AI' ~ GI

de même, les triangles g'iO et GFG donnent

^'i G^' CT ~ GI' ' d'où

^'^ Ar = cr. ^^^ Gr = ^-

On établirait de même, au moyen des triangles semblables lAF et \ig^ d'une part, ICF et \ig de l'autre,

ëL^^ ou ^^ii

Cr ~ Al' AI' - g'i '

ou, à cause de (i),

QX __ AI'

Af " cr '

ce qui exige que CF = AF.

Ainsi la ligne IF joint bien les milieux I et F de deux arêtes opposées AC et BD. Je dis maintenant que G est le milieu de cette ligne. En effet,

GI Cl' " IC ~ 3

g. = 1gi'.

D'ailleurs,

il " ^G " 2

Il = liv = ior -4- -Gi - loi' -4- ;' or.

Par conséquent,

Gl^-Gi-^]i=(;--\---h- )GI' = Gr.

On peut voir, par des considérations mécaniques très simples, que le centre de gravité du tétraèdre est au milieu de la ligne qui joint les milieux de deux, arêtes opposées.

Soit le tétraèdre ABCD {/ig- 59, PL JCll), Coupons-le par des plans parallèles aux arêtes opposées CD et AB. Ces plans détermineront, sur les faces du tétraèdre, des parallélogrammes, tels que abcdy a^b^C\d^y dont les côtés sont parallèles à CD et AB. Les centres de ces parallélogrammes sont évidemment sur la ligne IF qui joint les milieux des arêtes CD et AB. Donc (§ 147) le centre de gravité du volume du tétraèdre se trouve sur cette ligne.

De plus, ces parallélogrammes ayant tous même angle, leurs aires sont entre elles comme les produits de leurs côtés, en sorte que

aire abcd ab x db

aire ai^iCi^^i ^i^i X d^bi ab Cb

donc

Ufbi Cbi

bd __ Bb .

bidi ~ Bbt'

aire abcd ab x db __ Cb x hb aire ai^iCi^fi " aibi x dibi "" Cbi x B6|

c'est-à-dire que les aires des parallélogrammes sont entre elles comme les produits des deux segments que leurs plans déterminent sur une arête CB. Donc, si Ton prend deux parallélogrammes tels

232 2' SKCTION. — CHAP. XI.

que abcd et dU d dl y également distants des sommets C et B, ils sont équivalents, parce que Cfe -- Bft' et, par suite, B6 ^-^ C6'. D'où

Il résulte de là que, si Ton considère deux plaques infiniment minces, d'égale épaisseur, a^ant ces parallélogrammes pour bases, ces plaques auront même volume et même poids, et le centre de gravité de l'ensemble des deux sera dans un plan équidistant de Tune et de l'autre, c'est-à-dire équidistant des sommets C et B. Comme il est sur la ligne IF, il sera donc au milieu de cette ligne. Il en est de même de toutes les plaques que l'on considérera ainsi deux par deux, et par suite aussi du volume formé par l'ensemble de toutes ces plaques; et, comme ce volume peut être rendu aussi voisin que Ton veut du volume du tétraèdre si les plaques sont prises suffisamment minces, le centre de gravité du tétraèdre se trouvera lui-même au milieu de la ligne IF.

De là, on déduirait ce théorème de Géométrie démontré directement plus haut :

Le^ quatre lignes qui joignent les milieux des arêtes opposées d'un tétraèdre se croisent en un même point, qui est le milieu de chacune déciles.

P]rraniide8 et cônes. — Le centre de gras^nté du volume d^une pyramide ou d\in cône à base quelconque coïncide avec le centre de gravité de Caire dune section parallèle à la base faite au quart de la hauteur de la pyramide ou du cône^ à partir de cette base.

En effet, menons les diagonales issues de l'un des sommets du polygone de base d'une pyramide, et décomposons celle-ci en tétraèdres au moyen de plans passant par ces diagonales et parle sommet de la pyramide. Le centre de gravité de chacun de ces tétraèdres coïncide (§ 148, CorolL II) avec le centre de gravité du triangle que détermine, dans ce tétraèdre, une section parallèle à

CENTRES DE GRAVITÉ DBS CORPS. tl33

la base de la pyramide placée au quart de sa hauteur, à partir de cette base. De plus, le volume du tétraèdre est proportionnel à l'aire de ce même triangle. Donc, pour avoir le centre de gravité de la pyramide, il suffit, au centre de gravité de chacun de ces triangles, d'appliquer une force proportionnelle à son aire et de chercher le centre de toutes ces forces parallèles ; ceci revient à dire qu'il faut chercher le centre de gravité de l'aire du polygone que le plan sécant détermine dans la pyramide.

