GF "" KF

ce qui montre que la ligne KH passe bien par le centre de gravité cherché G.

Secteur formé par une portion de polygone régulier et secteur de cercle. — Soit ABCDE {^fig- o3, PL A^I) une portion de polygone régulier ayant son centre en O ; cherchons le centre de gravité du secteur OABGDE. Pour cela décomposons-le en triangles ayant leur sommet en*0. Le centre de gravité du triangle OBC, par exemple, est en £, aux deux tiers de la médiane 01. Si Ton construit la portion de polygone régulier abcde dont les sommets sont aux deux tiers des rayons aboutissant aux sommets Â, B, G, . . . , le centre de gravité de chaque triangle OBG sera au milieu du côté correspondant bc du contour abcde; comme d'ailleurs l'aire de ce triangle est proportionnelle à la longueur bc, on voit qu'on obtiendra le centre de gravité cherché en appliquant au milieu i de chacun des côtés du contour abcde une force proportionnelle à ce côté, toutes ces forces ayant même direction et même sens. Gela revient à dire que le centre de grai^àé du secteur OABGDE coïncide avec le centre de gravité du périmètre abcde que nous savons trouver

Ceci étant vrai, quelque nombreux que soient les côtés du polygone ABGDE inscrit dans l'arc de cercle AE, l'est pour cet arc lui-même. Donc : le centre de gravité de l'aire d'un secteur de cercle coïncide avec le centre de gravité de l'arc, ayant pour rayon les deux tiers du rayon de ce secteur.

Segment de cercle. — Soit (^g. M, PL XI) le segment de cercle ABC; son centre de gravité est sur la ligne de symétrie OG.

Soient Gj et Q2 le centre de gravité et la surface du secteur OAGB; G| et Qi le centre de gravité et la surface du triangle OAB. Nous savons trouver les points G| et G2- Soient G le centre de

gravité du segment et Q sa surface. On a

Q = Q2-Qi.

Donc (§ 127) le centre de gravité G est le centre de deux forces

parallèles, proportionnelles à Qi et Q2 et de sens contraires; par

suite, le point G sera sur le prolongement de G| G2 et dans une

situation telle que

GGî Q^ DH GG, "" "Qj "" arcCB'

DH étant la perpendiculaire abaissée du milieu D de la corde AB sur le rayon OB.

Donc si, sur une ligne quelconque issue de G<, on porte

G| Wi = arcCB,

et, sur une parallèle à G| Ut issue de G2, une longueur

GiUi — DH,

la ligne u^ u^ rencontrera OC au centre de gravité cherché G.

Anneau compris entre deux arcs de cercles concentriques. — Soit {Jig' 52, PL JCl) à chercher le centre de gravité de l'anneau ABCD compris entre les arcs de cercle concentriques AB et CD. Il se trouve évidemment ( § 133) sur le rayon 01 passant par le milieu des arcs AB et CD, puisque ce rayon est une ligne de symétrie - Soient G| et G^ les centres de gravité des secteurs OAB et OCD, et G le centre de gravité cherché de Tanneau ABCD. Nous savons trouver les points Gi et G2.

On a ABCD = sect. OAB — sect. OCD. Donc (§ 127) on peut regarder le centre de gravité cherché comme étant sur la ligne d'action de la résultante de deux forces parallèles et de sens contraires, Tune proportionnelle à l'aire du secteur OAB appliquée en son centre de gravité Gj, l'autre proportionnelle à l'aire du secteur OCD appliquée en son centre de gravité G2. Donc

GGi sect. OCD Ôc' GGj " sect. OAB "" q^« '

Joignons le point A au point J et menons C i parallèle à AJ ; on

aura

OA OJ OG

d'où

OG oi or

OG*r=OA xOi

et, par suite,

GGi OAxOi Oi GG, ^^^^ OA '

Du point G, sur une ligne quelconque, portons G| Ut = Oi, et du point G2, sur une parallèle à G^ ^^ portons G2U2 = OA. Joignons les points U2 et u^ ; la droite ainsi obtenue passera évidemment par le point cherché G.

Segment de parabole. — Soit (Jlff* 57, PL XI) un segment de parabole AlB. Son centre de gravité se trouve sur le diamètre IX, conjugué à la corde AB (§ 133). Soit G ce point.

Rapportons la parabole au diamètre IX et à la tangente conjuguée lY, et soit

son équation.

Prenons une zone a^a'[3' ayant une épaisseur dx comptée parallèlement à IX. Soit X Tabscisse de la ligne a^. On aura

a^ = 2 )/ ipx.

L'aire AIE sera proportionnelle à

ijdxy] ipx^ son moment relatif à lY proportionnel à

GI X *kjdx y ipx.

Le moment de la zone a^a'^' sera proportionnel à

a? X ^ X 2 yl%px = 'xxdx \J ipx.

Donc le théorème des moments donnera

GI X ^.fdx^ipx = Jixdx^2.px\

224 2* SECTION. — CUAP. XI

OU, en supprimant le facteur commun isjl^p^

J x^dx

les intégrales étant à prendre de I à C, ce qui donne