THÉORIE, CONSTRUCTION ET EMPLOI GÉNÉRAL DES MOMENTS DE FLEXION

EFFORT TBAHGHANT; GOKPBESSION DE LA FIBRE HOTENHE. HOMERT ET GOUFLE DE FLEHOH. Soit (^fig^ 34) AqBoAiBi un corps quelconque

Fig. 34.

jy-

(poutre, arc, etc.) libre ou non, symétrique par rapporta un plan et en équilibre sous l'action de forces extérieures toutes (v compris les réactions des appuis si elles existent) situées dans ce plan.

Concevons qu'à l'intérieur de ce corps et dans le plan de symétrie on trace une courbe GoG,, puis qu'on fasse, dans le corps, des sections telles que X'X, normales à cette courbe. En général^ le corps est tel que la ligne GqGi soit le lieu des centres de gravité des sections qui lui sont normales et elle prend alors le nom de fibre moyenne de la pièce. Nous lui donnerons ce nom, pour abréger le langage, tout en observant que les théorèmes de pure Statique qui vont suivre sont vrais, quelle que soit la courbe GoGj tracée à l'intérieur du corps.

Soit AB la trace de la section sur le plan de la fibre moyenne : AB

sera la normale à cette ligne au point G où elle est coupée par la section. Cette section divise la pièce en deux parties. Quand nous parlerons des forces élastiques ayant leurs points d^applicatîon dans la section, nous entendrons celles exercées par la partie de gauche AqBqAB du corps sur celle de droite ABA^ B|.

Concevons qu'on transporte toutes ces forces au point G.

Soient R la résultante de cette translation et M le moment du couple résultant correspondant. La force R est dans le plan de symétrie ; soient T et N ses composantes suivant la ligne AB et la normale à la section ou la tangente à la fibre moyenne.

La force T ou somme des composantes tangentielles des forces élastiques est ce que nous avons déjà appelé \ effort tranchant,

La force N ou somme des composantes normales des forces élastiques se nomme la compression ou tension de la fibre moyenne.

Le couple résultant de la translation des forces élastiques au point G où la ligne AB coupe la fibre moyenne se nomme le couple de flexion relatif à ce point.

Le moment M de ce couple, c'est-à-dire la somme des moments des forces élastiques par rapport au point G se nomme le moment fléchissant ou moment de flexion.

Les composantes tangentielle et normale d'une force élastique se nomment souvent, par abréviation, force élastique tangentielle ou normale,

GOHVEHTIOHSSUBLES SlftHES. — Il importe de bien préciser les signes des grandeurs que nous venons de définir.

Soit s l'arc GqG compté de gauche à droite.

Nous prendrons le sens positif des s pour le sens positif de la normale à AB ou de la tangente à l'arc 5. Il en résulte que nous regardons les forces élastiques normales comme positives quand elles représentent des compressions ; c'est pourquoi nous appellerons N la compression de la fibre moyenne.

Lorsque nous rapporterons la position de la fibre moyenne à des axes de coordonnées qui seront rectangulaires, nous prendrons comme sens positif de la ligne AB ou de la normale à la fibre moyenne un sens tel que la normale parallèle à l'axe des y (c'est-

BIOMENTS DE FLEXION. 277

à-dire la normale au sommet de la fibre moyenne si Taxe des y est vertical) ait pour sens positif le sens desjK positifs.

L'effort tranchant T sera positif ou négatif suivant qu'il sera ou non dirigé dans le sens de la normale positive.

Les moments (en particulier le momeût de flexion M) seront, en général et sauf avis contraire, comptés positivement s'ils tendent à tourner leurs bras de levier dans le sens qui amènerait le demi-axe positif des x sur le demi-axe positif des j^*, comme l'indique la flèche.

Quand nous ne ferons pas usage de coordonnées, l'effort tranchant sera compté positivement dans un sens tel que, dans la section verticale de la pièce, il soit descendant.

Dans ce cas aussi les moments ( en particulier les moments de flexion M) seront comptés positivement de gauche à droite.

