CHAPITRE XXL

CONSTRUCTION DES MOMENTS d'oRDRE SUPÉRIEUR DES FORCES PARAL- LÈLES DONT LES POINTS d'aPPLICATION SONT SITUÉS DANS UN MÊME PLAN, PARTICULIÈREMENT DES MOMENTS d'iNERTIE DES AIRES PLANES.

DÊnHinON ET DÉTERHOIITIOH GBAPUainS DES MOMEITS D'6BDSE SUPÉ- RIEUR ttUI FOn L'OBJET DE CE CHAPITRE. — Nous avons défini (§ 1S4) les moments des forces parallèles dont les points d'application sont situés dans un plan, relativement à une droite de ce plan, les produits de ces forces par leurs distances à la droite, et nous avons vu que le moment ainsi défini de la résultante d'un système de forces est égal, si l'on fait certaines conventions sur les signes des moments, à la somme algébrique des moments de ses composantes. Nous avons, de plus, donné le moyen de construire graphiquement le moment de la résultante d'un système de forces parallèles dont les points d'application sont situés dans un plan, relativement à une droite de ce plan. Ainsi, dans les Jig. 93 et 98, les forces données supposées ramenées, comme on peut toujours le faire, dans le plan qui contient leurs points d'application, ont

pour lignes d'action

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et pour grandeurs

Le moment de la résultante, relativement à la ligne a^, de toutes celles qui sont à gauche de a|3 est le produit de l'ordonnée ab par la distance polaire; le moment de la résultante des forces 4, 2, 3, 4, 5, relativement à a^, serait le segment de que les côtés extrêmes du polygone funiculaire de ces cinq forces déterminent sur la verticale a^, multipliée par la distance polaire et ainsi de suite.

Soient généralement

Pi« P«j Pa» P*> ••■» P/» •••» Pi»

MOMENTS d'ordre SUPERIEUR. 3g5

des forces données ayant pour lignes d^action les lignes

de la Jig, 93 et pour grandeur les lignes

del^Jîg. 93.

Soient

a?!, Xj, Xs, Xi,, ..., ar/, ..,, x^

les distances de leurs points d^application à la droite a^3 : si le produit ba X <i de la ligne ba par la distance polaire d est le moment de la résultante obtenu graphiquement, ce produit représente aussi la somme des moments des composantes, c'està-dire que l'on aura

(a) ba X ^/ -T P,ari -^ P,a-î -^ Pja:, ^ . . . -f- P„ar|,.

Ijesjig, 93 et 98 ne fournissent pas seulement le second membre de cette égalité, mais aussi, si on le veut, chacun des termes qui le composent.

Veut-on avoir le terme Ps^^s? on prolongera, jusqu'à la verticale a,3, les deux côtés du polygone funiculaire issus du sommet 3'; on interceptera ainsi, sur la verticale a^, une longueur 3|, qui, multipliée par rf, sera (§ i 18) le produit cherché. Supposons qu'on prolonge ainsi jusqu'à la verticale a^ tous les côtés du polygone funiculaire ; on interceptera sur cette ligne des segments

II» 2i, 3i, 4i, 5i, 61, 7i, 81,

que nous appellerons

P<» *^2» P31 f*4» * 5> 'Pa» f*7» ^8»

et l'on aura

(6) P', X d --- Pi^-i, P'a xd-. V^xty , . . , F'^xd = P^x^.

Concevons : i ^ qu'on regarde ces longueurs P^- comme un nouveau système de forces parallèles agissant aux points d'application.

1, 2, 3, 4, S, 6, B, A des forces données ;

2" Qu'on porte les forces, en leur assignant des sens différents , suivant que les forces données tendent à faire tourner leurs bras de

SgÔ 3* SECTION. ~ CHAP. XXI.

levier dans un sens convenu ou en sens contraire, sur une .verticale quelconque, de façon à former un nouveau polygone des forces analogue à c.elui représenté en ab sur la Jig. 98 ;

3° Qu'on construise un polygone funiculaire relatif à un pôle distant, d'une longueur égale à rf de la verticale dont il s'agit.

La verticale a^ découpera, sur ce nouveau polygone funiculaire (que nous ne traçons pas pour ne pas compliquer la figure), un segment analogue à ba et que nous appellerons bf a|. On aura

biHi X é3? — P'i Xx -+- Pj^î -h . . .

ou, en vertu des expressions (6) des forces P)-,

(a') biai X û?* = P,a:î 4- V^xi -4- ?zxl -+-...= 2P/a7?,

c'est-à-dire que la ligne bi ai représentera, au facteur cP près, la somme des produits des forces données par les carrés des distances de leurs points d'application à la ligne a^. Cette somme est ce qu'on appelle le moment d'inertie des forces données relativement à cette ligne.

De même que le polygone funiculaire de la fig, 93 donne non seulement le second membre de l'équation (a), mais encore séparément chacun des termes de ce second membre, de même le nouveau polygone funiculaire dont nous venons d'indiquer le tracé donnerait chacun des termes qui composent le second membre de l'équation (a). Appelons

p« pw p"

ces termes, de façon que

V\xd=Vix\, V\xdr-.?^xl, ....

En les regardant, à leur tour, comme les grandeurs d'un système de forces parallèles agissant aux points d'application des forces données et cherchant graphiquement la ligne représentant le moment de leur résultante, on trouverait une ligne b2a2, telle que

bjas X é3? = P; a:, H- V\xi -h Pjar» -f- . . . ou

b2aîXûr»= PjarJ-hPjar^ -+- Pja?g-+-. . .= SPars,

c'est-à-dire qu'on obtiendrait la somme des produits des forces données par les cubes des distances de leurs points d'application à