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Centre de gravité des surfaces courbes ou polyédrales.
APPUGiTIOH DE LA MÉTHODE GÉHÉBALE A LA BECHERCHE DU CERBE SE ftBAYITÉ D'UHE SUBFAGE COURBE OU POLTÉDBALE. — Nous savons, par ce qui précède, trouver le centre de gravité de chacune des faces planes d'un polyèdre. Si, en ces centres de gravité, on suppose appliquées des forces parallèles et de même sens, proportionnelles aux aires de ces faces, le centre de ces forces parallèles que Ton sait trouver graphiquement (§ 121 ) sera le centre de gravité cherché.
Si l'on a à chercher le centre de gravité d'une surface courbe plus ou moins irrégulière, on y substituera la surface d'un polyèdre inscrit d'un grand nombre de faces et l'on procédera comme il vient d'être dit.
Appliquons cette marche à quelques exemples.
Surface latérale d'nne pyramide ou d*im cône. — Le centre de grai>ité de la surface latérale d'une pyramide régulière ou d'un cône de révolution coïncide avec le centre de la section faite dans la pyramide ou le cône, parallèlement à sa base et au tiers de sa hauteur à partir de cette base.
En effet, la surface latérale d'une pyramide se compose de triangles : pour avoir son centre de gravité, on devra, aux centres de gravité de ces triangles, appliquer des forces parallèles, proportionnelles à leurs aires et chercher le centre de ces forces parallèles;
mais le centre de gravilé de chacun de ces triangles est (§ 130) au milieu de la ligne d'intersection que détermine dans ce triangle un plan sécant parallèle à la base de la pyramide et placé au tiers de sa hauteur : le centre de gravité de la pyramide est donc dans ce plan; il est d'ailleurs évidemment sur la ligne qui joint le sommet de la pyramide au centre de sa base, laquçlle ligne passe par les centres de toutes les sections parallèles à la base.
Cela étant vrai pour une pyramide à un nombre'quelconque de faces, inscrite dans un cône de révolution, est encore vrai pour un tel cône.
Centre de gravité de la sorface latérale d'im tronc de p3rramide on de cône à bases parallèles. — Le centre de gras^ité de la surface latérale d^un tronc de pyramide régulier ou de cône à bases parallèles coïncide avec le centre de gravité du périmètre dune section parallèle aux bases et distante de la base inférieure
d* une fraction de la hauteur du tronc, représentée par -^ ~- »
p étant le périmètre de la base inférieure, etp' celui de la base supérieure.
En effet, la surface latérale d'un tronc de pyramide se compose de trapèzes. Aux centres de gravité des aires de ces trapèzes, on devra- appliquer des forces qui leur sont proportionnelles et chercher le centre de ces forces parallèles et de même sens. Soient {^fig» 56, PL JCl) BB' = 6 et A A = a les deux bases parallèles de l'un de ces trapèzes, b étant un côté de la base inférieure et a un côté de la base supérieure du tronc ; le centre de gravité G de ce trapèze se trouve au milieu d'une parallèle DD' à sa base, divisant (§ 138) sa hauteur ou ses côtés non parallèles en parties, qui sont
dans le rapport
•ia-\- b',ib -\- a^
en sorte que
D'ir la-^b
ou
D'.V ib-^a
A'D' la^b ?./?'
Mais de même le centre de gravité G' du trapèze, formant la face A'B' A"B'', contiguë à la précédente, dont les bases parallèles sont A' A'' et B'B^', est au milieu d'une ligne parallèle aux bases et issue d'un point D", tel que
Cela montre que, si l'on imagine une section parallèle aux bases
et distante de la base inférieure d'une fraction ~ ^ de la hau-
leur du tronc, les centres de gravité des faces de la pyramide sont aux milieux des côtés du polygone d'intersection de ce plan avec la surface latérale du tronc : le centre de gravité cherché se trouve donc dans ce plan; il est d'ailleurs évidemment sur la ligne qui joint les centres des bases de la pyramide, laquelle est une ligne de symétrie qui passe par les centres de toutes les sections parallèles aux bases.
Cela étant vrai pour une pyramide à un nombre quelconque de faces, inscrite dans un tronc de cône, l'est encore pour un tel tronc.
Dans le cas du tronc de cône, on a
p-{-ip' __ d-\-'ï.d!
en appliquant d et d! les diamètres des cercles des bases.
Remarque, — Si le tronc de pyramide ou de cône se change
en un tronc de prisme ou de cylindre, c'est-à-dire si/? =/?', alors
le rapport
p->t-ip' 3p
ce qui doit être; car il est facile de voir d'une manière générale que le centre de gras^ité de la surface latérale d* un prisme ou d^un cylindre, droit ou oblique, à bases parallèles^ coïncide avec le centre de gravité du périmètre de la section passant au milieu de sa hauteur.
Calotte sphériqne et zone sphériqne. — Le centre de gravité d'une zone sphérique se trouve au mUieu de la ligne qui joint les centres de ses bases.
Il se trouve évidemment sur cette ligne qui est une ligne de symétrie, et si l'on imagine la zone divisée par des plans équidistants et parallèles à ses bases, toutes ces zones ont même surface; d'où l'on conclut immédiatement le théorème énoncé.
Centre de gravité des corps.
Théorème. — S'il existe, à l'intérieur d'un corps, une ligne droite telle qu'une série de sections parallèles à un plan fixe faites dans ce corps aient les centres de gravité de leurs aires sur cette ligne, le centre de gravité du volume du corps s'y trouvera également.