THÉOBiMES ftânËRAUZ. — Ceci posé, considérons les forces extérieures, y compris, s'il y a lieu, les réactions des appuis, qui agissent entre la section AB et l'extrémité gauche de la poutre; transportons-les au point G et soient R' leur résultante de translation, T', N' les composantes de cette force suivant la ligne AB et la normale à cette ligne; M' le moment du couple résultant de cette translation.

Nous savons (§ 63) que les forces extérieures, y compris les réactions des appuis, qui agissent entre l'extrémité gauche de la pièce et une section quelconque AB, ont même résultante ou même couple résultant que les forces élastiques qui agissent dans cette section.

Ces deux systèmes de forces, qu'ils admettent ou non une résultante, sont donc équivalents et ont, par suite (§ 117, Rem. II), même résidtante de translation et même moment résultant, c'està-dire que

T'=T, N'=N, M'=xM.

Ainsi :

Théorème I. — i° L'effort tranchant dans une section quelconqueXflL d'une pièce à ^bre moyenne plane, symétrique par rapport au plan de cette fibre et soumise à des forces quel-

conques situées dans ce plan, peut se définir indifféremment la somme des forces élastiques tangentielles exercée dans la section X'X ou la somme des projections sur cette section des forces extérieures {y compris les réactions des appuis) qui agissent à sa gauche,

2** La compression normale peut se définir soit la somme des forces élastiques normales, soit la somme des projections sur la normale à la section y des forces extérieures dont il vient d'hêtre parlé,

3° Le moment de flexion dans la section considérée peut se définir soit la somme des moments, par rapport au point G où elle coupe la fibre moyenne, des forces élastiques qui y agissent, soit la somme des moments, relatis?ement au point G, de ces mêmes forces extérieures.

Corollaire I. — Dans les poutres droites (ou pièces à fibres moyennes rectilignes) horizontales soumises à des charges verticales et reposant sur des appuis ne pou^^ant fournir que des réactions verticales^ la compression de la fibre moyenne est partout nulle.

Pour de telles pièces on n'a à considérer, dans chaque section, que le moment de flexion et l'effort tranchant.

Corollaire II. — Si, dans une pièce quelconque, on considère deux sections infiniment voisines (fig- 35, p. a^y) comprenant entre elles une force F de grandeur finie, normale à la fibre moyenne, les moments de flexion dans ces deux sections ne diffèrent que d'une quantité infiniment petite, ainsi que la conipression de la fibre moyenne; mais les efforts tranchants y diffèrent de toute la grandeur de la force F.

(Si la force F est tangente àla'flbre moyenne, l'effort tranchant et le moment de flexion dans les deux sections ne diff<èrent qu'infiniment peu, et c'est la compression de la fibre moyenne qui se modifie brusquement de toute la grandeur de la force F. )

En effet, soient AB, A'B' deux sections infiniment voisines comprenant entre elles la force F de grandeur iinie, normale à la fibre moyenne.

sr

"^^km

Le moment de flexion au point G est la somme des moments par rapport à ce point de toutes les forces agissant entre lui et l'extrémité de gauche Go de la pièce.

Le moment de flexion au point G' se compose : i° de la somme des moments de ces mêmes forces relativement au point G', somme' qui ne difiïîre qu'infiniment peu de la précédente; a** du moment relativement au point G' de la force F, moment qui est lui-même infiniment petit.

On voit de même que la force F, quoique de grandeur finie, ne modifie qu'infiniment peu la compression de la fibre moyenne en G', puisque sa projection sur la tangente à cette courbe en G' est infiniment petite.

Maisy sur A'B', elle se projette en vraie grandeur, de sorte que Tefiort tranchant en G' où elle intervient diff*ère de l'effort tranchant en G, où elle n'intervient pas, de toute la grandeur de cette force.

Fig. 35.

On démontrerait de même la proposition relative au cas où la force F est tangente à la fibre moyenne.