Ceci étant vrai, quelque nombreuses que soient les faces d'une pyramide inscrite dans un cône quelconque, l'est aussi pour un tel cône.

Tronc de P3rramide et tronc de cône à bases parallèles. — Soit {fig 60, PL JCIl) un tronc de pyramide à bases parallèles ABCDEaècrfe. Prolongeons le tronc de façon à compléter la pyramide. Soit S son sommet; soient Ga et G< les centres de gravité des pyramides SABCDE et Safecrfe; Qa et Q< leurs volumes. Les points Ga et G| sont sur la ligne qui joint le sommet S aux centres de gravité g^ et ^4 des bases et au quart des hauteurs S^a et S^i, à partir de ces bases.

Le centre de gravité du tronc cherché se trouvera donc aussi sur cette ligne. Si Q est le volume du tronc, on aura

Q = Qî-Qi.

Donc (§ 127), pour obtenir le centre de gravité G, il suffit, aux centres de gravité Ga et Gi, d'appliquer des forces proportionnelles à Qa et Qi, parallèles et de sens contrairesy et de chercher le centre de ces forces parallèles. Le point G sera donc tel (§ 120) que

-s GGj Qi Sa

D'après cela, menons du point S une ligne quelconque SX, et décrivons les arcs de cercle A A' et aa! ayant le point S pour centre. Menons les lignes antiparallèles ko! et h!a\ prenons sur SX une longueur quelconque Si^ menons 1 1' parallèle à Ka'\ l'a parallèle

a34 ol' section. — chap. xi.

à a A', et 22' parallèle à Aa. On aura

Sa'

Si" ~

~ SA'

Si'

Si "

SA'

Sa'

' SA'

d'où, en multipliant membre à membre et supprimant les facteurs communs,

Si Sa GGj s? ~ ^ "' GG",'

Donc, si, au point G, on mène une ligne de direction arbitraire G| Ui = 82', et au point Gj une parallèle àla précédente, Gj 1/2=81, et qu'on joigne les points u^ et 7/2» I^ ligne Ut u^ ira rencontrer la ligne G| G2 au point cherché G.

Rien absolument n'est changé si^ au lieu d'un tronc de pyramide, c'est un tronc de cône qui est donné. On prolongera deux arêtes quelconques du tronc jusqu'à leur rencontre en 8, et l'on opérera sur l'une d'elles la construction faite sur 8 A et 8 a.

Polyèdre quelconque. — Tout polyèdre pouvant être décomposé en pyramides ou en tétraèdres, on peut trouver maintenant le centre de gravité du volume d'un polyèdre quelconque.

Secteur sphériqne. — Le centre de gravité du volume dun secteur sphérique est le centre de gravité de la surface cTune calotte sphérique ayant même centre que le secteur donné et pour rayon les trois quarts du rayon de ce secteur,

La démonstration est tout à fait semblable à celle relative au secteur de cercle (§ 139).

CENTRES DE GRAVITÉ DBS CORPS. a35

Portion d'enveloppe sphériqne. — Considérons {Jig* 61 , PL Xlf) une portion d'enveloppe sphérique, engendrée par la demi-révolution de l'anneau A2 A| BjBi compris entre deux arcs de cercle concentriques et les normales A2A| etBaB, à ces arcs, autour de l'axe OCf passant par leurs milieux. La ligne OC2 est une ligne de symétrie sur laquelle se trouvera le centre de gravité cherché. Soit G ce point. Soient Ga et G| les centres de gravité des secteurs O A2B2 et O A, B, que nous savons trouver; Q2 et Qj leurs volumes. Le volume Q de l'enveloppe est

Q-Qi-Qi.

Pour trouver son centre de gravité G, nous devons (§ 127) appliquer aux points G2 et G| des forces parallèles, proportionnelles à Q2 et Qi, de sens contraires, et chercher le centre de ces forces parallèles. Ce point sera sur le prolongement de G| G2 et divisera cette ligne (§ 120) de façon que