unité de volume de la matière dont l'arc est formé et S sa section constante ou variable au point défini par les coordonnées x et y. Le poids d'une portion ds Ae l'arc sera
dx
Donc, rapporté à l'unité de longueur de l'axe des x, il est dx
^ di nS -7^ et l'équation (9) devient
Cherchons, la condition pour que l'arc soit d'égale résistance,
N c'est-à-dire pour que la tension ou pression ^ par unité de surface
qu'il supporte soit une constante donnée Rq positive ou négative selon queN est une pression ou une tension. Ainsi l'on doit avoir
