SURFACES ET LIGNES
POIDS ET CENTRE DE 6RAVITÉ D'UN CORPS, D'UNE SURFACE, D'UNE LlfiNE.
— On nomme pesanteur ou gravité la cause qui sollicite les corps à descendre vers la terre lorsqu'ils sont abandonnés à euxmêmes.
L'expérience prouve que cette cause se fait sentir sur toutes les molécules d'un corps. En un même lieu elle agit de la même manière sur toutes ces molécules, quelles qu'en soient les masses; car, dans le vide, un duvet et une balle de plomb tombent de la même hauteur avec la même vitesse.
La résultante des actions de la gravité sur toutes les molécules d'un corps est ce qu'on nomme le poids de ce corps.
La direction de la pesanteur, assez bien représentée par un fil à plomb, est ce qu'on nomme la verticale; tout plan ou toute ligne perpendiculaire à cette direction se nomme un plan horizontal ou une ligne horizontale.
Toutes les verticales issues des divers points d'un corps sont sensiblement parallèles, et nous les regarderons comme étant rigoureusement parallèles.
Le centre des forces parallèles qui agissent sur un corps en vertu de la pesanteur prend le nom de centre de gravité du corps. Ainsi (§ 121) le centre de gravité d'un corps est un point pris sur la ligne d'action de la force représentant le poids de ce corps, point tel qu'il ne changerait pas à l'intérieur du corps, si l'on imaginait qu'on fît tourner d'un même angle a toutes les forces verticales agissant, en vertu de la pesanteur, sur les différentes particules dont le corps se compose, autour de leurs points d'application.
CENTRES DE GRAVITE DES CORPS. 21 t
On ne peut pas, à la vérité, modifier ainsi la direction des forces de la pesanteur; mais on fait quelque chose d'équivalent en inclinant le corps lui-même d'un angle a, relativement à la verticale. Donc la propriété qui caractérise le centre des forces parallèles en général peut, quand il s'agit de la pesanteur, être exprimée ainsi : il existe à l'intérieur de chaque corps un point idéal par lequel passe constamment la résultante des actions que la pesanteur exerce sur ce corps, quelque position qu'on lui donne dans l'espace. Ce point se nomme le centre de gravité du corps.
On appelle densité ou mieux poids spécifique d'un corps homogène le poids de l'unité de volume de corps, ou, si l'on veut, le rapport du poids de ce corps à son volume.
Si, tout autour d'un point m d'un corps hétérogène, on conçoit une petite portion de ce corps, le rapport du poids de cette portion à son volume est sa densité moyenne ou son poids spécifique moyen; la limite vers laquelle tend ce rapport lorsque la portion considérée du corps décroît indéfiniment, sans cesser de passer par le point m, est ce qu'on nomme la densité du corps en ce point.
Nous considérerons aussi des surfaces et des lignes pesantes, en admettant que la gravité s'exerce sur les surfaces homogènes en raison de leur étendue, et sur les lignes homogènes en raison de leur longueur. La densité d'une figure homogène est donc le poids d'une portion de cette figure ayant une aire égale à l'unité de surface; la densité d'une ligne homogène, le poids d'une portion de cette ligne égale à l'unité de longueur.
De là on passe, comme nous venons de le faire pour les volumes, à la définition de la densité en chaque point d'une ligne ou d'une surface hétérogène.
MÉTHODE 6É1IÉBÂI.E POUE LA DÉTEBMDXITION GBAPHiaUE DES GEHTEES DE fiSAVITÉb — Le centre de gravité n'étant autre chose que le centre des forces parallèles dues à la gravité, la méthode générale indiquée au § 121 pour la recherche graphique du centre des forces parallèles s'applique à la recherche des centres de gravité. Toutefois, dans cette dernière recherche, on a affaire non plus à un nombre limité de forces dont on connaisse le polygone des forces et dont il soit aisé de construire les polygones funiculaires, mais aux
forces en nombre illimité que la gravité exerce sur les diverses particules des lignes, des surfaces ou des corps. Le premier objet que Ton se propose, en général, dans la recherche graphique des centres de gravité, c'est de substituer aux actions de la pesan> teur un nombre fini de forces parallèles qui leur soient équivalentes ; il ne reste ensuite qu'à déterminer le centre de ces dernières forces.
On peut appliquer cette méthode toutes les fois que la figure dont on cherche le centre de gravité peut être décomposée en un nombre fini d'autres figures plus simples et dont on sait trouver les centres de gravité ; car alors il suffit de concevoir qu'aux centres de gravité des figures composantes soient appliquées des forces parallèles et proportionnelles aux poids de ces figures, et de chercher le centre de ces forces parallèles.