En effet, soit {fig* 49, PL JC) xy une ligne contenant les centres de gravité des aires des sections faites dans un corps, parallèlement à un plan fixe. Menons une série de ces sections telles queac, a'c', . .■. très voisines les unes des autres, et par les points du contour de chacune abaissons des perpendiculaires sur la section voisine : nous formerons ainsi une série de cylindres droits, tels que acbd; le corps formé par ces cylindres juxtaposés sera d'autant moins différent de celui que nous considérons que les sections ac^ a' d ^ ... seront plus voisines les unes des autres. Or le centre de gravité du volume de chacun des cylindres droits acbd est au milieu de la ligne qui joint les centres de gravité des surfaces de ses bases, c'est-à-dire sur la ligne xy\ cela résulte de l'idée même qu'on se fait du centre de gravité d'une surface plane. Donc le centre de gravité du corps formé par l'ensemble des cylindres est aussi sur la ligne xy^ et, comme on peut rendre ce corps aussi peu différent qu'on le veut de celui que l'on considère en menant les sections ac^ a'c', . . . suffisamment voisines les unes
des autres, il s'ensuit que le centre de gravité de ce dernier corps est moins éloigné de xy qu'une quantité appréciable si petite qu'elle soit; cela veut dire qu'il est rigoureusement sur cette ligne.
Remarque. — S'il existe une seconde ligne droite, lieu des centres de gravité d'une série de sections parallèles^ elle contient aussi le centre de gravité du corps. D'où ce théorème de Géométrie : Si à V intérieur dune surface il existe plusieurs lignes droites dont chacune soit le lieu des centres de gravité des aires dune série de sections parallèles faites dans ce corps, toutes ces lignes se coupent nécessairement en un même point.
Centre de gravité d'un tétraèdre. — Le centre de gravité dun tétraèdre est sur la ligne qui joint un quelconque de ses sommets au centre de gravité de la face opposée, et au quart de cette ligne à partir de cette face.
Soit {fig- 58, PL XI) le tétraèdre ABCD. Joignons le sommet A au centre de gravité g de la face opposée BGD. La ligne Kg est évidemment le lieu des centres de gravité des aires des sections parallèles à BCD, faites dans le lélracdre. Donc (§ 1 47) elle contient le centre de gravité de celui-ci. Par la même raison, ce centre de gravité G se trouve sur la ligne C^*'' joignant tout autre sommet G du tétraèdre au centre de gravité g' de la face opposée. D'où l'on conclut ce théorème de Géométrie :
l^s quatre lignes qui joignent les sommets d'un tétraèdre aux centres de gravité des faces opposées se coupent en un même point.
C'est ce qu'il est facile de voir géométriquement, et alors on reconnaît, en outre, que le point de rencontre G des quatre lignes dont il s'agit est au quart de chacune d'elles à partir de la face à laquelle elle aboutit. Soit, en effet, I le milieu de l'arête BD du tétraèdre ; joignons le point I aux deux sommets G et A. Le centre de gravité g du triangle BGD est au tiers de la médiane Cl à partir
du point I; le centre de gravité ^ du triangle BDA est au tiers de la médiane AI à partir du même point I. Donc les deux lignes A^ et Ça^ sont dans un même plan AIG et se coupent en un point G; de plus, puisque
la ligne i^^est parallèle à l'arête AC, et les deux triangles semblables gg^ ^ et AGG donnent
GA ÂC JG 3
ce qu'il fallait démontrer.
Corollaire L — Le centre de gravité d'un tétraèdre est le centre des moyennes distances de ses quatre sommets, c'est-à-dire que sa distance à un plan quelconque est la moyenne arithmétique entre les distances de ses sommets au même plan. En effet, le poids du tétraèdre appliqué en G peut être décomposé en deux forces parallèles et de même sens, l'une appliquée en A et l'autre en^; et, comme G^ = 7AG, si la composante passant en A estQ, celle passant en g sera (§ 120) 3Q; mais celle-ci peut à son tour être décomposée en deux forces appliquées l'une en G, l'autre en I, et, comme I^=i^G, la force appliquée en I sera double de celle appliquée en G, c'est-à-dire que celle-ci sera Q et celle appliquée en I sera 2Q et pourra être remplacée par deux forces égales chacune à Q, appliquées en B et D. Donc le poids du tétraèdre se trouvera décompose en quatre poids Q égaux entre eux, appliqués en ses sommets.
Soient a, 6, c, d les distances de ces sommets à un plan quelconque, et \ la distance au même plan du point G ; le théorème des moments appliqué aux poids 4Q du tétraèdre donne
4QÇ = Qa -f- Q6-f- Qc -f- Qrf ou
Corollaire IL — De la démonstration qui précède, il résulte
23o 2* SECTION. — CHAP. XI.
aussi que le centre de gravité d'un triangle est le centre des moyennes distances de ses trois sommets.
Corollaire III. — Le centre de gravité d'un tétraèdre coïncide avec le centre de gravité de l'aire du triangle que détermine, dans le tétraèdre, une section distante d'une de ses faces du quart de la hauteur correspondante.
Corollaire IV. — Le centre de gravité d'un tétraèdre jouit encore de la propriété d'être au milieu de la ligne qui joint les milieux de deux arêtes opposées quelconques du tétraèdre. En effet, joignons le point I, milieu de l'arête BD, au centre de gravité G. La ligne I(t, étant dans le plan AIC, ira rencontrer l'arête AC opposée à BD, ainsi que sa parallèle gg'. Soient F et i les points de rencontre avec ces deux lignes : il est clair que i sera le milieu de gg^ et r le milieu de AC; car les triangles semblables Gi^^ et AGF
donnent
