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Centre de gravité des aires planes*
On appelle diamètre d'une ligne plane le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction donnée.
Quand un diamètre estrectiligne, sa direction et celle des cordes qu'il divise en parties égales sont dites conjuguées,
TnéoREifE. — Lorsqu'une courbe plane fermée admet un dia-
2l8 2* SECTION. — Cil A P. XI.
mètre recliligne, le centre de gravité de l'aire de cette courbe se trouve sur ce diamètre,
Soii(/tff. 49, PL X^ xy une droite, lieu des milieux des cordes ac parallèles à une direction fixe.
Traçons une série de cordes telles que ac, parallèles à cette direction et très voisines les unes des autres. Parles extrémités a et c de chacune d'elles, abaissons des perpendiculaires ab et cd sur la corde voisine aV; nous formerons ainsi une série de rectangles tels que abcd.
La figure formée par Tensemble de ces rectangles est d^autant moins différente de la figure donnée que les cordes ac, a!c\ ... sont plus voisines, et, si elles se rapprochent indéfiniment, la somme des aires des rectangles se rapprochera indéfiniment de Faire de la figure donnée. Or chacun de ces rectangles (§ 128) a son centre de gravité sur le diamètre xy. Donc (§ 121, Bemarque I) le centre de gravité de la figure formée par T ensemble des rectangles est sur la même ligne. Comme il en estainsi, quelque voisines que soient les cordes ac, a!c\ cette propriété appartiendra aussi à Taire donnée, vers laquelle tend indéfiniment celle formée par l'ensemble des bandes rectangulaires.
Centre de gravité de l'aire d'un parallélogramme. — Il résulte de là immédiatement que le centre de gravité de Faire d'un parallélogramme EFGH ^fig, 47, PL X) est son centre de figure ; car les deux diamètres AB et CD parallèles aux côtés du parallélogramme et passant par son centre devant tous deux contenir le centre de gravité cherché, celui-ci est leur point d'intersection.
Centre de gravité de l'aire du triangle. — Le centre de gravité de l'aire d*un triangle estau point d'intersection de ses trois médianes, c'est-à-dire au tiers de chacune d'elles. Chaque médiane, en effet, est un diamètre, puisqu'elle divise en parties égales les cordes parallèles au côté du triangle au milieu duquel elle aboutit.
APPUGATIOH DE LA MÉTHODE SÉHtBALE A LA BIGHEEGHE DU GEHTBE DE fiBAVITÉ DE L'AIBE D'UN POLTfiOHE OU D'UHE COUBBE aUELGONOUE. — Pour appliquer au centre de gravité des aires planes la méthode du § 127, s'il s'agit de l'aire d'un polygone, on le décomposera en triangles. Au centre de gravité de chaque triangle, on supposera appliquée une force proportionnelle à son aire, toutes ces forces étant parallèles; elles devront d'ailleurs toutes avoir même sens ou des sens différents suivant que l'aire du polygone sera composée de la somme arithmétique ou de la somme algébrique des aires des triangles. Si tous les triangles sont à additionner, toutes les forces appliquées en leurs centres de gravité devront avoir même sens; si quelques-uns sont à additionner etd'autres à retrancher, ce qui peut avoir lieu notamment dans les polygones présentant des angles rentrants, les forces appliquées aux centres de gravité de ces derniers devront avoir un sens contraire à celui des autres. Pour représenter les aires des triangles par des forces ou des longueurs, il suffit d'ailleurs de les réduire (§ 15) à une base commune arbitrairement choisie. Les forces à appliquer aux divers centres de gravité sont égales ou proportionnelles aux hauteurs correspondantes.
Quadrilatère. — Appliquons cette règle à un quadrilatère quelconque ABCD {fig* 54, PL JlI), On mènera la diagonale CD. On joindra les sommets opposés A et B au milieu I de cette diagonale.
Les points g Qi g' placés aux tiers des lignes L\ et IB, à partir de I, sont les centres de gravité des triangles ACD et BCD. On devra y appliquer des forces proportionnelles aux aires de ces triangles, c'est-à-dire à leurs hauteurs A a et B6, puisqu'ils ont même base CD. Ces hauteurs sont d'ailleurs proportionnelles aux segments AO et OB de la diagonale AB, ou, si l'on veut, aux segments gi et ig' qui sont les tiers des précédents. Donc, pour avoir le centre de gravité cherché, on devra (§ 120) diviser la ligne gg' en parties inversement proportionnelles à gi et /V. Pour cela, il
aao TT SECTION. — CHAP. XI.
suffira de prendre, à partir du point g, une longueur g G .= g' i; le point G est le centre de gravité cherché.
Trapèze. — Dans le cas du trapèze, la construction précédente peut être un peu simplifiée. Soit (Jig- 53, PL XI) un trapèze ABCD. Divisons-le en deux triangles AGD et ABD par la diagonale AD. Menons la médiane DE du t,riangle ADB^ le centre de gravité G| de ce triangle est au tiers de DE à partir de E. De même le centre de gravité G^ du triangle AGD est au tiers de la médiane FA à partir de F. Le centre de gravité du trapèze sera donc sur la ligne G| GjI mais la ligne EFest une ligne diamétrale du trapèze : donc (§ 133) le centre de gravité cherché sera aussi sur cette ligne ; il se trouvera donc au point d'intersection G des lignes Gi Gj et EF.
De là, on peut déduire une autre manière de trouver ce point : prolongez CD d'une longueur DK égale à AB, et BA d'une longueur AH égale à CD ; puis menez la ligne HK; cette ligne passera par le point G. En eflfet, menons les lignes G| I« et Gjlo parallèles aux bases du trapèze. Puisque Gi est au tiers de ED, le point I, sera au tiers de EF ; de même le point la sera au tiers de FE, en
sorte que
IjE^IsF-rjEF et, par suite,
D'un autre côté, les triangles semblables GG|I|, GGjIj
donnent
GG, GIi G,I, CD
d'où
ou
GGj Glj Gjlt AH'
GI,-^ \Q\i CD-^ ; AB HE Glj-^iGi, AB-H^CD " KF
•2Gï,-^GÏî HE
aGIj Gli KF
Or, d'après les relations (6), on a
?.GI,-f-Gï, -^ GE, •iGÏ2-+- GI,r:=GF;
et, par suite,