Ainsi, par exemple, si l'on sait trouver le centre de gravité d'un tétraèdre, on sait trouver le centre de gravité d'un polyèdre quelconque, tout polyèdre étant décomposable en tétraèdres; de même, si l'on sait trouver le centre de gravité d'un triangle, on peut trouver le centre de gravité d'un polygone à un nombre quelconque de côtés, et ainsi de suite.
Il V a deux cas à considérer :
\^ Supposons qu'un volume A (et ce que nous disons des volumes s'applique aussi bien aux lignes et aux surfaces) soit la somme d'autres volumes A|, As, ..., A^, de telle façon que
A = AiH- AjH- As-h. . .-H An.
Si, au centre de gravité des figures dont les volumes sont A|, Aj, A3, ... , on applique des forces proportionnelles à ces volumes, parallèles, de même sens et de direction dailleurs quelconque^ le centre de ces forces parallèles sera le centre de gravité du volume A.
2** Si le volume
A =Ai — A2,
alors, pour avoir le centre de gravité de ce volume, on devra, aux centres de gravité des corps dont les volumes sont A| et A2, appliquer des forces proportionnelles à A| et Aj, parallèles, de direction quelconque, mais de sens contraires. Car de ce que A est la
CENTRES DE GRAVITE DES CORPS. ,ai3
différence entre Ai et A2, on déduit que Ai est la somme de A et de A2 ; donc le centre de gravité du volume A| est le point d'application de la résultante des deux forces parallèles et de même sens appliquées aux centres de gravité des corps dont les volumes sont A et A2, et proportionnelles à ces volumes.
Appelons, pour abréger, A, A|, A2 les intensités de forces parallèles et de même sens appliquées aux centres de gravité des volumes A, A|, A3 et proportionnelles à ces volumes. La force Ai étant la résultante des forces A et Ao, les trois forces A,, — A et — A2 se font équilibre : donc chacune d'elles est égale et opposée à la résultante des deux autres; en particulier, — A est égal et opposé à la résultante de A| et — A2, c'est-à-dire que A est la résultante de ces dernières forces.
De là on déduit généralement que si le volume A est
A = Aj -4- Ay — A3 — A4 zh . . . z± Art,
de telle façon qu'il soit formé de volumes dont les uns sont à ajouter ei)tre eux, les autres à retrancher, pour trouver le centre de gravité du volume A, on devra, aux centres de gravité des volumes A I, A2, A3, ..., appliquer des forces proportionnelles à ces volumes, parallèles, mais en ayant soin de diriger dans un même sens toutes celles qui se rapportent aux volumes à ajouter et dans le sens contraire toutes celles qui se rapportent aux volumes à soustraire.
Le centre de ces forces parallèles sera le centre de gravité cherché.
Nous allons maintenant indiquer le moyen de trouver les centres de gravité des figures les plus simples, auxquelles on ramènera ensuite soit exactement, soit approximativement, toutes les autres.
Nous ne considérerons d'ailleurs que des figures homogènes.
Lemme. — Lorsqii' une figure est divisée, par un plan, en deux parties parfaitement symétriques, ce plan contient le centre de gravité de la figure; car il n'y a pas de raison pour que le
2l4 2* SECTION. — CIIAP. XI.
centre de gravité se trouve plutôt d'un côté de ce plan que de l'autre.
Si une figure contient deux plans de symétrie, son centre de gravité est sur leur ligne d'intersection; si elle en contient trois, le centre de gravité est en leur point de rencontre.
Ainsi le centre de gravité d'un parallélépipède rectangle coïncidera avec son centre de figure par lequel passent évidemment trois plans de symétrie.
Si, dans une figure plane, tout est symétrique de part et d'autre d'une droite, le centre de gravité est sur cette droite.
Si une figure plane contient deux lignes de symétrie, son centre de gravité est en leur point de rencontre. C'est ainsi que le centre de gravité d'un rectangle coïncide avec son centre de figure.
Centre de gravité des lignes.
APPUGATIOH DE LA MÉTHODE GÉHÉEALE A LA BEGIEECHE DU CraiBB SE GRAVITÉ D'UH GOHTOUB POLTftOHAL OU CURYIU6ME aUELGOiaUE. — Le
centre de gravité >d'une portion de ligne droite est sur cette ligne (§121, Remarque 1).
Si la ligne droite est homogène, il est évidemment en son milieu, car il n'y a pas de raison pour qu'il tombe plutôt d'un côté de ce milieu que de l'autre.
Le poids d'une telle ligne est d'ailleurs proportionnel à sa longueur.
