CHAPITRE VIL

SUITE DE LA RECHERCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. LES FIGURES RÉCIPROQUES ET LA MÉTHODE DE CULMANN.

sÉnnnov dks n&UBSs ftÉOMÉruauES fobmêbs pab les sTSTivES ab-

TIGULÉ8 C0ISIDÉRÉ8 DAHS CE GHAPITEE. — Considérons une figure formée de droites reliant des points distribués d'une manière quelconque dans un plan ; ces points sont ce que nous appellerons les sommets de la figure. Toute portion de droite comprise entre deux sommets sera appelée une ligne ou côté de la figure. Enfin nous désignerons par le mot nœud Fensemble des côtés partant d'un même sommet.

Nous ne considérerons que des figures dont les côtés passent au moins par deux sommets et nous pouvons admettre que chaque côté passe par deux sommets seulement. Il suffira pour cela, si i sommets sont placés sur une même ligne droite, de regarder les i — I segments qu'ils déterminent sur cette droite comme autant de côtés distincts de la figure.

roUB£8 BÉrOBMABLES, STBIGTEMEHT IHDËrOBMABLES ET A U6HES 8UB- AB0IDAITE8* — Nous diviserons les figures géométriques dont il >ient d'être parlé d'abord en deux classes : figures déformables ou dont les angles peuvent varier sans que les longueurs des côtés varient, et figures indéjormab les dont les angles sont déterminés lorsque les longueurs des côtés sont données.

Les figures indéformables comprennent elles-mêmes deux catégories qu'il importe de distinguer : celles qui sont telles qu'elles cessent d'être indéformables lorsqu'on supprime un seul de leurs côtés seront dites strictement indéformables ou strictement dé-*

l48 2* SECTION. — CHAP. VI.

finies de forme; celles, au contraire, qui ne perdent pas la qualité d^étre indéformables lorsqu'on supprime un ou plusieurs de leurs côtés seront dites alignes surabondantes y parce qu'elles contiennent plus de lignes qu'il n'est strictement nécessaire pour les définir de forme.

Un triangle est une figure strictement indéformable; un quadrilatère articulé est déformable; une figure formée par un quadrilatère et une de ses diagonales est strictement indéformable; un quadrilatère complet, c'est-à-dire la figure formée par les six lignes joignant quatre points d'un plan, renferme une ligne surabondante. Cinq de ces six lignes définissent entièrement la forme de la figure, de sorte que la sixième peut être trouvée, soit analytiquement, soit graphiquement à l'aide des cinq autres.

Ainsi, entre les longueurs des six lignes qui joignent quatre points d'un plan, il existe toujours une relation qui permet de trouver l'une d'elles en fonction des cinq autres.

P0LT60HE COMPLET A n SOMMETS ; lOMBBE BE GOHDRIOHS MÉGES8AIBE8 POUR LEDÉFIHIR. — La figure formée par l'ensemble des lignes joignant n points d'un plan deux à deux pourrait se nommer un polygone complet à./i sommets. Une telle figure renferme --^-^ ■

côtés. Mais il existe évidemment entre leurs longueurs un certain nombre de relations.

Pour les trouver toutes, envisageons deux des n sommets choisis arbitrairement A et B {Jig* 20, p. i49)- Les sommets restants sont au nombre de n — a ; les lignes qui les joignent deux à

deux, au nombre de •

Je disque toutes ces lignes, dont aucune n'aboutit aux points A et B, peuvent s'exprimer en fonction de celles qui aboutissent en ces deux points.

En effet, soit CD une ligne quelconque comprise entre deux sommets C etD. Entre les six lignes qui joignent les quatre points A, B, C, D, il existe une relation qui permet d'exprimer la ligne CD en fonction des cinq autres.

RECHEBCIIE DES FORCES ÉLASTIQUES. l49

Ainsi, entre les — lignes joignant les n points, il existe

relations. Ce sont d'ailleurs les seules distinctes qui

puissent exister ; car toutes les lignes, telles que CA et CB, joignant un sommet G aux deux points A et B, peuvent être prises arbitrairement, ainsi que la ligne AB.

