FORCES PARALLELES DANS L ESPACE

el supposées de même sens coupe la ligne ab et soient/? et q les distances de ce point aux deux forces données. Le moment de la résultante cherchée R par rapport au point c est nul ; donc (§ 111 ) il en est de même de la somme algébrique des moments de ses composantes P et Q.

Ceci exige que ces deux moments soient de signes contraires ou que les forces P et Q tendent à faire tourner leurs bras de levier/? et q en sens opposés. Il est nécessaire, pour cela, que le point c soit placé entre les points a et 6 et alors le théorème fournit la relation

Vp — (lq = 0

q ac

ou -^ = - = —, p cb

Si {Jig- Sa) les forces P el Q sont de sens contraires, la néces-

site que la somme des moments des forces P et Q par rapport au point c de la résultante soit nulle ou que ces moments soient égaux el de signes contraires exige que le point c ne soit plus entre les points a el 6 el que Ton ait toujours les équations (a).

Remarque. — Si les deux forces parallèles et de sens opposés sont égales, elles fournissent un couple et n'admettent pas de résultante. Ce cas écarlé, qu'il s'agisse de deux forces de même sens ou de sens opposés, la position du point c où la ligne d'action de la résultante coupe la droite qui joint les points d'application a et 6 des deux forces ne dépend ni de la direction commune de ces forces, ni de leurs grandeurs absolues, mais seulement de la position de ces points d'application et du rapport des grandeurs des forces. Le point c ne changerait donc pas si Ton modifiait les intensités

aioa a' section. — chap. ix.

des deux forces dans un même rapport et si Ton faisait tourner leurs lignes d'action d'un même angle quelconque et dans le même sens, autour des points a et h,

CENTBE DES FORCES PABALLÈLES. SA DÉTEBMIHATIOir ttBlPmaUE. —

Thi-iorème. — Étant donné un système de forces parallèles situées ou non dans un plan, si, sans changer les rapports de leurs grandeurs, on fait tourner chacune d'elles d'un même angle a et dans le même sens, autour d'un point fixe arbitrairement choisi sur sa ligne d'action, leur résultante ne fera elle-même que pivoter autour d'un point fixe, indépendant de l'angle ol et du rapport dans lequel on a modifié les grandeurs des forces.

Ce point fixe se nomme le centre des forces parallèles.

La remarque du paragraphe précédent établit le théorème dans le cas de deux forces.

Supposons-le démontré pour un système de i forces, je dis qu'il sera vrai pour i -f- i. En effet, soient Q la résultante des / premières forces données et R la résultante de Q et de la (* 4- i)**""' que nous nommerons P/^i : R sera ainsi la résultante de toutes les forces données.

Faisons tourner chacune de ces forces d'un même angle quelconque autour d'un point fixe et modifions leurs grandeurs dans un même rapport quelconque : par hypothèse, la résultante Q des i premières forces tournera du même angle autour d'un point fixe et sera modifiée dans le même rapport; mais alors la résultante de Q et de P/+i, c'est-à-dire la résultante R de toutes les forces données, tournera elle-même autour d'un point fixe et sera modifiée dans le même rapport en vertu de la remarque du paragraphe précédent. Donc, si le théorème est vrai pour /forces, il est vrai pour t -f- i .

Etant établi pour deux forces, il est donc vrai pour trois, par suite pour quatre, et ainsi de suite pour un nombre quelconque.

Remarque /. — Lorsque les points d'application d'un système de forces parallèles distribuées d'une manière quelconque dans