Corollaire III. — Dans une poutre droite horizontale soumise à des charges verticales et posée sur des appuis ne donnant lieu qu'à des réactions verticales, les moments de flexion de deux sections infiniment voisines comprenant entre elles soit une force finie directement appliquée^ soit un appui simple^ ne diffèrent qu' infiniment peu , tandis que les efforts tranchants diffèrent de toute la grandeur de la force directement appliquée ou de la réaction de V appui*

On peut donc parler du moment de flexion sur un appui, comme étant la limite de celui qui existe dans une section infini-

aSo 3* SECTION. — CHAP. XVII.

ment voisine prise soit à sa droite, soit à sa gauche; tandis que Teffort tranchant doit être considéré dans Tune ou l'autre de deux pareilles sections suivant le but qu'on se propose.

Théorème II. — Quelles que soient les charges que subit une pièce à fibre moyenne plane y ces charges étant dans le plan de la fibre qui est plan de symétrie de la pièce et quels que soient le nombre et la nature des appuis, le moment de flexion M en un point quelconque G de la pièce peut être obtenu en ajoutant au moment de flexion W relatif à un point fixe G' arbitrairement choisi à gauche de G, la somme des moments relativement à G: 1° de toutes les forces extérieures agissant entre G' et G ; 2° de V effort tranchant et de la compression de la fibre moyenne au point G'.

En effet, le moment de flexion au point G {^fig* 36) se com-

Fig. 36.-

pose de la somme des moments relativement à ce point : i** de toutes les forces, y compris les réactions des appuis, agissant entre lui et le point G' ; 2" de toutes celles agissant entre le point G' et l'extrémité gauche Go de la pièce.

Mais on ne change pas la somme des moments de ces dernières forces en les remplaçant par leur résultante de translation en G' et le couple résultant correspondant. Or cette résultante R' a pour composantes suivant la normale et la tangente à la fibre moyenne les forces N' etrT', et le couple résultant a pour moment M'. Donc la somme de moments des forces 2® se compose de celle T' et N' et de celle des deux forces du couple de flexion en G', laquelle est (§ 114) constante et égale à M', quel que soit le point G.

Théorème II bis. — Le moment de flexion en un point G d^une pièce quelconque est, à une fonction linéaire près des coordon-

nées de ce point, la somme des moments, relativement à ce points des forces extérieures comprises entre lui et un point fixe G' arbitrairement choisi à sa gauche.

En effet, pour avoir le moment de flexion en G, il faut, d'après le théorème qui vient d'être établi, ajouter à la somme des moments, relativement à ce point, des forces comprises entre G^ et G : i° le moment fléchissant M' au point G', c'est-à-dire une quantité constante ou indépendante de la position du point G; 2° la somme des moments relativement à G des forces N' et T' ou le moment de leur résultante R'. Or, cette ligne R' est fixe, quel que soit le point G. Son moment est égal au produit de R' par la distance G/?. Et la distance d'un point G à une droite fixe R' est une fonction linéaire des coordonnées de ce point.

Théorème III. — U effort tranchant^ dans une section EGA {Jig- 3-7, p. 282,), d^une pièce quelconque dont la fibre moyenne droite ou courbe est GoG^, est égal, en valeur absolue, à la dérivée du moment de flexion en ce point, prise relativement à l'arc s=GqG, de la fibre moyenne comptée depuis l'extrémité gauche G©.

Cette dérivée doit être prise en signe contraire si (§ 189) l'on prend comme sens positif de la normale à la fibre moyenne le sens BA, tel que la normale parallèle à l'axe des^ ait le sens desj>^ positifs.

Le moment de flexion M en un point G est (théorème 1) la somme des moments relativement à ce point de toutes les forces, y compris les réactions des appuis qui agissent entre Gq et G.

Soit (fig. 37) c le point d'application de l'une quelconque de ces forces, qu'elle soit donnée ou que ce soit une réaction d'appui.