Par chaque sommet C, passent deux lignes aboutissant en A et B, soit, pour les n — 2 sommets C, 2/1 — 4 lignes plus celle AB, en tout 2/1 — 3 qui sont arbitraires. Si on se les donne, toutes les

Fig. 20.

autres, au nombre de ^ '■ ■> s'en déduisent; elles sont donc

surabondantes. Les 2/ï — 3 lignes arbitraires et les ^

qui sont déterminées quand les premières sont données, forment d'ailleurs bien la totalité des lignes de la figure ; car on a identiquement

{n — '>:){n— 3) njn — i )

Si, dans les — équations existant entre les longueurs de tous les côtés de la figure, au lieu de regarder comme connues toutes les lignes, au nombre de in — 3, qui aboutissent aux deux points particuliers A et B et comme inconnues les autres, on suppose donnés 7.n — 3 côtés quelconques, on pourra en déduire les côtés restants.

Il va de soi qu'il faut, pour cela, que les côtés qu'on se donne soient indépendants les uns des autres, c'est-à-dire que, parmi eux, il ne s'en trouve pas qui soient tellement choisis, qu'entre leurs longueurs il existe une relation en vertu des équations mêmes qu'il s'agit de résoudre. Telles seraient six lignes joignant quatre points de la figure; les longueurs de six pareilles lignes ne sauraient être

l50 2* SECTION. — CHAP. VIK

données arbitrairement sans que les données fussent en contradiction avec les équations à résoudre, et le problème serait impossible; si on les donnait de façon que la relation qui existe entre elles fût satisfaite d'elle-même, cela équivaudrait à n'en donner que cinq distinctes, et le problème serait indéterminé.

Mais, si les 2/1 — 3 côtés donnés sont indépendants, les équations fourniront les grandeurs de tous les autres côtés de la figure en fonction de ceux-là.

Les expressions qu'on trouvera indiqueront, dans chaque cas, si le problème est possible ou non. Ainsi, trois côtés d'un triangle le définissent; mais, pour qu'on puisse le construire, il faut que le plus grand côté soit moindre que la somme des deux autres. Dans toute figure, les côtés donnés devront ainsi satisfaire à certaines inégalités que l'Analyse ou la Géométrie définira pour chaque figure.

Mais, si une figure est construite et, par conséquent possible, la connaissance de 2/1 — 3 de ses côtés (supposés distincts) définira les autres. Ainsi :

Théoi\ème. — Pour que les distances mutuelles de

n points dhin plan soient déterminées, il faut et il suffit que 2/1 — 3 d* entre elles soient connues,

Ot, quand on connaît toutes les distances mutuelles de divers points, on connaît aussi les angles que ces lignes font entre elles, puisque un quelconque de ces angles fait partie d'un triangle dont on connaît les trois côtés. On a donc tous les éléments qui constituent la forme de la figure. Donc : une figure à n sommets est déterminée de forme par la connaissance de 2n — Z de ses côtés.

HOMBBE DE COTES D'UHE HCUBE DÉFOBKABLE, STBIGTEMERT USÉloa-

■ABLE, A LIGUES SURABOHDAIITES. — D'après cela, soit m le nombre

des côtés existant réellement dans une figure donnée à n sommets;

1 A \ - nin — i) m sera au plus égal a •

Posons

m — 'in — 3 -T- A-,

k étant un nombre entier.

RECHERCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. l5l

1® Si A: <C o, la figure est déformable; car, même en se donnant les longueurs de tous ses côtés, la forme de la figure n'est pas définie et ses angles peuvent varier.

2** Si A" = o, la figure est strictement indéformable;

3** Si A*}>o, la figure contient k lignes surabondantes, c'està-dire que, 2/1 — 3 lignes de la figure étant données, la connaissance des k autres s'ensuit.

SÉnimOH ftÉOMÉTBiaUE B£8 nfiUBES LIBBEKEHT DILATABLES. — Nous dirons qu'une figure, comme celles dont il vient d'être parlé, est librement dilatable, lorsque chaque côté peut à volonté se dilater ou se contracter, dans certaines limites, sans que les autres côtés en soient influencés. Ceci exige que chaque côté puisse être séparément allongé ou raccourci dans certaines limites, tous les autres côtés conservant rigoureusement leurs longueurs. En particulier, la longueur de chaque côté doit pouvoir être augmentée ou diminuée d'une quantité infiniment petite, tous les autres côtés conservant leurs longueurs, soit rigoureusement, soit aux infiniment petits près d'ordre supérieur à l'allongement positif ou négatif du premier côté.

11 est évident que, pour qu'une figure soit librement dilatable, il est en général nécessaire et suffisant qu'elle ne contienne aucune ligne surabondante, en d'autres termes, qu'elle soit déformable ou strictement indéformable.

