CONVOI PORTANT SUR UNE POUTRE X DEUX APPUIS

poutrelle c, on peut relever sur un polygone funiculaire des charges mobiles, tracé une /ois pour toutes, les quotients par la distance polaire que nous appellerons ici 8 au lieu de ef, pour ne pas confondre avec l'abscisse de la poutrelle rf et cette poutrelle elle-même :

I® De la somme des moments relativement à Tappui A de toutes les forces placées à gauche de Tessieu n^ i ou de la poutrelle c sur laquelle cet essieu est placé. Soit y ci cette longueur;

a° De la somme des moments relativement à Tappui B de toutes les forces placées à droite de cette poutrelle. Soit Zd cette longueur ;

Fig. 57.

TT

3^ De la somme des moments relativement à la poutrelle d de toutes les charges qui, dans la position définie du convoi, se trouvent placées entre les poutrelles c et'rf. Soit Ud cette longueur;

4® De la somme des moments relativement à la poutrelle b des essieux compris entre elle et celle c. Soit Çci celte longueur.

On peut, pour ces relevés, utiliser le polygone funiculaire (yî^.Ao, PL jrjilll) tracé une seule fois et à part, dont nous nous sommes déjà servi dans le cas où il n'y a pas de poutrelles.

S'il s'agit, par exemple, de l'essieu n° 3, prolongez le côté 4.3 vers la gauche à une distance, prise aussi à gauche de la verticale 3, égale à la distance qui sépare la poutrelle c de l'extrémité

oqO 3* SECTION. — CHAP. XX.

gauche de la poutre ; par le point ainsi obtenu, menez une verticale; le segment qu^elle intercepte entre les deux côtés i Ao et 4.3 prolongés est l'ordonnée jKc<-

On aurait d'une façon analogue l'ordonnée Zd relative à l'appui de droite.

Enfin, à la droite de la verticale 2, menez une autre verticale qui en soit distante de l'écartement des poutrelles c et d; l'ordonnée qu'elle détermine entre le côté 3.4 prolongé et le côté qu'elle rencontre est égal à Ud] de sorte que, si la verticale tracée rencontre 3.4, cela prouve que Ud =■ o\ c'est le cas où, le train étant placé de façon que l'essieu n® 3 soit en c, il ne tombe aucun essieu entre les poutrelles c et d.

Alors il est clair que Ud = o et la troisième opération est inutile.

De même on relèverait Vd»

Ceci fait {fig» 67, p. 389), portons de haut en bas j^ci sur la verticale de l'appui A, nous obtenons un point A'; portons de même Zd sur la verticale de l'appui B, nous aurons un point B'. La droite A'B' coupe les verticales des poutrelles 6, c et rf en 6', c'et d!,

A partir de d' portons de haut en bas d! é' égal à Ud et à partir de y portons de môme de haut en bas Vb" = p^t.

L'ordonnée de la droite c'6'' représente le moment de flexion dans n'importe quelle section X' comprise entre les poutrelles b et c lorsque l'essieu n** i (dans l'exemple choisi l'essieu n** 3) est posé sur la poutrelle c, et l'ordonnée de la droite c'rf" représente, pour la même position du train, les moments de flexion de toutes les sections X comprises entre les poutrelles c et d.

S'il y a /i essieux, on a ainsi à tracer, entre deux poutrelles consécutives quelconques c et rf, un nombre 2/1 de droites; on les obtient, comme on le voit, très rapidement.

Pour chaque section, c'est l'ordonnée la plus grande de ces droites répondant à cette section qui donne rigoureusement le moment de flexion maximum déterminé par le passage du convoi, et il ne reste qu'à y ajouter le moment de flexion dû à la charge permanente.

Pour justifier cette règle, il suffit de se reporter à la formule (i). En ajoutant et retranchant la quantité

COKVOI PORTANT SUR CNB POUTRE A DEUX APPUIS. Sgi

elle devient

=^i^-fi^(^-«>-i^:(i^'-''i^^

Divisons les deux membres par la distance polaire 8 du polygone funiculaire des charges construit une fois pour toutes, comme celui de la figure A© {PL JlXIII), et concevons qu'on construise d une part la droite

d'autre part celle

qu'on peut encore écrire, en appelant y l'abscisse de la résultante des charges comprises entre les poutrelles c et d, lorsque l'essieu n** i est en c,

' d-c 8 Zà"^'

d'où

On voit

que

Donc

y=(i-jjyci-^jzci

et

3g2 y SECTION. — CHAP. XX.

Donc la droite (8) admet bien les longueurs /c/ et Zd comme ordonnées sur les verticales des appuis.

D'ailleurs, Téquation (9) montre que, sur les verticales des poutrelles c et rf, soit pour x = c et x = dj on a respectivement 5 = 0,

Z = Uci'

La construction se trouve ainsi justifiée en ce qui touche la ligne c'd^^.

Pour la justifier en ce qui touche la ligne c'6", remplaçons, dans la formule (i), les abscisses d et c des poutrelles portant respectivement ces noms par celles c et 6 des poutrelles qui les précèdent, on aura

Ajoutons et retranchons la quantité — ,— ^ Pa>

OU, en appelant y Tabscisse du centre de gravité des essieux compris entre b et c, lorsque Tessieu n** i est en c,

oc • b

d'où l'on tire, pour toute section comprise entre b et c,

et de là on déduit la construction indiquée.

EFFORT TRUrCHAHT MAXIMUM OU MUIMUM DANS UVE SECTION DONNÉE.—

La formule (2) du § 238 peut s'écrire

CONVOI PORTANT SUR UNE POUTRB A DEUX APPUIS. SqS

OU, à cause de (7), S'il s'agit d'une section comprise entre b et d

Si, au lieu de prendre arbitrairement la distance polaire 8 du polygone funiculaire construit d'après les règles du paragraphe précédent, on la prend en rapport simple avec la longueur / de la poutre, par exemple, égale au quart de cette longueur, ainsi que nous avons été conduit à le faire, dans le cas où il n'y a pas de poutrelles, on aura :

I® Pour une section comprise entre les poutrelles consécutives c et rf, lorsque l'essieu n° i repose sur la poutrelle c,

I , V l Uct

et pour les sections comprises entre les poutrelles consécutives b etc, pour la même position du convoi,

où les longueurs jKcô ^cô ^ci et Vd étant connues, on a immédiatement les valeurs de t. Comme l'abscisse x de la [section considérée n'entre pas dans les formules, ces équations représentent deux droites horizontales. S'il y a /i essieux, on aura ainsi in horizontales à tracer entre chaque paire de poutrelles consécutives. Les unes peuvent être d'un côté de AB, les autres du côté opposé. Dans ce cas, l'horizontale la plus élevée et l'horizontale la plus basse donnent, pour toutes les sections comprises entre chaque paire de poutrelles, les valeurs extrêmes (positives ou négatives) de l'effort tranchant que le passage d'un convoi y détermine.

Il ne reste qu'à y ajouter l'effort tranchant dû à la charge permanente.