Rapportons le système à deux axes rectangulaires quelconques 0:r, Oy, Soient a, ^ les coordonnées du point c pris à la gauche de AB, A et B les composantes parallèles aux axes de la force qui agit en c.

Si X et ^ sont les coordonnées du point G, le moment de la force appliquée en c ou la somme des moments de ses composantes A et B relativement au point G est, si le sens des moments positifs est

282 3* SECTION. — CIIAP. XVII.

celui de la flèche allant de Ox vers Oj'<,

et le moment M est la somme des moments de toutes les forces analogues agissant à gauche de la section A6.

Appelons ^ cette somme

^^[My-r.-Bix -a)];

d'où

Vs

Or -T- et -•- sont les cosinus des angles que la tangente en G faîl

ds ds

avec les axes de coordonnées.

Les cosinus des angles que la normale BA fait respectivement avec ces mêmes axes sont

dy ds

dx

~dr

en prenant les signes supérieurs ou inférieurs suivant le sens positif qu'on attribue à la normale. Si on lui attribue le sens tel que, quand JîA vient en B'A' parallèlement à l'axe des^, le sens positif soit

dv celui des^ positifs, cela veut dire que pour ^ =: o le cosinus de

l'angle de la normale avec Taxe des^ est -f- i, ce qui exige qu'on prenne les signes inférieurs.

Donc

as as

est la projection, sur BA, de la force appliquée en c, et le second membre de Téquation (a) est la somme des projections, sur cette ligne, de toutes les forces agissant à gauche de la section BA, c'està-dire l'effort tranchant que nous appelons T, en sorte que

/ . ^ dM

Corollaire I. — Aux points ou le moment de flexion dUine pièce quelconque est maximum ou minimum y V effort tranchant est nul et réciproquement.

Corollaire II. — Lorsque le moment de flexion dhine pièce est constant en tous ses points ^ V effort tranchant est partout nul, et vice versa.

A. — ylpplication aux poutres droites.

Théorème IV. — Quelles que soient les charges qui agissent sur une poutre droite et quels que soient le nombre et la nature des appuis, le moment de flexion en un point quelconque G d'une rainée peut s'obtenir en ajoutant au moment de flexion, en un point G' arbitrairement choisi à sa gauche dans la même traitée, la somme des moments relatii'ement à G : i** des forces données agissant entre G^ et G; 2^ de l'effort tranchant en G.

En effet, appliquons le théorème II à deux points G et G' (Jig' 38, p. 284) appartenant à une même travée, de sorte qu'entre ces points n'agissent que des forces connues. D'ailleurs la compression N' de la fibre moyenne, même si elle existe, passe par le point G et fournit, par suite, un moment nul. Donc, si G'x est l'axe des

j:, G' l'origine des abscisses, x Tabscisse du point Gel m a somme des moments, relativement à G, des forces données qui agissent entre G et G', on aura

ou

M = lVr-4-m — T'ar

Corollaire I. — Quels que soient le nombre et la nature des appuis d^ une poutre droite, le moment de flexion en un point d'une travée quelconque est, à une fonction linéaire près de V abscisse de ce point, égal à la somme des moments relativement à ce point des forces données qui agissent entre lui et un point fixe G' arbitrairement choisi à sa gauche, dans la même travée,

Fig. 38.

On connaît donc a priori les moments en tous les points d'une travée à deux constantes près. Ces constantes changent d'une travée à l'autre.

Pour une poutre à n travées, il s'introduit donc an constantes indéterminées et que la théorie de l'élasticité permet, en général, seule de déterminer.

Corollaire II. — Quels que soient le nombre et la nature des appuis d'une poutre, quelles que soient les charges qu'elle supporte, s'il existe soit une portion de travée, soit une travée entière ^Q^çi vide ou dépourvue de toute charge ( même de celle due à son propre poids), le moment de flexion y est représenté par l'ordonnée d'une portion de droite.