La condition est en général nécessaire. Prenons, en effet, une figure renfermant une ligne surabondante, par exemple les six lignes joignant quatre points. Comme les longueurs de cinq de ces six lignes déterminent la longueur de la sixième, on ne peut pas en laisser cinq invariables sans que la longueur de la sixième reste elle-même invariable; inversement, si la longueur de l'une d'elles change d'une quantité finie ou infiniment petite, les longueurs des cinq autres changeront, en général, de quantités de même ordre. Le même raisonnement s'applique, à plus forte raison, si la figure contient plus d'une ligne surabondante (*).

(*) Ce raisonnement peut toutefois être en défaut.

Considérons, par exemple, une figure renfermant une ligne surabondante, de

l5i 'A* SECTION. — CHAP. VII.

La condition est aussi, en général, suffîsante.

En effet, dire qu'une figure ne contient aucune ligne surabondante, c'est dire que tous ses côtés sont indépendants les uns des autres, qu'ils peuvent être choisis arbitrairement; par conséquent on peut augmenter ou diminuer la longueur de l'un quelconque d'entre eux, les longueurs des autres restant invariables, sans que la figure cesse d'être possible ( ' ).

sorte qu'entre les longueurs a^y a,, a,/ ..., a„ des m côtés qui la composent, il existe une relation géométrique pouvant s'exprimer par une certaine équation

Concevons qu'on construise une nouvelle figure infiniment peu diflfércnte de U première avec des côtés de longueurs a, -r-Sa,, a, -h Sa,, a^-^-oa^, .... Entre les longueurs de ses côtés, on aura la relation

/(a,---oflr„ a^'\-oa,y a^+ôa^, ..., a...-l-5fl„.) -^ o, et, en retranchant les deux équations membre à membre,

qui indique bien qu'en général les m côtés ne peuvent pas recevoir des allongements indépendants. Mais supposons que les m longueurs a,, a,, a,, ..., a^ soient choisies de manière à satisfaire aux m équations

àa, da^ Oa, Oa^

Alors la relation entre les allongements oa,, 8a,, ..., 6a„ se trouve satisfaite, quels que soient ces allongements. Dans ce cas, quoique la figure contienne une ligne surabondante, ses divers côtés peuvent recevoir des dilatations infiniment petites, entièrement arbitraires.

Si l'on avait seulement •— — o, alors le côté a, pourrait être dilaté, tous les

autres conservant leurs longueurs.

(*) Mais ici aussi il y a des cas d'exception qu'il importe de signaler.

Quoique les côtés d'une figure strictement définie de forme soient indépendants, en ce sens qu'il n'existe entre eux aucune équation permettant de déduire algébriquement l'un d'eux de la connaissance des autres, la possibilité de la figure exige, comme il a été dit plus haut, que les longueurs de ses côtés satisfassent à des conditions d*inégalité qui font que, tous les côtés, sauf un, restant de longueurs invariables, la longueur du dernier ne puisse varier qu'entre certaines limites. Si donc la figure donnée a été constituée de façon que le côté en question ait précisément Tune des valeurs extrêmes qu'il ne peut franchir sans que la figure cesse d'être possible : i** si c'est une valeur maxima qu'il a, on ne pourra pas le dilater; a<* si c'est une valeur minima, on ne pourra pas le contracter, sans que

BECIIERGHE DES FORCES ELASTIQUES. l53

DÉFIHITIOlf DES FIGUBES BÉGIPROftlJES. — Deux figures, comme celles définies au § 87, sont dites réciproques lorsqu'elles satisfont aux conditions suivantes :

i** Qu'à chaque ligne ou côté de l'une réponde une ligne

la figure cesse d'être possible. On conçoit donc qu'on puisse former de la sorte des figures strictement indéformables qui ne soient pas librement dilatables.

Comme exemple, considérons {fig. 21) deux triangles ABC, abCy et relions les sommets par trois droites Aa, B6, Ce. On aura une figure à six sommets et neuf côtés. Elle a le nombre de côtés voulu pour être strictement indéformable ou strictement déterminée de forme; car, si n - 6, on a 2n — 3 — 9.

Pour la construire, plaçons le triangle ABC dans une position fixe quelconque: traçons ensuite le côté A a dans une direction arbitraire et achevons le quadrilatère PC&ab dont la position est déterminée pour chaque position de A a.

