HO
d'où, en retranchant membre à membre,
-j-^ = C (^4 — .ra ) — Ga — const.
D'après cela, pour tracer le polygone, par le milieu de AB menons une verticale sur laquelle nous prendrons une longueur IG égale à la flèche donnée /.
La parallèle Cx k AB est tangente à la parabole et, si nous rapportons la courbe à l'axe Cx et à la verticale Gj^, son équation sera
puisqu'elle doit passer par les points A et B et par le point G.
On peut donc déterminer exactement les coordonnées de chacun des sommets 1,2, 3, connaissant les abscisses des barres, c'està-dire les rapports - qui sont des nombres entiers.
Il est, par suite, facile de tracer le polygone funiculaire que forme le câble et qui est assujetti à passer par les trois points donnés A, B, G sans recourir à la méthode générale du § 4o. On peut aussi la tracer directement (voir note III bis), ce qui fournit les sommets du polygone inscrit A 1.2. 3
Pour avoir les tensions, par un point O on mènera les parallèles Oa, O//?, ... aux côtés du polygone, et l'on coupera ce faisceau par une verticale quelconque ab. Nous savons que tous les segments i, 2, 3, . . . seront égaux entre eux; ab représente la charge totale que porte le tablier et, comme cette charge est donnée, on en déduit l'échelle des forces. Soit Q cette charge évaluée en
tonnes; on en conclut qu'une longueur -^ vaut une tonne.
A cette échelle, Oa sera la tension du côté Al, Ont celle du côté 1.2, etc.
RECHERCHE DES FORCES ELASTIQUES. liS
POUSSiE B'UH ABC PABABOUaUE POBTAHT tnCE GHARfiE YE&nCALE UHI- FOBME. — Si les barres de suspension se rapprochent indéfiniment, ou si la charge du tablier se trouve uniformément répartie sur lout le câble au lieu de l'être, par parts égales, sur des verticales équidis tantes, le polygone funiculaire se confond avec l'arc parabolique dans lequel il est inscrit. Ainsi, un arc parabolique à axe vertical portant une charge uniformément répartie suivant l'horizontale (tablier de pont) ou, ce qui revient au même, une charge uniformément répartie suivant sa corde, quelle qu'en soit l'inclinaison, et fixé à ses deux extrémités, reste en équilibre, même s'il est parfaitement flexible. Il forme une courbe funiculaire ou une courbe de pression (en d'autres termes, il est tendu ou comprimé), selon qu'il présente sa concavité vers le haut ou vers le bas ; dans le premier cas, il peut servir de câble à un pont suspendu ; dans le second, il peut former un arc de pont métallique supporté (sauf les précautions à prendre pour éviter l'instabilité).
Pour avoir les tensions ou pressions en ses divers points^ par un point O', on mènera (^^. 19', p. i43) des parallèles O'a, O'b à ses tangentes extrêmes ; il suffit pour cela sur la verticale IC du milieu de la corde de prendre une longueur IC double de IG et les droites C'A, C'B sont les tangentes aux extrémités de l'arc; on coupera l'angle aO'6 par une verticale ab.
Cette verticale représentera la charge totale du tablier.
Soient /7 la charge par mètre courant de corde AB et AB = 2 a ; la charge totale sera ab = ipa^ ce qui donnera l'échelle des forces, puisque, si p est exprimé en kilogrammes, il résultera de
cette égalité qu'une longueur représente un kilogramme.
La tension (ou pression) en un point M de l'arc sera, à cette échelle, égale au rayon vecteur issu de O' et parallèle à la tangente à la courbe en M.
Les tensions (ou pressions) supportées par les éléments extrêmes sont représentées par les rayons extrêmes aQf etO'6.
Celle aCy se décompose en une composante verticale coa et une composante O^co parallèle à la corde AB.
l46 2* SECTION. — CHÀP. VI.
Celle O'è, en une composante coO' parallèle à la corde et une composante verticale (06.
Les points fixes A et B sont généralement placés aux sommets de cidées en maçonnerie; la poussée O'w tend à renverser ces culées vers le dedans ou vers le dehors, suivant que l'arc est suspendu ou supporté.
Prenons le cas usuel où les points A et B sont de niveau. Alors le point (1) est au milieu de ab\ btù = aiù représente la demicharge totale du tablier, soity^a; donc la poussée est
0'{ù=pa : tangôO'o).
Or O^b est parallèle à la tangente à la parabole en B; donc tang60'(i) est le coefficient angulaire de cette tangente, puisque les axes Car, Cy sont rectangulaires. Or ce coefficient angulaire
Tu = —9 comme il résulterait aussi de l'équation de la courbe ;
donc la poussée est
O'cD =pa X — j. = ^-—^' if if
Ainsi, la poussée qiCun arc parabolique suspendu ou supporté dont la portée est 2 a, la flèche f, la charge par mètre courant de sa corde p, exerce sur ses culées est
On emploie parfois cette formule à titre de première approximation, pour calculer la poussée d'un arc peu différent de la parabole (comme un arc circulaire très surbaissé) lorsque sa charge est verticale et uniforme suivant la corde.
Pour un arc très surbaissé, elle se confond d'ailleurs avec la valeur approchée trouvée au § 83 pour la poussée d'un arc circulaire portant une charge normale uniforme (*).
(*) Voir, pour plus de développemeuts, la Note sur les courbes funiculaires.
REGHEBCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. l^J