En effet, dans ce cas, en prenant le point G' en A©, on a m «a la formule (a) donne

c'est-à-dire que le moment de flexion en tout point G compris entre

Ao et Bo est une fonction linéaire de l'abscisse de ce point. Si donc en chaque point G on construit une ordonnée qui, à une échelle convenue, représente le moment de flexion M, le lieu des extrémités de ces ordonnées sera une portion de droite ao^oj de sorte que, si l'on connaît les moments Aq^q ^^ Bo^o ^^ ^o ^^ Bg, on les connaîtra dans toute la partie AqBq.

CoROLLÀiBE III. — Quels quB soient le nombre et la nature des appuis d'une poutre, quelles que soient les charges quelle supporte, s* il existe soit une portion de travée, soit une travée entière supportant une charge uniformément répartie à raison de p^^ par unité de longueur, le moment de flexion en tout point (j compris entre Plq et Bq est V ordonnée d' une parabole à

axe vertical dont le paramètre est > dont la forme est, par

suite, connue et indépendante des charges et appuis du surplus de la poutre j sa position seule dépendant de ces éléments.

En eflet, dans la formule (2) et la fig, 38 (p. 284) en prenant le point G/ en Aq, m est la somme des moments, relativement à G, des charges directement appliquées entre Aq et G. Prenons le point A^ pour origine des abscisses. Alors la charge totale entre A,, et G est égale à/> x AqG =/?a?; elle est appliquée au milieu de AqG et

a, par suite, pour bras de levier -; son moment, qui est égal à la somme des moments des charges elles-mêmes, est donc, en valeur absolue,^ — • Si elle est descendante, ainsi que l'axe des^, ce moment est négatif, les moments positifs comptés de gauche à droite. Ainsi

d'où

(3) M = -^ — T'^-hlVr,

équation d'une parabole à axe vertical, déforme déterminée et dont la position seule varie avec les coefficients T' et M'.

Théorème V. — U effort tranchant compté positivement de haut en bas dans une section d'une poutre horizontale à appuis

en nombre quelconque est égale à la dérivée, prise en signe contraire, du moment fléchissant par rapport à V abscisse de la section.

Ce théorème est un cas particulier du théorème III. Ainsi, T et M étant reflorl tranchant et le moment de flexion dans une section d'abscisse x^ on a

Corollaire I. — V effort tranchant en un point d* une poutre est le coefficient angulaire pris en signe contraire de la tan-gente en ce point, à la ligne représentative des moments de flexion .

Si, en effet, M est représenté, à une échelle convenue, par une ordonnée, le coefficient angulaire changé de signe de la tangente à la ligne lieu des extrémités de ces ordonnées représente Teffort tranchant.

Il y a toutefois une remarque à faire à ce sujet : pour obtenir le coefficient angulaire d'une droite, il suffit de diviser l'une quelconque des ordonnées de la droite par l'abscisse correspondante comptée depuis le point où la droite coupe l'axe des abscisses. Ici on devra mesurer l'abscisse à l'échelle adoptée pour les abscisses ou la longueur de la poutre et l'ordonnée à l'échelle adoptée pour

représenter les moments de flexion.

Corollaire II. — U effort tranchant dans une portion vide d^ une poutre est constant; V effort tranchant dans une portion de poutre portant une charge uniforme p est V ordonnée d* une droite de coefflcient angulaire p, dont la direction est donc indépendante des appuis et charges du surplus de la poutre, la position de cette droite dépendant seule de ces éléments.

Théorème VI. — i" Le moment de flexion en un point d'une travée d'une poutre à appuis en nombre quelconque, sous r influence de charges quelconques^ est, à une fonction linéaire

près de U abscisse de ce point , le même que si cette trm'ée était séparée du reste de la poutre et posée sur appuis simples à ses deux extrémités.

2** U effort tranchant en un point de la travée est, à une constante près, le même que si la travée était ainsi séparée du reste de la poutre.