Si ensuite on achève le triangle abc^ on voit que son sommet c est aussi déterminé pour chaque direction de A a. Si l'on fait varier cette dernière dii*ection, le point c décrit une certaine courbe.

Si du point C comme centre, avec le côté donné Ce pour rayon, on décrit une

Fig. 21.

circonférence, elle coupera la courbe lieu du point c en un certain nombre de points qui fourniront un nombre fini de solutions du problème.

Considérons Tune des figures ainsi obtenues; ses angles sont déterminés, c'esti-dire que la figure est bien indéformable.

En général aussi, elle est librement dilatable; si on laisse tous les côtés donnés invariables, qu'on change un peu la longueur de l'un d'eux, on pourra, avec ces nouvelles données, construire, en général, une nouvelle figure un peu différente de la première, et une seule.

Ainsi, chaque côté peut, en général, être dilaté ou contracté indépendamment des autres sans que la figure cesse d'être possible.

Mais il y a un cas d'exception.

Supposons que les premières données, celles à l'aide desquelles on a tracé la figure ABCa6c, soient telles que l'arc décrit du point C comme centre avec le

l54 2' SECTION. — CHAP. VII.

parallèle de l'autre, et une seule; deux lignes qui se correspondent ainsi seront dites réciproques l'une de l'autre ou correspondantes ;

2° Qu'à chaque nœud (ensemble des lignes issues d'un sommet) de l'une réponde, dans l'autre, un polygone fermé.

Une figure quelconque n'admet pas nécessairement une figure réciproque. Pour qu'une figure admette une réciproque, il est nécessaire (mais non suffisant) :

1® Que chacun de ses nœuds comprenne au moins trois côtés ;

2° Que, parmi les systèmes de polygones fermés que comprend la figure, il en existe au moins un, tel que chaque côté de la figure fasse partie de deux des polygones de ce système et de deux seulement.

En effet,

I® A un nœud de la figure considérée doit répondre un polygone fermé dans la figure réciproque; et, comme un polygone fermé

côté donné Ce pour rayon, au lieu de couper en c le lieu décrit par ce point, lui soit tangent.

Il suffit, pour cela, tous les côtés autres que Ce ayant été choisis à volonté (sous réserve, bien entendu, que les triangles ABC, abc puissent être construits avec les côtés donnés) qu'on prenne pour le côté Ce la longueur de Tune des normales abaissées du point C sur le lieu des points c. Supposons, pour fîxcr les idées, que cette normale représente la plus courte distance du point C à la courbe, Heu des points c. Alors la figure ABCaftc est encore possible; mais elle cesse de Têtre si l'on prend pour Ce une nouvelle valeur un peu plus faible que la normale dont il s'agit. Ainsi, dans ce cas, la figure ABCaôe, quoique parfaitement et strictement déterminée de forme, n'est pas librement dilatable, puisque, si le côté Ce se contractait, la figure ne pourrait plus exister.

Ce cas est celui où les trois côtés Aa, B6, Ce concourent en un même poinL En cfi'et, la tangente au lieu du point e est facile à construire. Ce point est invariablement lié aux deux points a et 6 qui sont eux-mêmes assujettis à se déplacer sur des circonférences décrites respectivement des points A et B comme centres. Donc le centre instantané de rotation de la figure invariable abc est le point de rencontre S des normales Aa, Bô aux trajectoires des deux points dont il s'agit; et, d'après les principes delà Cinématique, Se est la normale au Heu du point e.

Si donc on veut que la ligne Ce soit elle-même normale à ce lieu, il faut que les trois points S, e, C soient en ligne droite.

Sauf les cas d'exception de ce genre pour l'étude complète desquels nous renvoyons à la note relative à ce sujet (t. II de cet Ouvrage), une figure strictement indéformable ou strictement définie de forme est aussi librement dilatable, tandis qu'une figure à lignes surabondantes n'est pas librement dilatable, même infiniment peu.

RECHERCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. l55

comprend au moins trois côtés, il faut que chaque nœud de la proposée comprenne au moins trois côtés ;

2® Un côté d'une des figures considérées passe (§ 87) par deux sommets et deux seulement.

Donc, chaque côté de la figure réciproque, si elle existe, fait partie de deux nœuds, et de deux seulement; son correspondant, dans la proposée, fera donc partie de deux polygones fermés répondant à ces nœuds et ne fera partie d'aucun autre polygone fermé répondant à un nœud de la réciproque.