Étant donné un contour polygonal, si, au milieu de chacun de ses côtés, on suppose appliquée une force proportionnelle à la longueur de ce côté, toutes ces forces étant parallèles et de même sens, et qu'on les compose au moyen de la règle du polygone des forces et du polygone funiculaire, on aura la ligne d'action de leur résultante. Si on les compose une seconde fois après les avoir toutes inclinées dans le même sens d'un angle quelconque, on aura la ligne d'action de la résultante parallèle à cette nouvelle direction. L'intersection des deux lignes d'action ainsi obtenues est le centre de gravité cherché.
CENTRES DE GRAVITÉ DES CORPS. 2l5
Pour trouver le centre de gravité du périmètre d'une courbe irrégulière, on y substituera le périmètre d'un polygone inscrit d'un grand nombre de côtés.
; Triangle. — S'il s'agit d'un triangle ABC {fig- 46, PL A^), en
I joignant les milieux de ses côtés, on obtient un second triangle abc
semblable au premier. En b on doit supposer appliquée une force
proportionnelle à AC ou à ac = — , en c une force proportion-
nelle à AB ou à ab = — ; enfin en a une force proportionnelle à
. BG oc=
Le centre des deux forces parallèles appliquées en 6 et c est le point d'intersection de 6c, avec la bissectrice de l'angle a (§ 120) ; donc le centre de gravité cherché est sur cette bissectrice. Par la même raison, il est sur les bissectrices des angles b et c. Ainsi : le centre de gravité du périmètre d'un triangle coïncide as^ec le centre du cercle inscrit dans le triangle qui joint les milieux de ses côtés.
Portion de polygone régulier. — Soit (Jig- 50, PL A!") AIB une portion de polygone régulier. La ligne OY, perpendiculaire sur le milieu de la corde AB qui sous-tend cette portion de polygone, est une ligne de symétrie ; le centre de gravité cherché se trouve donc sur cette ligne (§ 128). Pour avoir sa position, il faut concevoir qu'au milieu i de chaque côté du polygone soit appliquée une force proportionnelle à la longueur ab de ce côté, toutes ces forces ayant même direction et même sens; le centre de ces forces parallèles sera le centre de gravité cherché. Soit G ce point. Appliquons le théorème des moments des forces parallèles (§ 124 ) à une droite XX' parallèle à la corde AB et passant par le centre O du polygone régulier dont le contour AIB fait partie. La résultante de toutes les forces parallèles est égale à leur somme, ou au périmètre AIB. Soit L ce périmètre. Le moment de cette résultante est L X OG. Le moment de la composante appliquée en i est
2l6 2* SECTION. — CHAP. XI.
ab X ij = IXy'i en appelant / la longueur du côté ab ely la distance ij. Le théorème des moments donnera donc
LxOG= 2(/x7),
le signe S indiquant une somme qui s*étend à tous les côtés du polygone donné.
Or, si l'on mène la ligne aa' parallèle à OY et ba! parallèle à XX', les triangles semblables Oij et aa'b donneront
o^ __ iJ ab Oi
ou, en appelant V la projection de ab sur XX' et r le rayon O* du cercle inscrit dans le polygone donné,
d'où
/ X ^ = /' X r ; donc
LxOG = 2(/'xr);
et, comme le facteur r est le même dans tous les termes de la somme S, on peut le faire sortir du signe S et écrire
L X OG = rS r = r X A'B' = r X AB
ou
expression facile à construire. Il suffit de construire un triangle rectangle B'MM' dont la hauteur MM' soit égale à r et dont l'hypoténuse B'M' soit égale à la longueur L du contour donné. Si l'on porte sur cette hypoténuse B'c = AB, le centre de gravité cherché G se trouvera sur une parallèle à XX' menée par c ; car, si l'on abaisse cd perpendiculaire sur XX',
5ÏM' ^-FÂT' ou
cd AB
d'où
, AB X r ^^ ce — — = — = OG
Arc de cercle. — La construction précédente étant applicable, quelque petits que soient les côtés du polygone régulier, elle s'appliquera encore à la limite, lorsque ce polygone se confondra avec un arc de cercle.
Si donc i^fig' 48, PL JT) G est le centre de gravité de Tare de cercle AlB, de longueur L et de rayon r, on aura
OG X L = r X AB, d'où
On peut construire le point G, soit par le procédé indiqué cidessus, soit par celui qui suit : sur la tangente au milieu I de l'arc, portons une longueur IB' égale au demi-arc IB rectifié. Joignons le point B' au point O; en B, menons une perpendiculaire à AB jusqu'à sa rencontre en G avec OB'; enfin de G abaissons une perpendiculaire GG sur le rayon 01. Le point G sera le centre de gravité
cherché; car