Soient M le moment de flexion véritable en un point G d'une travée et [x le moment de flexion qu'y produirait la charge, quelle qu'elle soit, qui y règne, si la travée existait seule. Soit enfin m la somme des moments, relativement au point G, des charges directement appliquées entre ce point et l'extrémité gauche de la travée. En appliquant la formule (2) successivement à la poutre réelle et à celle obtenue en séparant la travée de ses voisines et prenant le point G' infiniment près de l'appui gauche, on voit que les deux fonctions M et (x ne diffèrent l'une et l'autre de m que par une fonction linéaire. Donc elles ne diffèrent entre elles que par une telle fonction.

Ainsi

A et B étant deux quantités constantes pour tous les points d'une travée, mais changeant d'une travée à l'autre. On tire de là

dx dx ' '

ce qui, en vertu de (4), démontre la seconde partie de la proposition.

nPBESSIOH ANALTTiaUE DU MOMENT DE FLEXIOH DAHS UNE POUTRE A DEUX APPUIS SIMPLES. — On voit, par ce qui précède, que le moment de flexion et l'effort tranchant des poutres à deux appuis simples jouent un rôle particulièrement important dans la théorie des poutres en général. Il nous sera utile, pour cette raison, de les connaître non seulement graphiquement, mais aussi analyliquement.

!« Charge unique. — Supposons d'abord {Jig- Sg, p. 287) une telle poutre AB soumise à l'action d'une seule charge P, ayant pour abscisse AC = a. Nous compterons, à moins d'indicationscontraires, les abscisses depuis l'appui gauche de la poutre.

Les réactions R et R' qu'elle fait naître devant lui faire équilibre, la somme des moments de ces trois forces relativement à un point quelconque est nulle. Si nous prenons les moments successivement par rapport aux appuis B et A, il vient, en appelant / = AB la longueur de la poutre,

Pa

Cherchons le moment de flexion [x relativement à un point G d'abscisse x^ que nous supposons d'abord placé entre A et C. Par définition même, on a

Fi g. 39.

Si le point G est en G' entre C et B, le moment de flexion v sera, par définition, la somme des moments des deux forces R et P; mais, comme la somme des moments des trois forces en équilibre R, P el R' est nulle, on peut encore dire que le moment de flexion en G' est égal au moment, relativement à ce point, de la force R' changé de signe, soit

jx = R'(/ — a;) = Pa^^^.

Ainsi :

Pour X <^rt^

Pour X >► a,

= Pa

Pour X ^= CL Tune et l'autre formule (?on viennent également.

0,** Cliarges isolées en nombre quelconque. — Supposons maintenant {fig- 4o) un nombre quelconque de forces P|, P2, Ps» P4> •••1 P/j P/+*> •••» P/i d'abscisses ai, a,, aa, ..., a/, a/^i, . . . , a„ et cherchons le moment de flexion (jl relatif à un point quelconque G d'abscisse x.

Appelons P l'une quelconque des forces et a son abscisse.

Fig. 40.

TPi..

Les forces P|, P2» . • ., P/ placées à gauche de G, c'est-à-dire pour lesquelles 0L<C^y fournissent chacune un moment de flexion donné par l'expression (6'); les autres fournissent chacune un moment de flexion donné par l'équation (6).

Donc on aura, quelle que soit la position du point G,

^-^^PJ-Z.^-..^P^I-.)^,

^ indiquant une sommation qui s'étend à toutes les forces placées

à gauche du point G et N une sommation s'étendant à toutes

celles qui sont à sa droite.

Ce qui change d'un terme à l'autre de ces sommes, ce sont les forces P et leurs abscisses a, mais non x et /.

On peut donc écrire

expression facile à retenir.

S'il existe une force au point G, on peut indifféremment la con-

sidf^rer comme infiniment peu à gauche ou infiniment peu à droite de ce point, ou comme partiellement dans le premier cas, partiellement dans le second. Il est évident a priori c^ae cela n'altère qu'infiniment peu, c'est-à-dire que cela n'altère pas la valeur du moment de flexion; c'est ce que la formule montre; car un terme

de T est — j-^ P a et un terme de >^ est -j P (/ — a). Or, pour