Il existe donc bien, dans la proposée, au moins un système de polygones fermés jouissant de la propriété énoncée ci-dessus (2°).

DÉFmnOH DES SYSTÈMES ABTIGULÉ8. — Supposons à présent que chaque sommet soit (§ 73) un point d'articulation, que chaque côté soit la ligne de jonction des deux points d'articulation d'un corps ; nous aurons l'idée de la forme géométrique des charpentes ou systèmes articulés que nous nous proposons d'étudier.

A la place de chaque côté il faut concevoir placé un corps symétrique par rapport au plan de la figure, de forme d'ailleurs quelconque, traversé par deux charnières placées aux extrémités de ce côté.

On voit, d'après cela, que chaque corps est traversé par deux charnières, et par deux seulement, mais qu'une même charnière peut traverser un nombre quelconque de corps, puisqu'elle en traverse autant qu'il y a de côtés de la figure géométrique, issus du sommet que forme le centre d'articulation de la charnière considérée.

En général, les corps usités se réduiront à de simples barres cylindriques de faibles dimensions transversales. C'est pourquoi nous désignerons souvent les corps sous le nom de barres ou tiges; mais il importe de remarquer que chaque corps peut être de forme quelconque, de sorte qu^ilpeut lui-même être formé d'un système de barres, et cette considération nous permettra de décomposer des systèmes articulés plus ou moins complexes en d'autres plus simples et faciles à étudier.

l56 2* SECTION. — CHAP. VII.

OBJET OU PROBLÈME A BÉSOUBBE. — Des forces données toutes situées dans le plan de symétrie agissent soit sur les corps, soit sur les charnières, c'est-à-dire sur les points d'articulation (points que Ton doit regarder comme distincts des corps auxquels ils servent de pivots) et Ton demande : i** de trouver les conditions d'équilibre de ces forces ; a^'ces conditions étant supposées remplies, de déterminer les réactions que les corps éprouvent de la part des charnières; 3° les résultantes des forces élastiques qui s'exercent dans une section quelconque faite dans l'un des corps.

Nous savons que le premier problème est toujours soluble par la Statique (§ 50); nous savons aussi que, une fois connues les réactions que chaque corps éprouve de la part des deux charnières qui le traversent, on peut tracer le polygone des pressions et, par suite, connaître les résultantes des actions élastiques dans l'une quelconque des sections qu'on y ferait. Ainsi, la principale difficulté consiste dans la résolution du problème 2°.

Nous nous proposons de montrer qu'il peut être résolu par la Statique toutes les fois (sans exception) que la figure formée par la charpente que l'on considère est librement dilatable et seulement dans ce cas. Mais, avant de nous occuper de cette proposition fondamentale, nous la vérifierons sur un type de charpente particulièrement important par ses applications et intéressant en raison de la facilité avec laquelle il se prête aux méthodes graphiques.

PBQTCIPES APPUGABLE8 A TOUS LES STSTÈHE8 ABTIGULÉS. — Pour qu'un système articulé soit en équilibre^ il faut et il suffit que chacune des parties dont il est composé, c'est-à-dire chaque corps et chaque charnière, soit séparément en équilibre.

Chaque corps peut être regardé comme libre sous l'action des forces qui lui sont directement appliquées et des réactions qu'il éprouve de la part des charnières supposées au nombre de deux qui le traversent.

RECHERCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. iSy

Considérons {fig- a) un corps A articulé en a et 6 avec d'autres corps en nombre quelconque.

On peut le détacher de tout le reste et le regarder comme libre (Jig- p et P', p. i58), pourvu qu'aux forces qui lui sont directement appliquées on adjoigne des réactions convenables passant (§50) par les points d'articulation.

1° Si (Jig» P) aucune force directemen t appliquée n'agit sur lui, il sera en équilibre sous la seule influence des réactions des charnières. Ces forces, que nous désignons par /^^ et /^'^, devront donc être égales, dirigées suivant la droite ab et de sens opposés.

Si ces forces sont, comme sur la figure, dirigées de façon à com-

Fig. a.

primer le corps A suivant la ligne a6, ou, comme nous dirons par abréviation, de façon à comprimer cette ligne, ce sont des pressions; dans le cas contraire, des tensions.

L'équilibre du corps A se trouve ainsi assuré, quelle que soit la grandeur commune des forces /^^ ^^fia* On peut inversement détacher ijig' a) ce corps sans troubler l'équilibre du reste du système, pourvu qu'aux charnières a et 6 on applique des forces égales aux pressions qu'elles éprouvent de la part du corps, c'est-à-dire des forces /rt* elfta respectivement égales et opposées à/^^ et fj^^.

Observons que si, comme l'indique isijig» P, le corps A est comprimé parles essieux qui le traversent, inversement il tend à écarter les essieux l'un de l'autre, c'est-à-dire que si les forces /^^ /àa ^ppiiçué^s o.^' corps sont attractives, celles fab et Jba appliquées aux essieux ou point d'articulation sont répulsives et vice versa.

2^ Supposons maintenant {fig* ^') que le corps A soit soumis à des forces directement appliquées dont la résultante est R.

|58 a' SECTION. — CHAP. VII.

Décomposons les réactions des charnières en leurs composantes / et r\ parallèles à R et leurs composantes/^^ et /^'^ suivant la ligne ab ; les cinq forces

devant se faire équilibre, leur polygone des forces doit se fermer. Or, les premières étant parallèles entre elles et les secondes de même direction, on voit que cela exige que le polygone des trois premières se ferme séparément ainsi que celui des deux dernières, c'est-à-dire que celles-ci soient égales et opposées ; mais alors elles satisfont aux conditions d'équilibre relatives à des corps solides.

Fig. p. Fig. p'.

^' J-< o j [oA 'D^/o^î

Donc, les trois premières doivent, de leur côté, être en équilibre. Ainsi les composantes r', r\ sont déterminées et peuvent être trouvées graphiquement (§ 42, ProbL /), et la valeur commune des deux forces /^i,^ fia reste seule inconnue.

Les pressions exercées par le corps A sur les essieux seront égales et opposées à ces réactions, c'est-à-dire qu'elles se composeront des forces /ûi ei/àa i^fig^ ot)j comme dans le cas précédent, et en outre, des forces r et r^ égales et opposées à Z et r\ et qu'on obtiendra directement en décomposant la force R en deux autres parallèles portant sur les charnières (§42). Ainsi :

Théorème I. — Si un corps A est relié à d^ autres corps en nombre quelconque par deux articulations seulement:

1° Si aucune force directement appliquée n'agit sur le corps A, pour que le système tout entier soit en équilibre, il faut et il suffit que ce système privé du corps A soit en équilibre sous V influence des forces qui lui sont directement appliquées et de deux

RECHERCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. iSg

forces appliquées aux deux points d^ articulation , dirigées suivant la ligne qui les joint et de sens contraires.

Si ces forces sont altraclives, le corps A est tendu suivant la ligne qui joint les deux points d'articulation; si elles sont répulsives, il est comprimé suivant cette ligne,

a** Si le corps h. supporte lui-même des forces, on rentre dans le cas précédent en décomposant leur résultante en deux autres r et rx {fig, a) de même direction qu'elle, appliquées aux deux charnières.

Si les forces données agissant sur le corps A se réduisaient à un couple, on ferait la décomposition pour chacune des deux Jorces du couple.

D'après cela, on peut, dans les recherches des conditions d'équilibre des systèmes articulés comme ceux que nous considérons, aussi bien que dans la recherche des actions mutuelles entre les corps et les charnières, supposer qu'il n'y a de forces directement appliquées que sur les charnières (•). C'est ce que nous ferons. Alors, en vertu du théorème précédent, les conditions d'équilibre du système ne sont pas modifiées si l'on enlève successivement chacun des corps, pourvu que, suivant la droite qui joint ses deux points d'articulation, on applique deux forces égales et opposées.

Tous les corps étant ainsi enlevés, il ne restera que les charnières qu'on peut regarder comme libres et indépendantes les unes des autres^ sous l'action des forces qui leur sont directement appliquées, et de celles qu'on a ajoutées pour tenir lieu des corps enlevés.

Pour que le système tel qu'il existait en réalité soit en équilibre, il faut et il suffit que chacune des charnières soit en équilibre, c'est-à-dire (§ 29) que le polygone des forces qui la sollicitent se ferme, puisque toutes ces forces passent par les centres d'articu lation qu'on a ainsi le droit de considérer seuls.

Ainsi :

(*) Mais les conditions d'équilibre assurées et les actions mutuelles connues, si Ton veut chercher la répartition des pressions ou tensions que ces forces font naître à Tintérieur de chaque corps, il faudra restituer à chaque force son véritable point d'application et construire, pour chaque corps, le polygone des pressions, selon les principes établis au Chapitre précédent.

l60 '2* SECTION. — CHAP. VII.

Théokèmb il — Etant donné un système articulé formépar des corps en nombre quelconque, ne portant chacun que deux charnières et soumis uniquement à des forces appliquées aux points d^ articulation, si Von applique suivant la ligne qui joint les deux centres d* articulation de chaque corps une paire de forces égales et opposées y pour que le sytème soit en équilibre, il faut et il suffit que chaque point d'articulation considéré comme libre soit en équilibre y cest^à-dire qu^ il faut et il suffit que le polygone formé par les forces directement appliquées en chacun de ces points et celles qu'on a ajoutées se ferme.

Les corps pour lesquels la paire de forces ajoutées est attractive sont tendus; ceux pour lesquels elle est répulsive sont comprimés. On peut encore dire plus simplement que si, soit la force fab {fig. a), appliquée en a, soit celle /^^ appliquée en b tombe sur le prolongement de afr, le corps est comprimé; dans le cas contraire, il est tendu.

Remarque, — Si des forces agissent sur les corps eux-mêmes, on les reporte sur les charnières, comme il est indiqué ci-dessus.

APPUGATION AUX FRAMEWORKS OU SYSTÈMES BÉTIGULAIBES. — On

nomme systèmes réticulaires om systèmes simplement triangulés ou Frameworks (en allemand Fachwerck) des charpentes formées par la juxtaposition de triangles suivant le type indiqué sur la fig. 64, PL XIII.

Elles se composent :

1® D'un polygone de pourtour, abcdefghja dont les côtés seront appelés les barres principales ;

2^ De barres placées diagonalement à l'intérieur du polygone de pourtour^ comme il est indiqué sur la figure.

Ces barres se nomment les barres de remplissage et, suivant les cas, bracons ou étrésillons ; parfois, celles inclinées d'un côté, à savoir, bj\ ch, dg, prennent les noms de bracons ou étrésillons, les autres c/', rf/i, eg prennent le nom de contre-bracons ou contreétrésillons. Quand il y a des barres verticales elles prennent souvent le nom àe poinçons.

RECHERCHE DES FORCES ELASTIQUES. l6l

Les caractères essentiels de ces systèmes sont les suivants :

a. Se composant de triangles simplement juxtaposés, ils forment des figures strictement indéformables et librement dilatables ;

b. 11 existe au moins un nœud, et, en général, deux (ici ceux a et/) ne comprenant que deux barres; au moins un nœud et, en général, deux (ici b et e) ne comprenant que trois barres;

c. Par un point quelconque on peut faire, dans la charpente, ane section xy rencontrant au plus trois barres.

Remarque. — Les noms de /rames, fram.eworky fachwerk^ systèmes réticulaires sont des noms génériques qu'on applique souvent à des systèmes articulés quelconques. Quand nous le ferons, nous le dirons explicitement.

A. — Systèmes réticulaires libres.

§ 96 bis.

WtaWZ ftÉHÉRALB POUR DiTEBHIHER LES TEHSIOVS OU PBE88I0N8 DAH8 QI FBâHEWOBK OU 8T8TÈ1IE BÉTIGULAIBE UBBIL — Supposons qu'aux divers sommets ou en quelques-uns agissent des forces données. On demande de trouver leurs conditions d^équilibre ainsi que les tensions ou pressions qu'elles déterminent dans les lignes de jonction.

1* Conditions d'équilibre. — Pour comprendre, dans les considérations qui vont suivre, toutes les circonstances qui peuvent se présenter, nous avons supposé qu'il agit des forces sur certains sommets seulement.il s'en exerce aux points 6, c, e, /, A, a, tandis qu'on n'en suppose pas aux points d^ g^ j. La figure formée par la charpente étant indéformable, pour que les forces qui la sollicitent soient en équilibre, il faut et il suffit que leur polygone se ferme ainsi qu'un de leurs polygones funiculaires. Pour vérifier s*il en est ainsi, partons de l'une quelconque des forces données, par exemple, de celle appliquée en b ; numérotons-les en suii^ant le polygone de pourtour de la charpente.

Nous avons ainsi les lignes d'action

if 2, 3, 4y 5, 6.